Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{30}^3=4060$. Gọi A là biến cố: “Tích 3 số rút ra từ 3 thẻ là một số chia hết cho 3”. $\overline{A}$ là biến cố: “Tích 3 số rút ra từ 3 thẻ là một số không chia hết cho 3”. Trong 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30 có 10 thẻ được đánh số chia hết cho 3 và 20 thẻ được đánh số không chia hết cho 3 (học sinh không giải thích vẫn cho điểm). Khi đó $n(\overline{A})=C_{20}^3$. $\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{C_{20}^3}{C_{30}^3}$ $\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{C_{20}^3}{C_{30}^3}=\frac{146}{203}$.

a) Để đi từ $A$ đến $B$ thì chú thỏ cần đi 6 bước lên trên và 6 bước sang phải.

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Có $C_{12}^6$ cách để chú thỏ đi từ $A$ đến $B$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

b) Gọi $H$ là biến cố “Chú thỏ đi qua điểm $H$”. Khi đó $P(H)=\frac{C_4^2.C_8^4}{C_{12}^6}=\frac{5}{11}$.

Gọi $K$ là biến cố “Chú thỏ đi qua điểm $K$”. Khi đó $P(K)=\frac{C_8^4.C_4^2}{C_{12}^6}=\frac{5}{11}$.

Khi đó $HK$ là biến cố “Chú thỏ đi qua cả $H$ và $K$”. Khi đó $P(HK)=\frac{C_4^2.C_4^2.C_4^2}{C_{12}^6}=\frac{18}{77}$.

Ta có $$P(H\cup K)=P(H)+P(K)-P(HK)=\frac{5}{11}+\frac{5}{11}-\frac{18}{77}=\frac{52}{77}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là áo, S là sữa, C là cặp sách. Vì mỗi em nhận 2 suất quà khác loại, mỗi em tương ứng với một cặp loại quà. Gọi x là số em nhận cặp (A,S), y là số em nhận (A,C), z là số em nhận (S,C). Đếm theo số lượng quà: x+y=7 (áo), x+z=9 (sữa), y+z=4 (cặp). Cộng lại: 2(x+y+z)=20 nên x+y+z=10 (đúng 10 em). Giải hệ: x=10-4=6, y=10-9=1, z=10-7=3. Vậy trong 10 em có 6 em nhận (áo, sữa), 1 em nhận (áo, cặp), 3 em nhận (sữa, cặp). Cách chia các cặp loại quà cho 10 em (trong đó có Giao và Thủy) là một hoán vị của đa tập {6 lần AS, 1 lần AC, 3 lần CS} lên 10 em, tất cả đồng khả năng. Xác suất để Giao và Thủy nhận cùng loại cặp quà: P = [6·5 + 1·0 + 3·2]/(10·9) = 36/90 = 0,4. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,4.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: mỗi khách hàng có 5 lựa chọn quầy nên $n(\Omega )=5^4=625$. Biến cố A: 'có 3 khách cùng vào một quầy và khách còn lại vào quầy khác'. Chọn 3 trong 4 khách để ở cùng nhau: $C_4^3=4$ cách; chọn quầy cho nhóm 3 khách: 5 cách; chọn quầy khác cho khách còn lại: 4 cách. Vậy $n(A)=4\cdot 5\cdot 4=80$. Xác suất $P(A)=\frac{80}{625}=0,128\approx 0,13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,13.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 viên từ 12 viên: $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5}\right)=792$. Biến cố đối của 'ít nhất 2 viên xanh' là 'có 0 hoặc 1 viên xanh': số cách $=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=1+35=36$. Vậy $P(\le 1\text{ xanh})=\frac{36}{792}=\frac{1}{22}$, nên $P(\text{ıˊt nhaˆˊt 2 xanh})=1-\frac{1}{22}=\frac{21}{22}$. Khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 viên từ 12 viên: $n=C_{12}^5=792$. Xác suất có ít nhất 2 viên vàng (2, 3, 4 hoặc 5 viên vàng): $C_5^2{C}_7^3=350$, $C_5^3{C}_7^2=210$, $C_5^4{C}_7^1=35$, $C_5^5=1$, tổng $596$. Vậy $P=\frac{596}{792}=\frac{149}{198}$. Khớp đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_{12}^3=220$ cách lấy 3 viên từ 12 viên bi. Biến cố 'ít nhất 2 viên xanh' gồm: đúng 2 xanh 1 đỏ: $C_8^2\cdot C_4^1=28\cdot 4=112$; đúng 3 xanh: $C_8^3=56$. Tổng cách thuận lợi: $112+56=168$. Vậy $P=\frac{168}{220}=\frac{42}{55}\approx 0,7636\approx 0,76$.

Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=(10-1)!=9!$. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố: Công đoạn 1: Sử dụng phương pháp bó để bó $A,B$ thành 1 phần tử. Số cách hoán vị nội bộ là $2!$ cách. Công đoạn 2: Lúc này trên bàn chỉ còn 9 phần tử, số cách hoán vị chúng là $8!$ cách. Vậy có: $2!\cdot 8!$ cách. Vậy xác suất của biến cố là: $P=\frac{2!\cdot 8!}{9!}=\frac{2}{9}$

- Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{52}^2$.
- Số kết quả thuận lợi của biến cố có ít nhất 1 quân bài màu đen là: Sử dụng phương pháp đếm phần bù: $n=C_{52}^2-C_{26}^2$ (trong đó $C_{52}^2$ là số cách chọn ngẫu nhiên 2 quân bài từ 52 quân bài và $C_{26}^2$ là số cách chọn 2 quân bài toàn màu trắng (không có màu đen)).
- Xác suất của biến cố là: $P=\frac{n}{n(\Omega )}=\frac{C_{52}^2-C_{26}^2}{C_{52}^2}=\frac{77}{102}$ suy ra $T=a+b=77+102=179$.
Đáp án: 179

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: n(Ω)=C(20,2)=190. a) Có 10 thẻ chẵn, 10 thẻ lẻ, nên P(C)= (10·10)/190 = 100/190 = 10/19 → đúng. b) n(Ω)=C(20,2)=190 → đúng. c) Hai thẻ chẵn chọn từ 10 thẻ chẵn: n(B)=C(10,2)=45 → đúng. d) Các số nguyên tố lẻ từ 1 đến 20 là 3,5,7,11,13,17,19 (7 số, vì 2 là số chẵn), nên n(D)=C(7,2)=21 ≠ C(8,2) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(C)= (C(10,1)·C(10,1))/C(20,2) = 100/190 = 10/19, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
n(Ω)=C(20,2)=190, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
n(B)=C(10,2)=45, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số nguyên tố lẻ từ 1 đến 20: 3,5,7,11,13,17,19 gồm 7 số (2 là số chẵn), nên n(D)=C(7,2)=21, không phải C(8,2).

(AI giải đề cho tôi)
Túi có 4 đôi giày khác loại, tức 8 chiếc giày. Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc: số cách lấy là $C_8^2=28$. Muốn được một đôi giày hoàn chỉnh, 2 chiếc phải cùng một đôi: có 4 cách. Vậy xác suất $P=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$, nên $a=1,b=7$, do đó $a+b=8$.

Đáp án chính thức (Mã 2014, Phần II Câu 3): ĐSĐĐ. a) $n(\Omega )=C_9^3=84$: Đúng. b) $P(B)=\frac{C_4^3}{C_9^3}=\frac{1}{21}\ne \frac{3}{25}$: Sai. c) $P(A)=\frac{C_5^3}{C_9^3}=\frac{5}{42}$: Đúng. d) $P(C)=\frac{C_5^2{C}_4^1+C_5^1{C}_4^2}{C_9^3}=\frac{70}{84}=\frac{5}{6}$: Đúng.
a) Chọn ngẫu nhiên 3 viên từ 9 viên bi nên $n(\Omega )=C_9^3=84$.
b) $P(B)=\frac{C_4^3}{C_9^3}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}\ne \frac{3}{25}$ nên khẳng định Sai.
c) $P(A)=\frac{C_5^3}{C_9^3}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$ nên khẳng định Đúng.
d) $P(C)=\frac{C_5^2{C}_4^1+C_5^1{C}_4^2}{C_9^3}=\frac{40+30}{84}=\frac{70}{84}=\frac{5}{6}$ nên khẳng định Đúng, phù hợp đáp án chính thức ĐSĐĐ.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp 8 học sinh thành hàng dọc là $8!=40320$.

Để nam và nữ xen kẽ nhau, dãy phải có dạng Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam hoặc Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ (2 dạng).
- Số cách xếp 4 nữ vào 4 vị trí nữ: $4!$
- Số cách xếp 4 nam vào 4 vị trí nam: $4!$

Số cách thuận lợi: $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$.

Xác suất: $P=\frac{2\cdot 4!\cdot 4!}{8!}=\frac{1152}{40320}=\frac{1}{35}$.

Kết quả trùng khớp với đáp án nguồn $\frac{1}{35}$.

a) Không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{12}^3=220$.
b) Gọi biến cố A: “chọn được 3 quả bóng vừa khác màu vừa khác số”. Ta có $n(A)=C_3^1\cdot C_3^1\cdot C_3^1=27$
Vậy xác suất là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{27}{220}\approx 0,\mathrm{12..}$

$n(\Omega )=4!=24$

Gọi A là biến cố “Nam ngồi đúng ghế cũ của mình”.

B là biến cố “Hùng ngồi đúng ghế cũ của mình”.

C là biến cố “Có ít nhất một trong hai anh em ngồi đúng ghế cũ của mình”.

$n(A)=1.3!=6$

$n(B)=1.3!=6$

$n(AB)=1.2!=2$

$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

$=\frac{6}{24}+\frac{6}{24}-\frac{2}{24}=\frac{5}{12}$

Số phần tử không gian mẫu (rút 2 thẻ từ 10 thẻ): $n(\Omega )=C_{10}^2=45$. Gọi A là biến cố "tích hai số trên thẻ chia hết cho 4". Phân loại các số từ 1 đến 10: Nhóm 1 (Chia hết cho 4): $\{4;8\}$ → có 2 số. Nhóm 2 (Chẵn nhưng không chia hết cho 4): $\{2;6;10\}$ → có 3 số. Nhóm 3 (Số lẻ): $\{1;3;5;7;9\}$ → có 5 số. (0,25) Tích 2 số chia hết cho 4 sẽ xảy ra trong các trường hợp sau: TH1: Có 1 thẻ thuộc Nhóm 1, thẻ còn lại thuộc Nhóm 2 hoặc Nhóm 3 (có $3+5=8$ số). Số cách: $C_2^1\times C_8^1=16$. TH2: Cả 2 thẻ đều thuộc Nhóm 1. Số cách: $C_2^2=1$. TH3: Cả 2 thẻ đều thuộc Nhóm 2 (ví dụ $2\times 6=12$ chia hết cho 4). Số cách: $C_3^2=3$. Tổng số kết quả thuận lợi cho A: $n(A)=16+1+3=20$. Xác suất: $P(A)=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$. (0,25)

Số kết quả của không gian mẫu là: $n(\Omega )=C_{45}^6=8145060$. Gọi A là biến cố “Vé A mua trúng thưởng”. Các trường hợp trúng thưởng: TH1: Trúng 6 số với số trúng thưởng: 1 (trường hợp). TH2: Trúng 5 số với số trúng thưởng có $C_6^5.C_{39}^1=234$ (trường hợp). TH3: Trúng 4 số với số trúng thưởng có $C_6^4{C}_{39}^2=11115$ (trường hợp). TH4: Trúng 3 số với số trúng thưởng có $C_6^3{C}_{39}^3=182780$ (trường hợp). Vậy xác suất trúng thưởng của bạn A là $$P(A)=\frac{1+234+11115+182780}{8145060}=\frac{6471}{271502}\approx 0.024$$ (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Tích ba số là số lẻ khi và chỉ khi cả ba thẻ đều lẻ. Xác suất chọn thẻ lẻ từ hộp A: $P(X)=\frac{3}{5}$. Xác suất chọn hai thẻ lẻ từ hộp B (có 3 thẻ lẻ: 1,3,5 trong 6 thẻ): $P(Z)=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$. Hai hộp độc lập nên $P(\text{tıˊch lẻ})=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{9}{75}=0,12$. Vậy xác suất tích số là số chẵn $=1-0,12=0,88$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,88.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 2 quả từ 10 quả: $C_{10}^2=45$ cách. Lấy 2 quả cùng màu: 2 xanh $C_6^2=15$ hoặc 2 đỏ $C_4^2=6$, tổng 21 cách. Xác suất $=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$, phân số tối giản với $a=7,b=15$, nên $a+b=22$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 18 thẻ từ 1 đến 18, chia theo số dư khi chia cho 3: có 6 số dư 0 ($\{3,6,9,12,15,18\}$), 6 số dư 1 ($\{1,4,7,10,13,16\}$), 6 số dư 2 ($\{2,5,8,11,14,17\}$). Tổng số cách bốc 3 thẻ: $C_{18}^3=816$. Tổng của 3 thẻ chia hết cho 3 khi: (1) cả 3 thẻ cùng một loại số dư: $3\cdot C_6^3=3\cdot 20=60$ cách; (2) ba thẻ có ba số dư khác nhau (mỗi loại một thẻ): $6^3=216$ cách. Tổng trường hợp thuận lợi: $60+216=276$. Vậy $P=\frac{276}{816}=\frac{23}{68}$ (phân số tối giản, vì $\gcd (23,68)=1$). Do đó $a=23,b=68$ và $4a+5b=4\cdot 23+5\cdot 68=92+340=432$.