Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(2)=55$: $75-k{\log }_{3}3=55\Rightarrow k=20$. Cần $75-20{\log }_3(1+t)<10\iff {\log }_3(1+t)>3,25\iff 1+t>3^{3,25}=27\cdot 3^{1/4}\approx 35,5337\iff t>34,5337$. Vậy sau ít nhất khoảng $34,5$ tháng tỉ lệ ghi nhớ giảm xuống dưới $10\%$, khớp đáp án $34,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-7>0$ và $2x+1>0$ nên $x>\frac{7}{4}$ (yêu cầu chặt, không phải $x\ge \frac{7}{4}$). Với log cơ số $\frac{1}{3}$: ${\log }_{1/3}(2x+1)=-{\log }_3(2x+1)$, nên $(\ast )\iff 2{\log }_3(4x-7)-{\log }_3(2x+1)<2\iff {\log }_3\left[\frac{(4x-7{)}^2}{2x+1}\right]<2\iff (4x-7{)}^2<9(2x+1)\iff 16x^2-74x+40<0\iff 8x^2-37x+20<0$. Nghiệm: $x=\frac{37\pm 27}{16}$, tức $\frac{5}{8}<x<4$. Kết hợp $x>\frac{7}{4}$ được $S=\left(\frac{7}{4};4\right)$. Vậy $a=\frac{7}{4}$, $b=4$, $8a+2b^2=14+32=46$ (đúng). Ý b: vế phải đúng phải là ${\log }_3[9(2x+1)]$ chứ không phải ${\log }_3[2(2x+1)]$ (sai). Ý c: điều kiện là $x>\frac{7}{4}$ chặt (sai). Ý d: đúng theo tính chất đổi cơ số.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S=\left(\frac{7}{4};4\right)$ nên $8a+2b^2=8\cdot \frac{7}{4}+2\cdot 16=14+32=46$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\ast )\iff 2{\log }_3(4x-7)<2+{\log }_3(2x+1)={\log }_3[9(2x+1)]$, không phải ${\log }_3[2(2x+1)]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định là $x>\frac{7}{4}$ (yêu cầu chặt vì $4x-7>0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{1/3}(2x+1)={\log }_{3^{-1}}(2x+1)=-{\log }_3(2x+1)$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $4^{2x-1}\ge 8^{x^2-3}$. Viết cùng cơ số 2: $2^{2(2x-1)}\ge 2^{3(x^2-3)}$, tức $2^{4x-2}\ge 2^{3x^2-9}$. Vì cơ số $2>1$ nên $4x-2\ge 3x^2-9$, suy ra $3x^2-4x-7\le 0$. Phân tích: $3x^2-4x-7=(x-\frac{7}{3})(3x+7)$... chính xác hơn nghiệm của $3x^2-4x-7=0$ là $x=\frac{4\pm \sqrt{16+84}}{6}=\frac{4\pm 10}{6}$, tức $x=-1$ hoặc $x=\frac{7}{3}$. Vậy tập nghiệm $-1\le x\le \frac{7}{3}$. Các nghiệm nguyên: $x\in \{-1,0,1,2\}$, gồm 4 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $S(n)>0,95=\frac{19}{20}$. Ta có $\frac{1}{1+2020\cdot 10^{-0,01n}}>\frac{19}{20}\iff 1+2020\cdot 10^{-0,01n}<\frac{20}{19}\iff 2020\cdot 10^{-0,01n}<\frac{1}{19}\iff 10^{-0,01n}<\frac{1}{38380}$. Lấy logarit: $-0,01n<\log \frac{1}{38380}=-\log 38380\iff n>100\log 38380\approx 100\cdot 4,5841=458,41$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $n=459$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Giải từng bất phương trình của Câu 84:

a) $12^{-2x^2+7x+5}\ge 12^{5-3x}$. Vì cơ số $12>1$, so sánh số mũ: $-2x^2+7x+5\ge 5-3x\iff -2x^2+10x\ge 0\iff 2x^2-10x\le 0\iff 2x(x-5)\le 0$. Vậy $0\le x\le 5$, tức $x\in [0;5]$.

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-1}<\frac{4}{3}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}$. Vì $0<\frac{3}{4}<1$, bất đẳng thức đảo chiều: $x-1>-1\iff x>0$. Vậy $x\in (0;+\infty )$.

c) $3\cdot 4^{2x}+5\cdot 16^x>64$. Vì $4^{2x}=16^x$: $8\cdot 16^x>64\iff 16^x>8\iff 2^{4x}>2^3\iff 4x>3\iff x>\frac{3}{4}$. Vậy $x\in \left(\frac{3}{4};+\infty \right)$.

d) $\ln (x^2+1)\le \ln (2x^2-4x+2)$. Điều kiện: $2x^2-4x+2=2(x-1{)}^2>0\iff x\ne 1$. Vì $\ln$ tăng: $x^2+1\le 2x^2-4x+2\iff x^2-4x+1\ge 0\iff x\le 2-\sqrt{3}$ hoặc $x\ge 2+\sqrt{3}$ (khoảng này không chứa $x=1$). Vậy $x\in (-\infty ;2-\sqrt{3}]\cup [2+\sqrt{3};+\infty )$.

e) $3\cdot 4^x-2\cdot 6^x>9^x$. Chia hai vế cho $6^x>0$: $3{\left(\frac{2}{3}\right)}^x-2>{\left(\frac{3}{2}\right)}^x$. Đặt $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x>0$, khi đó ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{1}{t}$: $3t-2>\frac{1}{t}\iff 3t^2-2t-1>0\iff (3t+1)(t-1)>0\iff t>1$. Suy ra ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x>1\iff x<0$. Vậy $x\in (-\infty ;0)$.

f) $3^x+9\cdot 3^{-x}-10<0$. Đặt $t=3^x>0$: $t+\frac{9}{t}-10<0\iff t^2-10t+9<0\iff (t-1)(t-9)<0\iff 1<t<9$. Suy ra $1<3^x<9=3^2\iff 0<x<2$. Vậy $x\in (0;2)$.

g) $3^{x+1}-3^{x+2}>24\iff 3^x(3-9)>24\iff -6\cdot 3^x>24\iff 3^x<-4$, vô nghiệm vì $3^x>0$. Vậy bất phương trình vô nghiệm ($S=\varnothing$).

h) ${\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+4\ge 0$. Điều kiện $x>0$. Đặt $t={\log }_{2}x$: $t^2-5t+4\ge 0\iff (t-1)(t-4)\ge 0\iff t\le 1$ hoặc $t\ge 4$. Suy ra ${\log }_{2}x\le 1\iff 0<x\le 1$; ${\log }_{2}x\ge 4\iff x\ge 16$. Vậy $x\in (0;1]\cup [16;+\infty )$.

ĐK: $x>\frac{3}{4}$ (0,25 đ)
$(\ast )\Rightarrow {\log }_3(4x-3{)}^2-{\log }_3(2x+3)\le 2$ $\Rightarrow {\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 2$ $\Rightarrow 16x^2-42x-18\le 0\iff x\in \left[-\frac{3}{8};3\right]$ (0,5 đ)
So sánh đk $x\in \left(\frac{3}{4};3\right]$ (0,25 đ)

$(1)\iff 25^x+15^x-2.9^x\le 4.3^x\left(5^x-3^x\right)\iff 25^x-3.15^x+2.9^x\le 0$

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $9^x$, ta được:
$${\left(\frac{5}{3}\right)}^{2x}-3.{\left(\frac{5}{3}\right)}^x+2\le 0\iff \left({\left(\frac{5}{3}\right)}^x-1\right)\left({\left(\frac{5}{3}\right)}^x-2\right)\le 0$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{\left(\frac{5}{3}\right)}^x\ge 1\\ {\left(\frac{5}{3}\right)}^x\le 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\le {\log }_{\frac{5}{3}}2\end{array}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[0;{\log }_{\frac{5}{3}}2\right]$.

(Thang điểm: 0.5 | 0.3 | 0.2)

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, giá trị ô tô sau $t$ năm là $P(t)=800\cdot (0,905{)}^t$ (triệu đồng). Yêu cầu $P(t)\le 300$:
$$800\cdot (0,905{)}^t\le 300\iff (0,905{)}^t\le 0,375.$$
Vì $0<0,905<1$, lấy logarit hai vế (hàm nghịch biến):
$$t\ge {\log }_{0,905}(0,375)=\frac{\ln 0,375}{\ln 0,905}\approx \frac{-0,9808}{-0,0998}\approx 9,83.$$
Vậy số nguyên năm nhỏ nhất là $t=10$. Kiểm tra: $P(9)=800\cdot (0,905{)}^9\approx 325,8>300$; $P(10)=800\cdot (0,905{)}^{10}\approx 294,9\le 300$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án chính thức mã đề 102, Phần III câu 4 = 10.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm số nguyên $t$ nhỏ nhất sao cho $P(t)\le 300$, tức $800\cdot (0,905{)}^t\le 300$. Suy ra $(0,905{)}^t\le \frac{300}{800}=0,375$. Vì $0<0,905<1$, lấy logarit hai vế (lưu ý đổi chiều bất đẳng thức khi so sánh qua log cơ số lớn hơn 1): $t\ge \frac{\ln 0,375}{\ln 0,905}$. Tính toán: $\ln 0,375\approx -0,9808$, $\ln 0,905\approx -0,0998$, nên $t\ge \frac{-0,9808}{-0,0998}\approx 9,83$. Vậy số nguyên $t$ nhỏ nhất thỏa mãn là $t=10$. Kiểm tra: $800\cdot (0,905{)}^{10}\approx 800\cdot 0,3670\approx 293,6\le 300$ (đạt), còn $t=9$: $800\cdot (0,905{)}^9\approx 800\cdot 0,4055\approx 324,4>300$ (không đạt). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 10.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0$ và $15-2x>0$ nên $1<x<\frac{15}{2}=7,5$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=-{\log }_2(x-1)$, nên bất phương trình trở thành
$${\log }_2(15-2x)-{\log }_2(x-1)\ge 0⟺{\log }_2\frac{15-2x}{x-1}\ge 0.$$

Vì $\frac{15-2x}{x-1}>0$ (đã thỏa điều kiện), bất phương trình tương đương
$$\frac{15-2x}{x-1}\ge 1⟺15-2x\ge x-1⟺16\ge 3x⟺x\le \frac{16}{3}\approx 5,33.$$

Kết hợp điều kiện $1<x<7,5$: $1<x\le \frac{16}{3}$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,4,5\}$, tức có $4$ nghiệm nguyên. Kết quả trùng với đáp án nguồn là $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0$ và $11-2x>0$ nên $1<x<\frac{11}{2}$. Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)+{\log }_2(11-2x)\ge 0$ tương đương $-{\log }_2(x-1)+{\log }_2(11-2x)\ge 0$, tức ${\log }_2(11-2x)\ge {\log }_2(x-1)$. Vì ${\log }_2$ đồng biến: $11-2x\ge x-1\iff 3x\le 12\iff x\le 4$. Kết hợp điều kiện: $1<x\le 4$, các nghiệm nguyên là $x\in \{2;3;4\}$. Vậy có 3 nghiệm nguyên, khớp với đáp án nguồn (3).

a) $3^{5x+4}\le 27^x$ $\iff 5x+4\le 3x$ $\iff x\le -2$.

b) + Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được sau 3 năm: $T=150{\left(1+\frac{4\%}{6}\right)}^{18}\approx 169$ (triệu đồng).
+ Số tiền lãi mà ông An nhận được sau 3 năm là: 19 (triệu đồng).

a) $4^{5x+3}\le 16^x$ $\iff 5x+3\le 2x$ $\iff x\le -1$.

b) + Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được sau 5 năm: $T=100{\left(1+\frac{4\%}{4}\right)}^{20}\approx 122$ (triệu đồng).
+ Số tiền lãi mà ông Bình nhận được sau 5 năm là: 22 (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $7-4\sqrt{3}=\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$, nên $(7-4\sqrt{3}{)}^5=(7+4\sqrt{3}{)}^{-5}$. Bất phương trình trở thành $(7+4\sqrt{3}{)}^{\frac{x-1}{x+2}}\le (7+4\sqrt{3}{)}^{-5}$. Vì cơ số $7+4\sqrt{3}>1$, ta có $\frac{x-1}{x+2}\le -5$ (với $x\ne -2$). Suy ra $\frac{x-1}{x+2}+5\le 0\iff \frac{6x+9}{x+2}\le 0\iff \frac{3(2x+3)}{x+2}\le 0\iff -2<x\le -\frac{3}{2}$. Vậy tập nghiệm là $-2<x\le -\frac{3}{2}$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
**1.1.** Điều kiện: $\frac{1}{x}>0$, $\frac{1}{x}\ne 1$, tức $x>0$, $x\ne 1$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{x}}0,5=\frac{\ln 0,5}{\ln \frac{1}{x}}=\frac{-\ln 2}{-\ln x}=\frac{\ln 2}{\ln x}$.

Bất phương trình trở thành $-1<\frac{\ln 2}{\ln x}<-0,5$. Vì $\ln 2>0$ nên vế giữa phải âm, do đó $\ln x<0$, tức $0<x<1$.

Nhân các vế với $\ln x<0$ (đổi chiều bất đẳng thức):
- $-1<\frac{\ln 2}{\ln x}\iff \ln 2<-\ln x\iff \ln x<-\ln 2\iff x<\frac{1}{2}$.
- $\frac{\ln 2}{\ln x}<-0,5\iff \ln 2>-0,5\ln x\iff \ln x>-2\ln 2=\ln \frac{1}{4}\iff x>\frac{1}{4}$.

Vậy $\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}$.

**1.2.** Huyết áp bằng 100 mmHg khi $P(t)=100\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \iff t=\frac{3k}{7}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Với $t\in [0;1]$: $0\le \frac{3k}{7}\le 1\iff 0\le k\le \frac{7}{3}$, nên $k=0,1,2$, cho $t=0$; $\frac{3}{7}$; $\frac{6}{7}$.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, huyết áp bằng 100 mmHg tại **3 thời điểm**: $t=0$ giây, $t=\frac{3}{7}$ giây và $t=\frac{6}{7}$ giây (tại $t=1$ thì $\sin \frac{7\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}\ne 0$).

a) ĐK: $x<2$ …
BPT $\iff 2-x\le 8\to x\ge -6$. Vậy nghiệm của bất phương trình là $-6\le x<2$. (0,25 + 0,25 điểm)

b) $65+93\log d=160\iff \log d=\frac{95}{93}$
$\iff d=10^{\frac{95}{93}}\approx 10,5$. KL:... HS bám máy tính : 0,25 toàn bài. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Ta có ${\log }_{\frac{1}{9}}16={\log }_{3^{-2}}16=-\frac{1}{2}{\log }_{3}16=-{\log }_{3}4$. Bất phương trình trở thành ${\log }_3(x+1)-{\log }_{3}4\le 1\iff {\log }_3\frac{x+1}{4}\le 1\iff \frac{x+1}{4}\le 3\iff x\le 11$. Kết hợp điều kiện: $-1<x\le 11$, các số nguyên là $0,1,2,\dots ,11$, tổng cộng 12 số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$. Ta có ${\log }_{\frac{1}{4}}25={\log }_{2^{-2}}25=\frac{{\log }_{2}25}{-2}=-{\log }_{2}5$. Bất phương trình trở thành ${\log }_2(x-2)-{\log }_{2}5\le 1\iff {\log }_2\frac{x-2}{5}\le 1\iff \frac{x-2}{5}\le 2\iff x-2\le 10\iff x\le 12$. Kết hợp điều kiện: $2<x\le 12$, các số nguyên $x\in \{3,4,\dots ,12\}$, gồm $10$ số. Kết quả khớp đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\sqrt{3}-\sqrt{2}\in (0;1)$, so sánh hai lũy thừa đảo chiều số mũ: $x^2+1\le 3x-1\iff x^2-3x+2\le 0\iff 1\le x\le 2$. Tập nghiệm có các giá trị nguyên $x=1,x=2$, tức 2 giá trị nguyên. Đáp án B.

Ta có điều kiện là: $x^2+y^2+2>0$ (luôn đúng) và $xy+1>0$

Xét: ${\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le 1+{\log }_2(xy+1)$
$\iff {\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le {\log }_2(2)+{\log }_2(xy+1)$
$\iff {\log }_2\left(x^2+y^2+2\right)\le {\log }_2(2xy+1)$
$\iff (x-y{)}^2\le 0$

Do $(x-y{)}^2\ge 0$ với mọi $x,y$ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=y\\ x+y=m\end{array}$

Suy ra $x=\frac{m}{2}$; $y=\frac{m}{2}$. Xét điều kiện $xy+1>0\iff \frac{m^2}{4}+1>0$ (đúng)

Vì vậy điều kiện của m là $m\in \mathbb{R}$