Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0, tức là ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện ở bậc nhất. Xét từng phương án: A. $3x^2+2x-4\ge 0$ chỉ có một ẩn và chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải. B. $x+y^2<1$ chứa $y^2$ (bậc hai) nên không phải. C. $2x^2+5y>3$ chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải. D. $2x+3y<6$ có dạng $ax+by+c<0$ với $a=2,b=3$ đều khác 0, hai ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất, nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A. $3x^2+2x-4\ge 0$ chỉ có một ẩn và chứa $x^2$ (bậc hai) nên sai. B. $x+y^2<1$ chứa $y^2$ (bậc hai) nên sai. C. $2x+3y<6$ có dạng bậc nhất hai ẩn với $a=2,b=3$ nên đúng. D. $2x^2+5y>3$ chứa $x^2$ (bậc hai) nên sai. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 198, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ bất phương trình: $3x-4y+12\ge 0$, $x+y-5\ge 0$, $x+1>0$.
- $P(-1;5)$: $3(-1)-4(5)+12=-5<0$ → loại.
- $Q(-2;-3)$: $x+1=-1<0$ → loại.
- $N(4;3)$: $3(4)-4(3)+12=12\ge 0$; $4+3-5=2\ge 0$; $4+1=5>0$ → thỏa cả ba bất phương trình.
- $M(1;-3)$: $1+(-3)-5=-7<0$ → loại.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $N(4;3)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 198, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $x-4y+5\ge 0$:
- A: $(-5;0)$: $-5-4\cdot 0+5=0\ge 0$, thỏa mãn.
- B: $(1;-3)$: $1-4(-3)+5=18\ge 0$, thỏa mãn.
- C: $(-2;1)$: $-2-4\cdot 1+5=-1<0$, không thỏa mãn.
- D: $(0;0)$: $0-0+5=5\ge 0$, thỏa mãn.
Vậy cặp số không là nghiệm là $(-2;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}$:
- $(0;0)$: $0+0-2=-2\le 0$ đúng; $2\cdot 0-3\cdot 0+2=2>0$ đúng $\Rightarrow$ là nghiệm.
- $(-1;1)$: $-1+1-2=-2\le 0$ đúng; $2(-1)-3(1)+2=-3>0$ sai $\Rightarrow$ không là nghiệm.
- $(1;1)$: $1+1-2=0\le 0$ đúng; $2-3+2=1>0$ đúng $\Rightarrow$ là nghiệm.
- $(-1;-1)$: $-1-1-2=-4\le 0$ đúng; $-2+3+2=3>0$ đúng $\Rightarrow$ là nghiệm.
Vậy cặp số không là nghiệm của hệ là $(-1;1)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A: $2\cdot 0+0=0<1$ (thỏa). B: $2\cdot (-2)+1=-3<1$ (thỏa). C: $2\cdot 3+(-7)=-1<1$ (thỏa). D: $2\cdot 0+1=1$, không nhỏ hơn 1 nên không thỏa. Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}$: Với $(-2;4)$: $2(-2)+3(4)-1=7>0$ và $5(-2)-4+4=-10<0$ → thuộc miền nghiệm. Với $(-1;4)$: $-2+12-1=9>0$ và $-5-4+4=-5<0$ → thuộc miền nghiệm. Với $(0;0)$: $2(0)+3(0)-1=-1>0$ sai → không thuộc miền nghiệm. Với $(-3;4)$: $-6+12-1=5>0$ và $-15-4+4=-15<0$ → thuộc miền nghiệm. Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $(0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số xe loại $A$ và $B$ được thuê ($0\le x\le 12$, $0\le y\le 10$, nguyên). Ràng buộc: $20x+10y\ge 120\iff 2x+y\ge 12$ (người) và $x+2y\ge 15$ (hàng). Cần tối thiểu hóa $f=5x+4y$. Thử các phương án nguyên khả thi: $x=3,y=6$: người $60+60=120\ge 120$, hàng $3+12=15\ge 15$, chi phí $15+24=39$. $x=2,y=8$: người $120$, hàng $18$, chi phí $42$. $x=4,y=6$: chi phí $44$. $x=3,y=7$: $43$. $x=2,y=7$ chỉ chở $110<120$ người nên không hợp lệ. Kiểm tra biên: $y=10$ cần $x\ge 2$ cho chi phí $\ge 50$; $x=12$ cho chi phí $\ge 68$. Vậy chi phí nhỏ nhất là $39$ triệu đồng, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm (0;3) và (2;0) nên có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x+2y-6=0$. Trong hình, phần bị gạch chéo là nửa mặt phẳng phía dưới–trái chứa gốc tọa độ O (vì $3\cdot 0+2\cdot 0-6=-6<0$). Phần không bị gạch (tính cả đường thẳng) là nửa mặt phẳng phía trên–phải, ứng với $3x+2y-6\ge 0$. Vậy đáp án là D, khớp với bảng đáp án chính thức (Mã đề 1002, Câu 14: D). Lưu ý: ghi nhận lịch sử cho rằng miền không gạch chứa O là nhầm lẫn; hình vẽ trang 6 cho thấy phần gạch chéo nằm dưới đường thẳng và chứa O.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm (0;3) và (2;0), nên có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+2y=6$, tức $3x+2y-6=0$. Theo đề bài, miền nghiệm là phần KHÔNG bị gạch (tính cả đường thẳng, tức đường thẳng vẽ đậm liền). Điểm bị gạch thuộc nửa mặt phẳng chứa gốc $O$: tại $O(0;0)$ ta có $3\cdot 0+2\cdot 0-6=-6<0$. Vậy phần không bị gạch (miền nghiệm) là nửa mặt phẳng không chứa $O$, ứng với $3x+2y-6>0$, và vì đường thẳng được tính vào miền nghiệm nên dấu là $\ge$: $3x+2y-6\ge 0$. Kiểm tra: điểm $(0;4)$ (thuộc phần không gạch) cho $3\cdot 0+2\cdot 4-6=2\ge 0$ ✓. Loại B vì đường thẳng thuộc miền nghiệm (không dùng dấu nghiêm ngặt), loại C vì sai phía, loại D vì sai phương trình đường thẳng (đường thẳng $2x+3y-6=0$ cắt trục tại $(3;0)$ và $(0;2)$, không khớp hình vẽ). Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào vế trái $x-2y+1$: $M(1;1)$: $1-2+1=0$ (không thỏa $<0$); $O(0;0)$: $1>0$; $N(1;-1)$: $1+2+1=4>0$; $P(0;2)$: $0-4+1=-3<0$ thỏa bất phương trình. Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $P(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số vào hệ $\{\begin{array}{l}2x-y\le 5\\ 2x+y\ge 3\\ 3x+4y-6<0\end{array}$:
- A $(1;6)$: $2(1)-6=-4\le 5$ đúng; $2(1)+6=8\ge 3$ đúng; $3(1)+4(6)-6=21<0$ sai.
- B $(-2;2)$: $2(-2)+2=-2\ge 3$ sai.
- C $(0;1)$: $2(0)+1=1\ge 3$ sai.
- D $(2;-1)$: $2(2)-(-1)=5\le 5$ đúng; $2(2)+(-1)=3\ge 3$ đúng; $3(2)+4(-1)-6=-4<0$ đúng.
Vậy $(2;-1)$ thỏa cả ba bất phương trình, là nghiệm của hệ.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có các đỉnh: O(0;0), giao của x+y=5 với Ox là (5;0), giao của x+y=5 với 2x+3y=12 là (3;2), giao của 2x+3y=12 với Oy là (0;4). a) A(0;5): 2·0+3·5=15>12 nên A không thuộc miền nghiệm → sai. b) Miền nghiệm là tứ giác O(0;0),(5;0),(3;2),(0;4) → đúng. c) Diện tích theo công thức shoelace: S=½(5·2+3·4)=11 → đúng. d) F=5x+3y tại các đỉnh: (5;0)→25, (3;2)→21, (0;4)→12, (0;0)→0. Max F=25≠21 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;5) vào 2x+3y≤12: 2·0+3·5=15>12, vi phạm ràng buộc nên A không thuộc miền nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh của miền nghiệm là O(0;0), (5;0), (3;2), (0;4) — miền nghiệm là tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tứ giác đỉnh (0;0),(5;0),(3;2),(0;4): S=½|5·2−0·3+3·4−2·0|=½(10+12)=11.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=5x+3y tại các đỉnh: (5;0)→25, (3;2)→21, (0;4)→12. Giá trị lớn nhất là 25, không phải 21.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại $I$, $II$ với $0\le x\le 9$, $0\le y\le 7$. Ràng buộc: $25x+20y\ge 160$ và $1,2x+2y\ge 12$. Chi phí $P=5x+4y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền nghiệm: giao hai đường thẳng $25x+20y=160$, $1,2x+2y=12$ cho $x=\frac{40}{13},y=\frac{54}{13}$, khi đó $P=\frac{200+216}{13}=32$. Tại $y=7$: cần $x\ge 0,8$, $P=5(0,8)+28=32$. Tại $x=9$: cần $y\ge 0,6$, $P=47,4$. Vậy chi phí ít nhất là $32$ triệu đồng (đạt tại $\left(\frac{40}{13};\frac{54}{13}\right)$ hoặc $(0,8;7)$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(4;0)$ và $(0;-2)$, nên có phương trình: $\frac{x}{4}+\frac{y}{-2}=1\iff x-2y=4$. Trong hình, phần gạch chéo nằm phía trên đường thẳng, còn phần không bị gạch chéo (kể cả đường thẳng) là nửa mặt phẳng phía dưới, tức miền thỏa $x-2y\ge 4$ (kể cả đường biên). Kiểm tra: điểm $(4;0)$ thuộc miền không gạch chéo với $4-2\cdot 0=4\ge 4$ (đúng); điểm $O(0;0)$ nằm phía gạch chéo với $0-2\cdot 0=0<4$ (không thuộc miền nghiệm, đúng). Biến đổi $x-2y\ge 4\iff -x+2y\le -4$. Vậy đáp án là B. Các phương án khác: A tương đương $x-2y\ge -\frac{5}{2}$ (đường biên khác), C là $x-2y\le 4$ (miền phía trên, trùng miền gạch chéo), D tương đương $x-2y\ge -\frac{3}{2}$ (đường biên khác).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 100$ (công suất), $20x+10y\le 6000$ (nguyên liệu, nghìn đồng), $40(2x+y)\le 6000\iff 2x+y\le 150$ (tiền công thợ), $x,y\ge 0$. Lợi nhuận mỗi mét: gấm $150-20-80=50$ nghìn, tơ tằm $80-10-40=30$ nghìn. Cần tối đa hóa $P=50x+30y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,100)$: $P=3000$; giao của $x+y=100$ và $2x+y=150$ là $(50,50)$: $P=2500+1500=4000$; $(75,0)$: $P=3750$. Vậy lợi nhuận lớn nhất tại $x=50,y=50$, khi đó $x+3y=50+150=200$.

Đáp án: 5

Gọi $x$, $y$ (là các số nguyên dương) lần lượt là số hộp nhỏ và hộp lớn An mua, $T$ là giá đơn hàng (đơn vị triệu đồng)

Để được miễn phí giao hàng $\iff T\ge 0,9$

Theo đề ra ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}3\le x\le 10\\ 1\le y\le 5\\ T=0,1x+0,3y\ge 0,9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3\le x\le 10\\ 1\le y\le 5\\ x+3y\ge 9\end{array}$ (1)

Ta cần tìm cặp số $x;y$ thoả mãn hệ (1) và tổng $K(x;y)=x+y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của (1)



Miền nghiệm của hệ (1) là ngũ giác $MNPQR$ với $M(3;5)$, $N(10;5)$, $P(10;1)$, $Q(6;1)$, $R(3;2)$

Ta có: $K(3;5)=8$, $K(10;5)=15$, $K(10;1)=11$, $K(6;1)=7$, $K(3;2)=5$.

Vậy $\min K(x;y)=5\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$.

Gọi $x$ là số bánh loại I, $y$ là số bánh loại II $(x,y\in \mathbb{N},x,y\ge 0)$



Ta có $\{\begin{array}{l}0,06x+0,08y\le 6\\ 0,08x+0,04y\le 4\end{array}$

Xét hàm $f(x;y)=8x+10y$ và $f(x;y{)}_{\max }=760\iff \{\begin{array}{l}x=20\\ y=60\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số bánh loại I và loại II ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $0,06x+0,08y\le 6\iff 3x+4y\le 300$ và $0,08x+0,04y\le 4\iff 2x+y\le 100$. Hàm mục tiêu $P=8x+10y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;75)$ cho $P=750$; giao điểm $3x+4y=300$, $2x+y=100$ giải ra $x=20,y=60$ cho $P=160+600=760$; $(50;0)$ cho $P=400$. Vậy điểm tối đa là $760$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x,y$. Xét từng phương án:
- A: bất phương trình $3x^2-2y\ge 16$ có ẩn $x$ ở bậc hai, nên không phải bậc nhất.
- B: $2025x-y\le 1$, $x\ge 0$, $y-2\le 0$ đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$, thỏa mãn.
- C: $x^2\ge y^2$ có ẩn ở bậc hai, không phải bậc nhất.
- D: chứa ẩn $z$ (ba ẩn), không phải hệ bậc nhất hai ẩn $x,y$.
Vậy đáp án là B, trùng với đáp án của đề (Câu 11: B).