Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Hộp thứ nhất có $3$ viên bi xanh và $6$ viên bi đỏ. Hộp thứ hai có $3$ viên bi xanh và $7$ viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp thứ hai. Biết rằng $2$ viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một công ty sản xuất xe đạp điện thống kê tất cả các phản ánh của khách hàng sử dụng sản phẩm xe đạp điện của công ty trong một thời gian dài, thấy có 5% số xe đạp điện bị lỗi động cơ điện. Để nâng cao chất lượng sản phẩm trước khi đưa ra thị trường, công ty sử dụng thiết bị kiểm tra để kiểm tra động cơ điện trước khi lắp ráp, thiết bị này khi kiểm tra các động cơ bị lỗi thì phát hiện đúng 98% động cơ bị lỗi, khi kiểm tra các động cơ không bị lỗi thì xác định sai 3% động cơ với kết quả báo bị lỗi nhưng hoạt động bình thường. Chọn ngẫu nhiên một chiếc xe đạp điện để kiểm tra. Gọi các biến cố $E$: “xe đạp điện được chọn bị lỗi động cơ điện”, $F$: “động cơ điện của xe đạp điện được chọn qua kiểm tra thiết bị xác định bị lỗi”.

Trong một hộp đựng $5$ quả cầu chứa phiếu có thưởng và $10$ quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.

Trong một trường THPT X có tỉ lệ học sinh nữ là $48\%$. Tỉ lệ học sinh nữ và học sinh nam tham gia tư vấn tuyển sinh do Báo Thanh niên phối hợp với Sở GDĐT tổ chức lần lượt là $18\%$ và $15\%$. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh đó có tham gia tư vấn tuyển sinh. Tính xác suất học sinh đó là nam (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bò bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F.M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Chọn ngẫu nhiên một con bò ở Hà Lan.

Công ty X có giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất một loại sản phẩm Y. Xí nghiệp I sản xuất $55\%$ tổng sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là $5\%$, xí nghiệp II với tỉ lệ sản phẩm tốt là $97\%$. Để tăng xác suất chọn được phế phẩm, người ta dùng một con xúc xắc cân đối đồng chất để gieo ngẫu nhiên, nếu số chấm thu được không vượt quá $2$ thì chọn một sản phẩm của xí nghiệp I, nếu số chấm lớn hơn $2$ thì chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của cả công ty (tức là của cả hai xí nghiệp). Xác suất để số chấm của xúc xắc lớn hơn $2$, biết rằng sản phẩm được chọn là phế phẩm là bao nhiêu phần trăm? *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*

Khảo sát $200$ người xem bộ phim hoạt hình về thể loại trinh thám vừa được phát hành cho thấy $140$ người xem là trẻ em và $60$ người xem là người lớn. Trong số các trẻ em đến xem phim có $50\%$ yêu thích bộ phim và khẳng định sẽ đi xem tiếp phần 2; $30\%$ yêu thích bộ phim nhưng sẽ không xem tiếp phần 2; $20\%$ còn lại không thích bộ phim và không xem tiếp phần 2. Trong số những người lớn đi xem phim có $20\%$ yêu thích bộ phim và khẳng định sẽ đi xem tiếp phần 2; $10\%$ yêu thích bộ phim nhưng sẽ không xem tiếp phần 2; $70\%$ còn lại không thích bộ phim và không xem tiếp phần 2.
Gọi $A$ là biến cố: “Người được chọn là trẻ em”; $B$ là biến cố: “Người được chọn yêu thích bộ phim”; $C$ là biến cố: “Người được chọn sẽ đi xem tiếp phần 2”. Chọn ngẫu nhiên $1$ người đã xem phim.

Một loại linh kiện do hai nhà máy I, II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy I, II lần lượt là: $0,05$; $0,04$. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $100$ sản phẩm của nhà máy I và $150$ sản phẩm của nhà máy II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện của lô hàng đó. Giả sử linh kiện được chọn là phế phẩm. Tính xác suất linh kiện này thuộc nhà máy I (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Một công ty tổ chức chương trình bốc thăm trúng thưởng cuối năm cho 50 nhân viên. Trong hộp có 50 vé, trong đó có 2 vé trúng thưởng xe máy, 5 vé trúng thưởng điện thoại và 10 vé trúng thưởng voucher mua sắm. Lần lượt từng nhân viên lên bốc ngẫu nhiên một vé (không hoàn lại).

Một công ty công nghệ có hai chi nhánh $M$ và $N$ sản xuất linh kiện điện tử. Biết rằng chi nhánh $M$ sản xuất $60\%$ số linh kiện. Tỉ lệ số linh kiện bị lỗi của chi nhánh $M$ là $3\%$ và tỉ lệ số linh kiện bị lỗi của chi nhánh $N$ là $4\%$. Một linh kiện được chọn ngẫu nhiên từ kho của công ty và phát hiện là bị lỗi. Xác suất để linh kiện này được sản xuất bởi chi nhánh $N$ là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng A và B lần lượt sản xuất 55% và 45% tổng số sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ sản phẩm tốt của phân xưởng A và B lần lượt là 90% và 95%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.

Một cửa hàng đã bán 2 loại đồ chơi gồm 120 mô tô và 80 búp bê cho các bé ở một trường tiểu học. Qua thống kê thấy rằng trong số bé mua mô tô có $70\%$ là nam, trong số bé mua búp bê có $80\%$ là nữ. Biết rằng mỗi bé chỉ mua duy nhất một loại đồ chơi. Chọn ngẫu nhiên một bé đã mua đồ chơi trong trường tiểu học đó.

Lớp 10T trong một trường THPT có 22 nam và 23 nữ. Qua thống kê hằng năm tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam của khối 10 tham gia câu lạc bộ Toán học trong nhà trường lần lượt là $10\%$ và $13\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10T. Tính xác suất học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó có tham gia câu lạc bộ Toán học của trường (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong một trường trung học phổ thông, người ta khảo sát về mối quan hệ giữa việc học sinh sử dụng tài liệu học tập trực tuyến và kết quả thi môn Toán. Kết quả khảo sát cho thấy $70\%$ học sinh của trường có sử dụng tài liệu học tập trực tuyến. Trong số học sinh sử dụng tài liệu trực tuyến có $80\%$ đạt điểm khá giỏi môn Toán. Trong số học sinh không sử dụng tài liệu trực tuyến, chỉ có $50\%$ đạt điểm khá giỏi môn Toán. Nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh từ trường, biết học sinh này đạt điểm khá giỏi môn Toán thì xác suất học sinh này có sử dụng tài liệu học tập trực tuyến là bao nhiêu? *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*

Giả sử trong một nhóm $100$ người có $10$ người nhiễm bệnh X, $90$ người còn lại không nhiễm bệnh X. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh X, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Một loại xét nghiệm cho kết quả như sau: Đối với người nhiễm bệnh X, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là $80\%$, còn đối với người không nhiễm bệnh X thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là $9\%$. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm được xét nghiệm. Xét các biến cố:

$A$: "Người được chọn có kết quả xét nghiệm dương tính",

$B$: "Người được chọn là người nhiễm bệnh X".

Hiện nay, nước ta đang trong quá trình tinh gọn bộ máy nhà nước và thực hiện nghị quyết không tổ chức công an cấp huyện. Do vậy, trong đợt điều động cán bộ công an từ huyện về công tác tại cơ sở hoặc công tác tại công an tỉnh, phòng tổ chức cán bộ nhận thấy rằng:
- Có 60% cán bộ có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu vùng xa, số còn lại nguyện vọng về công tác tại công an tỉnh.
- Trong số cán bộ có nguyện vọng về công tác tại cơ sở thì 70% có trình độ đại học và 30% có trình độ trung cấp.
- Trong số cán bộ có nguyện vọng về công an tỉnh thì 80% có trình độ đại học và 20% có trình độ trung cấp.
Tuy nhiên, năng lực công tác cũng là một yếu tố quan trọng. Dựa trên hồ sơ đánh giá năng lực:
- Trong số cán bộ có nguyện vọng về cơ sở thì tỷ lệ cán bộ được đánh giá có năng lực "Tốt" trở lên với trình độ đại học là 60% và trình độ trung cấp là 40%.
- Trong số cán bộ có nguyện vọng về công tác tại công an tỉnh thì tỷ lệ được đánh giá là có năng lực "Tốt" trở lên với trình độ đại học là 85% và với trình độ trung cấp là 15%.
Chọn ngẫu nhiên một cán bộ công an. Tính xác suất để cán bộ này có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu vùng xa, biết rằng người đó có trình độ đại học và được đánh giá có năng lực "Tốt" (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một hộp có $3$ viên bi đỏ và $2$ viên bi xanh. Rút ngẫu nhiên lần lượt, không hoàn lại hai viên bi liên tiếp. Khi đó:

Trong một dự án nghiên cứu, số cây được mang về 2 vườn để trồng. Khu vườn 1 được giao $70\%$ số cây, tỷ lệ cây sống được là $94\%$, còn với khu vườn 2, tỷ lệ cây sống được là $92\%$. Các cây đều được mã hóa và có thể theo dõi khả năng sinh tồn từ xa. Nhóm nghiên cứu chuẩn bị chọn 1 cây để theo dõi quá trình phát triển của nó. Nếu thời tiết xấu thì chỉ chọn được cây trong vườn số 1. Nếu thời tiết đẹp có thể chọn 1 cây bất kỳ ở cả 2 vườn, xác suất chọn các cây là như nhau. Biết $80\%$ là thời tiết đẹp, $20\%$ là thời tiết xấu. Tính xác suất để chọn được cây trong vườn 1 biết cây đó còn sống (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để biết được mối tương quan giữa việc chơi thể thao và học lực của học sinh, người ta đã tiến hành phỏng vấn ngẫu nhiên $1000$ học sinh tại trường THPT X. Trong đó, có $600$ học sinh chơi thể thao và $25\%$ trong số này đạt học lực giỏi. Trong các học sinh còn lại không chơi thể thao có $12,5\%$ đạt học lực giỏi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh được phỏng vấn. Gọi $A$ là biến cố “học sinh được phỏng vấn có học lực giỏi” và $B$ là biến cố “học sinh được phỏng vấn chơi thể thao”.

Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?