Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn C
Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={\log }_{2}x\Rightarrow x=2^t$.
Bất phương trình trở thành ${\log }_7(4^t+2^t+1)\ge t\iff 4^t+2^t+1\ge 7^t\iff {\left(\frac{4}{7}\right)}^t+{\left(\frac{2}{7}\right)}^t+{\left(\frac{1}{7}\right)}^t\ge 1$.
Hàm số $f(t)={\left(\frac{4}{7}\right)}^t+{\left(\frac{2}{7}\right)}^t+{\left(\frac{1}{7}\right)}^t$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $f(1)=1$.
Do đó bất phương trình có nghiệm $t\le 1\iff {\log }_{2}x\le 1\iff x\le 2$.
Vì $x$ là số nguyên dương nên $x\in \{1;2\}$. Có 2 số nguyên dương thỏa mãn.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}x>0\\ 243-3^x\ge 0\end{array}\iff 0<x\le 5$.
Ta có $243-3^x=0\iff x=5$ (thỏa mãn bất phương trình).
Với $0<x<5$, bất phương trình tương đương với ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2\le 0\iff 1\le {\log }_{2}x\le 2\iff 2\le x\le 4$.
Kết hợp $x=5$ và $x\in \mathbb{Z}$ ta có $x\in \{2;3;4;5\}$, tức là có $4$ nghiệm nguyên. Chọn A.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}x>0\\ 4-{\log }_2(2x)\ge 0\end{array}\iff 0<x\le 8$. Với $x=8$ thì bất phương trình thỏa mãn. Với $0<x<8$ thì $\sqrt{4-{\log }_2(2x)}>0$, bất phương trình tương đương $9^x-30\cdot 3^x+81\ge 0\iff [<table><tbody><tr><td>3^x\ge 27</td></tr><tr><td>3^x\le 3</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x\ge 3</td></tr><tr><td>x\le 1</td></tr></tbody></table>$. Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm $S=(0;1]\cup [3;8]$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{1;3;4;5;6;7;8\}$, có tất cả $7$ giá trị nguyên $x$ thỏa mãn.

Chọn B
Điều kiện: $x>0$.
Biến đổi bất phương trình về dạng tích theo $\log x$.
Giải bất phương trình tìm được các nghiệm nguyên của $x$, cho kết quả 48 số nguyên.

Điều kiện xác định: $2x^2-7>0\iff |x|\ge 2$ (vì $x\in \mathbb{Z}$).
Bất phương trình tương đương:
${\log }_3(2x^2-7)-4{\log }_{3}5\le {\log }_5(2x^2-7)-4{\log }_{5}3$
$\iff {\log }_3(2x^2-7)(1-{\log }_{5}3)\le 4({\log }_{3}5-{\log }_{5}3)$
$\iff {\log }_3(2x^2-7)(1-{\log }_{5}3)\le 4\frac{1-{\log }_5^{2}3}{{\log }_{5}3}=4\frac{(1-{\log }_{5}3)(1+{\log }_{5}3)}{{\log }_{5}3}$.
Vì $1-{\log }_{5}3>0$, chia cả hai vế cho $1-{\log }_{5}3$:
${\log }_3(2x^2-7)\le 4({\log }_{3}5+1)=4{\log }_{3}15={\log }_3(15^4)={\log }_{3}50625$.
$\Rightarrow 2x^2-7\le 50625\iff x^2\le 25316\Rightarrow -159\le x\le 159$.
Kết hợp điều kiện $|x|\ge 2$, ta có $x\in \{-159,\dots ,-2\}\cup \{2,\dots ,159\}$.
Số phần tử của $S$ là $158+158=316$. Số tập hợp con của $S$ là $2^{316}$. Chọn A.

Đáp án đúng là B theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Đáp án đúng là D theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Chọn A
Điều kiện: $x>2$.
Xét từng thừa số:
$3^x-3\cdot 2^{x-1}=0\iff 3^{x-1}=2^{x-1}\iff x=1$ (không thỏa điều kiện $x>2$). Với $x>1$, $3^x-3\cdot 2^{x-1}>0$.
Do đó bất phương trình tương đương:
${\log }_2(x^2-4)-3{\log }_{2}x-7\le 0$.
Giải bất phương trình trên với $x$ nguyên dương lớn hơn 2 ta được $x\in \{1;2;3;\dots ;8\}$. Có 8 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn A.

Điều kiện $x>0$. Ta tìm được $S=\left[\frac{1}{3};6\right]\Rightarrow P=a+b=\frac{19}{3}$. Chọn B.

Chọn A
+ Điều kiện xác định của bất phương trình là 3x - 1  0 $\iff$ x  0 (*).
 3x - 1  [  25  ]
+ Ta có, log 5 ( 3x - 1) .log 1   \le -143 $\iff$ log 5 ( 3 - 1) log 5  x   \le -143
x

5  25  [  3 - 1 ]
$\iff$ log 5 ( 3x - 1) [ 2 - log 5 ( 3x - 1) ] + 143 \le 0 (1)

+ Đặt t = log 5 ( 3x - 1) , bất phương trình (1) trở thành
[t \le -11
t ( 2 - t ) + 143 \le 0 $\iff$ -t 2 + 2t + 143 \le 0 $\iff$  .
[t \ge 13
+ Với t \le -11 $\Rightarrow$ log 5 ( 3x - 1) \le -11 $\Rightarrow$ 3x - 1 \le 5-11 $\Rightarrow$ x  1 . Do x nguyên thoả điều kiện x  0
nên trường hợp này không tồn tại giá trị x .

19
+ Với t \ge 13 $\Rightarrow$ log 5 ( 3x - 1) \ge 13 $\Rightarrow$ 3x - 1 \ge 513 $\Rightarrow$ 3x \ge 1 + 513 . Do x nguyên thoả điều kiện x  0
và x $\in$  -100;100 nên chọn x $\in$ {20, 21,...,100} . Vậy có 81 số nguyên x thoả mãn điều kiện.

Ta có $2^{x^2+x-1}\cdot 3^{x^2+x+1}\le 54\iff \frac{3}{2}\cdot 6^{x^2+x}\le 54\iff 6^{x^2+x}\le 36=6^2\iff x^2+x-2\le 0\iff -2\le x\le 1$. Nghiệm nguyên dương duy nhất là $x=1$, tổng bằng $1$.

Chọn C

Điều kiện: $x>0$. Bất phương trình tương đương với ${\log }_2(x^2+3)+x^2+3\le {\log }_2(4x)+4x$. Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $x^2+3\le 4x\iff x^2-4x+3\le 0\iff 1\le x\le 3$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{1;2;3\}$. Tổng các nghiệm nguyên bằng $1+2+3=6$. Chọn B.

Chọn D.
Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x>-1\\ x\ne 6\end{array}$.
$\frac{{\log }_{2023}(x+1{)}^2}{x^2-5x-6}>\frac{{\log }_{2024}(x+1{)}^3}{x^2-5x-6}\iff \frac{2{\log }_{2023}(x+1)}{x^2-5x-6}-\frac{3{\log }_{2024}(x+1)}{x^2-5x-6}>0$
$\iff \frac{2{\log }_{2023}(x+1)-\frac{3{\log }_{2023}(x+1)}{{\log }_{2023}2024}}{(x+1)(x-6)}>0\iff \frac{{\log }_{2023}(x+1)}{x-6}<0\iff 0<x<6$.
Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \{1;2;3;4;5\}$. Vậy tìm được $5$ giá trị nguyên $x$.

Điều kiện $x>0$. Ta có $5^x-125=0\iff x=3$ và ${\log }_3^{2}x-8{\log }_{3}x+15=0\iff x\in \{27;243\}$. Lập bảng xét dấu trên $(0;+\infty )$, bất phương trình nghiệm đúng khi $0<x<3$ hoặc $27<x<243$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{1;2\}\cup \{28;29;\dots ;242\}$, có tất cả $2+215=217$ số nguyên.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 7), Câu 1 (Phần 2): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ta có $f(x)=10^{-(x^2-3x+m)}$. Khi $m=2$, $f(x)\ge g(x)⟺x^2-4x+3\le 0⟺1\le x\le 3$, có $3$ nghiệm nguyên (a đúng). Khi $m=-4$, $f(x)<1⟺x^2-3x-4>0⟺x\in (-\infty ;-1)\cup (4;+\infty )$ (b đúng). $f(x)\le g(x)\forall x⟺x^2-4x+m+1\ge 0\forall x⟺m\ge 3$ (c sai). $g(x)>100⟺1-x>2⟺x<-1$ (d sai).

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)