Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai số được chọn là $a,b$. Ta có $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}3)$. Vì bình phương một số modulo 3 chỉ bằng $0$ (khi số chia hết cho 3) hoặc $1$ (khi số không chia hết cho 3), nên điều kiện tương đương với: hoặc cả $a,b$ đều chia hết cho 3, hoặc cả hai đều không chia hết cho 3.

Trong các số từ 1 đến 50: số chia hết cho 3 có $16$ số; số không chia hết cho 3 có $34$ số.

Tổng số cách chọn 2 thẻ: $C_{50}^2=1225$.

Số cách chọn thuận lợi: $C_{16}^2+C_{34}^2=120+561=681$.

Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{681}{1225}$, trùng với đáp án D (khớp mã đề 102, câu 5 trong bảng đáp án).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 đỉnh từ 12 đỉnh là $C_{12}^3=220$. Đếm số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác: gọi $a,b,c$ là số khoảng cách (cạnh nhỏ) giữa ba đỉnh được chọn theo thứ tự trên đường tròn, khi đó $a+b+c=12$ và tam giác không có cạnh của đa giác khi và chỉ khi $a,b,c\ge 2$. Đặt $a^{\prime }=a-1,b^{\prime }=b-1,c^{\prime }=c-1$ thì $a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }=9$ với $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\ge 1$, số nghiệm là $C_8^2=28$. Mỗi tam giác được đếm với 3 điểm xuất phát trên 12 vị trí, nên số tam giác thỏa mãn là $\frac{28\times 12}{3}=112$ (kiểm tra bằng công thức $\frac{12}{12-3}{C}_9^3=112$). Vậy xác suất cần tìm là $\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3}\right)=816$. Đếm tam giác cân: với mỗi đỉnh làm đỉnh apex, có 8 cặp đỉnh đối xứng qua đường kính đi qua apex, nên $18\times 8=144$ tam giác có ít nhất hai cạnh bên bằng nhau. Tam giác đều (cách đều 6 đỉnh) có $18/3=6$ tam giác, mỗi tam giác đều bị đếm 3 lần trong 144, nên số tam giác cân (tính đều một lần) là $144-2\times 6=132$. Số tam giác cân nhưng không đều: $132-6=126$. Vậy $P(A)=\frac{126}{816}\approx 0,1544\approx 0,15$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{50}^2=1225$. Trong các số từ 1 đến 50 có 16 số chia hết cho 3 (3, 6, ..., 48) và 34 số không chia hết cho 3. Ta có $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi $a\equiv b(\mathrm{mod}3)$ (vì nếu $a,b$ khác dư modulo 3 thì $a^2\equiv b^2\equiv 1$ hoặc một trong hai bằng 0, kiểm tra: $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}3)⟺a\equiv b(\mathrm{mod}3)$ do bình phương modulo 3 chỉ là 0 hoặc 1). Vậy hai thẻ phải cùng dư modulo 3: hoặc cùng chia hết cho 3, hoặc cùng không chia hết cho 3. Số cách chọn: $C_{16}^2+C_{34}^2=120+561=681$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{681}{1225}$. Kết quả trùng với đáp án C trong đề và với bảng đáp án mã đề 101, câu 5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'phải bắt ít nhất 5 lần'. Trường hợp dừng lại sau 3 lần: bắt được cả 3 thỏ trắng ngay, xác suất $P(3)=\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)}=\frac{1}{35}$. Trường hợp dừng sau 4 lần: lần thứ 4 là thỏ trắng và trong 3 lần đầu có đúng 2 trắng 1 xám: $P(4)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)}\cdot \frac{1}{4}=\frac{12}{35}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{35}$. Vậy $P(A)=1-\frac{1}{35}-\frac{3}{35}=\frac{31}{35}$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác: $C_{18}^3=816$. Đếm tam giác cân: chọn đỉnh đỉnh (apex) và hai đỉnh cách đều nó $k$ bước ($k=1,\dots ,8$; $k=9$ cho hai đỉnh trùng nhau nên loại), mỗi đỉnh cho 8 tam giác cân, tổng $18\times 8=144$ lượt đếm. Tam giác đều (cạnh cách 6 bước) có $18/3=6$ tam giác, mỗi tam giác bị đếm 3 lần (mỗi đỉnh đều làm đỉnh cân), nên số tam giác cân thực sự là $144-2\cdot 6=132$. Số tam giác cân nhưng không đều: $132-6=126$. Xác suất $=\frac{126}{816}=\frac{21}{136}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bộ 4 số đôi một khác nhau lập thành cấp số nhân công bội nguyên dương q≥2 có dạng (a; aq; aq²; aq³) với aq³≤100. Với q=2: a≤100/8=12.5, có 12 giá trị a. Với q=3: a≤100/27≈3.7, có 3 giá trị. Với q=4: a≤100/64≈1.56, có 1 giá trị. Với q≥5: q³≥125>100 nên không có. Tổng số bộ thuận lợi: 12+3+1=16. Không gian mẫu là C(100,4) vì chọn ngẫu nhiên 4 số. Vậy xác suất = 16/C(100,4), chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ từ 20 thẻ nên n(Ω)=C(20,3)=1140, ý a đúng. A (ba thẻ đều chẵn) và B (đúng một thẻ chẵn) không thể đồng thời xảy ra nên chúng xung khắc, ý b sai. P(B)=C(10,1)·C(10,2)/C(20,3)=10·45/1140=450/1140=15/38≈0,3947≠1/3, ý c sai. Biến cố C 'tích ba số chẵn' xảy ra khi không chọn cả ba thẻ lẻ: P(C)=1−C(10,3)/C(20,3)=1−120/1140=1020/1140=17/19, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 thẻ từ 20 thẻ bất kỳ, mỗi cách chọn là một phần tử của không gian mẫu nên n(Ω)=C(20,3)=1140.
b) (AI giải đề cho tôi)
A yêu cầu cả ba thẻ chẵn, B yêu cầu đúng một thẻ chẵn; hai biến cố không thể cùng xảy ra nên A và B xung khắc.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=C(10,1)·C(10,2)/C(20,3)=450/1140=15/38≈0,3947, khác 1/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích ba số chẵn khi và chỉ khi không chọn được cả ba thẻ lẻ. P(C)=1−C(10,3)/C(20,3)=1−120/1140=17/19.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k$ là số học sinh được chọn từ 11 học sinh (trong đó 2 học sinh lớp 11A1). Xác suất không có học sinh lớp 11A1 nào được chọn là $P_0=\frac{C_9^k}{C_{11}^k}=\frac{(11-k)(10-k)}{11\cdot 10}=\frac{(11-k)(10-k)}{110}$.

Yêu cầu: $P$(có ít nhất một học sinh 11A1) $>\frac{52}{55}$, tức $1-P_0>\frac{52}{55}\iff P_0<\frac{3}{55}$.

Suy ra $\frac{(11-k)(10-k)}{110}<\frac{3}{55}\iff (11-k)(10-k)<6$.

Thử: với $k=8$: $(3)(2)=6$, không thỏa (xác suất đúng bằng $\frac{52}{55}$, không lớn hơn). Với $k=9$: $(2)(1)=2<6$, thỏa mãn.

Vậy thầy cần chọn ít nhất $9$ học sinh (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k$ là số học sinh được chọn. Xác suất không có học sinh lớp 11A1 nào là $\frac{C_9^k}{C_{11}^k}$. Yêu cầu: $1-\frac{C_9^k}{C_{11}^k}>\frac{52}{55}$, tức $\frac{C_9^k}{C_{11}^k}<\frac{3}{55}$. Với $k=8$: $\frac{C_9^8}{C_{11}^8}=\frac{9}{165}=\frac{3}{55}$ (không thỏa, vì chỉ bằng). Với $k=9$: $\frac{C_9^9}{C_{11}^9}=\frac{1}{55}<\frac{3}{55}$ (thỏa). Vậy cần chọn ít nhất 9 học sinh.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn ô A, B (trên) và C, D (dưới) tạo thành chu trình 4 đỉnh với các cặp kề chung cạnh: A-B, A-C, B-D, C-D. Tổng số cách tô: $5^4=625$. Đếm số cách tô để các ô kề nhau khác màu: chọn màu A (5 cách), màu B khác A (4 cách). Với mỗi cặp (A,B): nếu C = A (1 cách) thì D chỉ cần khác A và khác B... D khác A (vì D kề C=A) và khác B (D kề B): 3 cách; nếu C khác A và khác B (3 cách) thì D khác C và khác B: 3 cách. Vậy số cách (C,D): $1\cdot 3+3\cdot 3=12$, tổng $5\cdot 4\cdot 12=240$? Cần kiểm tra lại: khi C = A thì D kề C (khác A) và kề B (khác B) nên D có 3 cách; khi C khác A,B thì D khác C và khác B nên có 3 cách. Tổng $5\cdot 4\cdot (1\cdot 3+3\cdot 3)=5\cdot 4\cdot 12=240$. Kiểm tra bằng công thức chu trình $C_4$ với $k=5$: $(k-1{)}^4+(k-1)=4^4+4=260$. Đếm lại trực tiếp: A: 5, B: 4. Trường hợp C = A: D kề B và kề C=A, nên D khác A và khác B: $5-2=3$ cách. Trường hợp C khác A và khác B: 3 cách, D khác C và khác B: 3 cách. Vậy $5\cdot 4\cdot (3+9)=240$. Mâu thuẫn với công thức? Công thức chu trình: $(k-1{)}^n+(-1{)}^n(k-1)=4^4+4=260$. Đếm lại: với C=A, D phải khác A (kề C) và khác B (kề B): 3 cách — đúng. Với C khác A,B: D khác C, khác B: 3 cách — đúng. Tổng (C,D) = 12, tổng 240. Kiểm tra công thức bằng cách khác: số tô màu $C_4$ với $k$ màu là $k(k-1)(k^2-3k+3)=5\cdot 4\cdot 13=260$. Sai sót ở đâu: khi C = A, D kề B và kề C=A, D chỉ cần khác A và khác B: 3 cách — nhưng D cũng có thể bằng... không, D khác A và khác B là đủ. Khi C khác A và B: D khác C và khác B: 3 cách. Vậy $1\cdot 3+3\cdot 3=12$? Nhưng công thức cho 13. Xét lại: khi C = A, D cần khác A và khác B: $5-2=3$. Khi C khác A, B: D cần khác C và khác B: $5-2=3$. Hmm, nhưng nếu D = A thì sao? D kề C và kề B, không kề A, nên D = A được phép khi C khác A: D chỉ cần khác C và khác B, tức 3 cách gồm cả A. Vậy tổng $5\cdot 4\cdot 12=240$? Đếm lại trường hợp C=A: D khác A và khác B: 3 cách. Tổng 12. Nhưng công thức chuẩn $k(k-1)(k^2-3k+3)=5\cdot 4\cdot 13=260$ là đã biết. Lỗi: khi C = A, D cần khác C (=A) và khác B: 3 cách — đúng. Khi C khác A và B (3 lựa chọn), D khác C và khác B: 3 cách. Vậy 12? Kiểm tra $k=3$: công thức $3\cdot 2\cdot 3=18$. Đếm: A:3,B:2; C=A: D khác A,B: 1; C khác A,B: 0 lựa chọn... với k=3, C khác A và B: 1 lựa chọn (màu thứ 3), D khác C và B: 1. Tổng $3\cdot 2\cdot (1+1)=12\ne 18$. Vậy đếm theo kiểu này thiếu: à, khi C = A, D cần khác A và khác B — nhưng D không kề A! D chỉ kề B và C. Khi C = A, D khác C=A và khác B: 3 cách với k=5. Đúng. Vậy với k=3: C=A: D khác A,B: 1 cách; C = màu thứ 3: D khác C và B: 1 cách. Tổng $3\cdot 2\cdot 2=12$. Nhưng liệt kê trực tiếp k=3 chu trình A-B-D-C-A: số tô = $(3-1{)}^4+(3-1)=18$. Đếm trực tiếp k=3: các chu trình 4 đỉnh cần xen kẽ 2 màu: A=x, B=y≠x, D=z≠y, C≠z và C≠x. Nếu z=x: C≠x: 2 cách. Nếu z=màu thứ 3: C≠z, C≠x: 1 cách. Vậy với mỗi (x,y): $2+1=3$, tổng $3\cdot 2\cdot 3=18$. Lỗi trước: khi C=A (tức z=x, C... ở đây vai trò khác). Áp dụng đúng cho bài toán với k=5: A:5, B:4. D kề B: D≠B. C kề A và kề D. Đếm theo (B,D) thay vì (A,B): B≠A, D≠B. Nếu D=A: C khác A (kề A) và kề D=A: C≠A: 4 cách. Nếu D≠A, D≠B (3 cách): C khác A và khác D: 3 cách. Vậy số cách (D,C): $1\cdot 4+3\cdot 3=13$, tổng $5\cdot 4\cdot 13=260$. Xác suất $P=\frac{260}{625}=0,416\approx 0,42$, tức $42\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 hộp từ 25 hộp: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{6}\right)=177100$.

Gọi $A$ là biến cố '6 hộp được chọn có đủ cả ba loại'. Tính biến cố đối $\overline{A}$: 6 hộp được chọn thiếu ít nhất một loại sữa.

Dùng bù - loại trừ, số cách chọn 6 hộp thiếu ít nhất một loại:
- Thiếu sữa dâu (chỉ chọn từ 8+5=13 hộp nho và cam): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{6}\right)=1716$.
- Thiếu sữa nho (chọn từ 12+5=17 hộp dâu và cam): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{6}\right)=12376$.
- Thiếu sữa cam (chọn từ 12+8=20 hộp dâu và nho): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{6}\right)=38760$.

Các giao hai nhau (thiếu hai loại cùng lúc, tức chỉ chọn một loại):
- Chỉ chọn sữa dâu: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}\right)=924$.
- Chỉ chọn sữa nho: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)=28$.
- Chỉ chọn sữa cam: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{6}\right)=0$ (không thể chọn 6 hộp từ 5 hộp).

Theo bù - loại trừ:
$$n(\overline{A})=1716+12376+38760-(924+28+0)=52852-952=51900.$$

Vậy $n(A)=177100-51900=125200$ và
$$P(A)=\frac{125200}{177100}=\frac{1252}{1771}\approx 0,7069.$$

Vậy xác suất để 6 hộp sữa mang đi kiểm nghiệm có đủ cả ba loại là $P=\frac{1252}{1771}\approx 0,7069$.

(AI giải đề cho tôi)
Lô hàng có 20 sản phẩm trong đó 4 phế phẩm, 16 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm: tổng số cách là $C_{20}^6=38760$.

Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm gồm hai trường hợp:
- 0 phế phẩm (6 sản phẩm tốt): $C_{16}^6=8008$.
- 1 phế phẩm: $C_4^1\cdot C_{16}^5=4\cdot 4368=17472$.

Số cách thuận lợi: $8008+17472=25480$.

Xác suất: $P=\frac{25480}{38760}=\frac{637}{969}$.

Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: vé số có 5 chữ số, mỗi chữ số lấy từ 0 đến 9 nên có $10^5$ vé (chấp nhận chữ số 0 đứng đầu vì là vé số). a) $A$: vé không có chữ số 2, mỗi vị trí có 9 cách chọn nên $P(A)=\frac{9^5}{10^5}=(0,9{)}^5$ → đúng. b) Tương tự $P(B)=\frac{9^5}{10^5}=(0,9{)}^5\ne (0,9{)}^4$ → sai. c) $AB$: vé không có chữ số 2 và không có chữ số 7, mỗi vị trí có 8 cách chọn nên $P(AB)=\frac{8^5}{10^5}=(0,8{)}^5\ne (0,8{)}^4$ → sai. d) $X=A\cup B$: $P(X)=P(A)+P(B)-P(AB)=2(0,9{)}^5-(0,8{)}^5=2(0,59049)-0,32768=0,8533$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi chữ số có 9 cách chọn (trừ chữ số 2), nên $P(A)=(9/10{)}^5=(0,9{)}^5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tương tự câu a, $P(B)=(0,9{)}^5$, không phải $(0,9{)}^4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không có chữ số 2 và 7: mỗi vị trí 8 cách, $P(AB)=(0,8{)}^5$, không phải $(0,8{)}^4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(X)=P(A)+P(B)-P(AB)=2(0,9{)}^5-(0,8{)}^5=1,18098-0,32768=0,8533$.

(AI giải đề cho tôi)
Các số tự nhiên bé hơn 100 lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 (chữ số được lặp lại): số có 1 chữ số có 6 số; số có 2 chữ số có $6\times 6=36$ số. Tổng không gian mẫu: 42 số.

a) Biến cố $A$ (số lẻ): số có 1 chữ số lẻ là 1; 3; 5 → 3 số. Số có 2 chữ số lẻ: hàng chục có 6 cách, hàng đơn vị có 3 cách (1; 3; 5) → 18 số. Vậy $n(A)=3+18=21$.
Biến cố $B$ (số chẵn): số có 1 chữ số chẵn là 2; 4; 6 → 3 số. Số có 2 chữ số chẵn: $6\times 3=18$ số. Vậy $n(B)=3+18=21$.

b) $A\cup B$ là biến cố “Số lập được là số lẻ hoặc số chẵn”, tức là “Số lập được là số tự nhiên bé hơn 100 lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6”. Vì $A$ và $B$ đối nhau (mỗi số hoặc lẻ hoặc chẵn), $n(A\cup B)=n(A)+n(B)=21+21=42$.

c) Không gian mẫu có 42 phần tử. Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5: số có 1 chữ số: chỉ có 5 → 1 số; số có 2 chữ số: hàng chục có 6 cách, hàng đơn vị là 5 → 6 số. Tổng: 7 số. Xác suất $=\frac{7}{42}=\frac{1}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5: chữ số hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách, nên không gian mẫu có $5\cdot 5\cdot 4=100$ phần tử.

a) Biến cố $A$ (số chẵn) và $B$ (số chia hết cho 5) đồng thời xảy ra tức số chia hết cho cả 2 và 5, nghĩa là chia hết cho 10, nên chữ số tận cùng phải là 0. Khi đó hàng trăm có 5 cách, hàng chục có 4 cách, vậy $n(A\cap B)=5\cdot 4=20$ kết quả thuận lợi.

b) Tính $n(A)$: số chẵn có tận cùng 0, 2 hoặc 4.
- Tận cùng 0: $5\cdot 4=20$ số.
- Tận cùng 2: hàng trăm có 4 cách (khác 0 và 2), hàng chục có 4 cách → 16 số. Tương tự tận cùng 4: 16 số.
Vậy $n(A)=20+16+16=52$.

Tính $n(B)$: số chia hết cho 5 có tận cùng 0 hoặc 5.
- Tận cùng 0: 20 số; tận cùng 5: hàng trăm có 4 cách, hàng chục có 4 cách → 16 số.
Vậy $n(B)=20+16=36$.

Biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5” là $A\cup B$, với $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+36-20=68$.

Xác suất cần tính: $P(A\cup B)=\frac{68}{100}=\frac{17}{25}=0,68$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16: Tổng số hộp là $12+18=30$. Không gian mẫu: chọn 2 hộp từ 30 hộp, có $C_{30}^2=\frac{30\cdot 29}{2}=435$ cách.

a) Biến cố “Chọn được hai hộp có màu khác nhau”: chọn 1 hộp màu đỏ trong 12 hộp và 1 hộp màu xanh trong 18 hộp, số cách là $12\cdot 18=216$ cách.

b) Biến cố “Hai hộp được chọn có cùng màu”: hoặc chọn 2 hộp màu đỏ, hoặc chọn 2 hộp màu xanh. Số kết quả thuận lợi là $C_{12}^2+C_{18}^2=66+153=219$.
Xác suất cần tính: $P=\frac{C_{12}^2+C_{18}^2}{C_{30}^2}=\frac{219}{435}=\frac{73}{145}\approx 0,5034$.

Kiểm tra: xác suất hai màu khác nhau là $\frac{216}{435}=\frac{72}{145}$, và $\frac{72}{145}+\frac{73}{145}=1$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hoa: 5 + 6 + 7 = 18. Chọn 3 bông từ 18 bông: $n(\Omega )=C_{18}^3=816$.

Cách 1 (dùng biến cố đối): Gọi $A$ là biến cố "chọn được 3 bông có ít nhất 2 màu". Biến cố đối $\overline{A}$: "3 bông cùng một màu".
- 3 bông trắng: $C_5^3=10$
- 3 bông đỏ: $C_6^3=20$
- 3 bông vàng: $C_7^3=35$
Số kết quả bất lợi: $10+20+35=65$.

Vậy $P(A)=1-\frac{65}{816}=\frac{751}{816}\approx 0,9203$.

Cách 2 (đếm trực tiếp):
- Đúng 2 màu: chọn 2 màu trong 3 màu ($C_3^2=3$ cách), mỗi màu chọn ít nhất 1 bông:
+ Trắng - đỏ: $C_5^1{C}_6^2+C_5^2{C}_6^1=5\cdot 15+10\cdot 6=135$
+ Trắng - vàng: $C_5^1{C}_7^2+C_5^2{C}_7^1=5\cdot 21+10\cdot 7=175$
+ Đỏ - vàng: $C_6^1{C}_7^2+C_6^2{C}_7^1=6\cdot 21+15\cdot 7=231$
Tổng đúng 2 màu: $135+175+231=541$.
- Đúng 3 màu: $5\cdot 6\cdot 7=210$.
Số kết quả thuận lợi: $541+210=751$.

Vậy $P(A)=\frac{751}{816}\approx 0,92$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 14 (trang 20): Lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Không gian mẫu: chữ số hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách, nên tổng số là $5\cdot 5\cdot 4=100$ số.

a) Biến cố $A$: 'Số được lập là số chẵn' (chữ số tận cùng là 0, 2 hoặc 4):
- Tận cùng là 0: $5\cdot 4=20$ số.
- Tận cùng là 2: hàng trăm có 4 cách (khác 0 và 2), hàng chục có 4 cách → $16$ số.
- Tận cùng là 4: tương tự $16$ số.
Vậy $n(A)=20+16+16=52$.

Biến cố $B$: 'Số được lập là số chia hết cho 5' (tận cùng là 0 hoặc 5):
- Tận cùng là 0: $20$ số.
- Tận cùng là 5: $4\cdot 4=16$ số.
Vậy $n(B)=20+16=36$.

b) Biến cố 'Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5' là $A\cup B$, tức số có tận cùng là 0, 2, 4 hoặc 5:
$n(A\cup B)=20+16+16+16=68$ (cũng có thể dùng công thức $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+36-20=68$, với $A\cap B$ là các số tận cùng bằng 0).

Xác suất: $P(A\cup B)=\frac{68}{100}=\frac{17}{25}=0,68$.

Chọn C. Có $H=\{1;2;...;100\}$, tập $H$ có 100 phần tử, trong đó có 50 phần tử là số chẵn và 50 phần tử là số lẻ. Gọi $H_1=\{1,3,5,...,99\}$, $H_2=\{2,4,6,...,100\}$. Lấy 3 phần tử từ tập $H$, có $\left|\Omega \right|=C_{100}^3=161700$. Gọi $a,b,c$ là 3 số tự lập thành cấp số cộng $\iff \frac{a+c}{2}=b$. Do $a,b,c\in H$ nên $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Trường hợp 1: $a,c$ cùng chẵn. Chọn 2 phần tử thuộc $H_2$ có: $C_{50}^2$ (cách). Có duy nhất một cách chọn $b=\frac{a+c}{2}$. Trường hợp 2: $a,c$ cùng lẻ. Chọn 2 phần tử thuộc $H_1$ có: $C_{50}^2$ (cách). Có duy nhất một cách chọn $b=\frac{a+c}{2}$. Qua 2 trường hợp có $\left|{\Omega }_A\right|=1.C_{50}^2+1.C_{50}^2=2C_{50}^2=2450$. Suy ra xác suất thỏa yêu cầu $p=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{66}$.