Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Số bậc thang: chiều dài giảm từ $196$ cm đến $56$ cm, mỗi bậc giảm $7$ cm nên số bậc là $\frac{196-56}{7}+1=21$ bậc. Tổng chiều dài các bậc (cấp số cộng): $S=\frac{21(196+56)}{2}=2646$ cm. Diện tích cầu thang: $2646\times 35=92610c{m}^2=9,261m^2$. Giá thành: $9,261\times \mathrm{1.250.000}=\mathrm{11.576.250}$ đồng, làm tròn đến hàng triệu đồng là $12$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Số bậc thang: chiều dài giảm từ $196cm$ đến $56cm$, mỗi bậc giảm $7cm$ nên số bậc là $\frac{196-56}{7}+1=21$ bậc. Tổng chiều dài các bậc (cấp số cộng): $S=\frac{21(196+56)}{2}=2646cm$. Diện tích cầu thang: $2646\times 35=92610c{m}^2=9,261m^2$. Giá thành: $9,261\times \mathrm{1.250.000}=\mathrm{11.576.250}$ đồng. Làm tròn đến hàng triệu đồng: $\approx \mathrm{12.000.000}$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Số bậc thang: dãy chiều dài là cấp số cộng với $u_1=196$ cm, công sai $d=-7$ cm, số hạng cuối $56$ cm nên số bậc là $n=\frac{56-196}{-7}+1=21$. Tổng chiều dài các bậc: $S=\frac{21(196+56)}{2}=2646$ cm. Diện tích cầu thang: $S=2646\times 35=92610$ cm${}^2=9,261$ m${}^2$. Giá thành: $9,261\times 1,250,000=11,576,250$ đồng $\approx 12$ triệu đồng (làm tròn đến hàng triệu).

Đáp số: anh Ba phải tích góp ít nhất 31 tháng.

HD (theo nguồn, trang 16): Đợt 1: cấp số cộng $d=2,u_{10}=21$, ta có: $u_1+9d=21\iff u_1=3$. $S_n=624\Rightarrow n^2+2n-624=0\Rightarrow n=24$. Đợt 2: cấp số nhân $S_n=635\iff \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=635\iff n=7$. Vậy tổng 2 đợt cần ít nhất 31 tháng.

Đợt 1: cấp số cộng $d=2,u_{10}=21$, ta có: $u_1+9d=21\iff u_1=3$. $S_n=624\Rightarrow n^2+2n-624=0\Rightarrow n=24$. Đợt 2: cấp số nhân $S_n=635\iff \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=635\iff n=7$. Vậy tổng 2 đợt cần ít nhất 31 tháng.

Đáp án (theo HD chấm, trang 16): Đợt 1: cấp số cộng $d=2,u_{10}=21$, ta có: $u_1+9d=21\iff u_1=3$. $S_n=624\Rightarrow n^2+2n-624=0\Rightarrow n=24$. Đợt 2: cấp số nhân $S_n=635\iff \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=635\iff n=7$. Vậy tổng 2 đợt cần ít nhất 31 tháng.

Đợt 1: cấp số cộng $d=2,u_{10}=21$, ta có: $u_1+9d=21\iff u_1=3$. $S_n=624\Rightarrow n^2+2n-624=0\Rightarrow n=24$. Đợt 2: cấp số nhân $S_n=635\iff \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=635\iff n=7$. Vậy tổng 2 đợt cần ít nhất 31 tháng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Công sai $d=\frac{u_3-u_1}{2}=\frac{19-5}{2}=7$, nên $u_{2025}=5+2024\cdot 7=14173\ne 14180$ → Sai.
b) $u_3+u_{28}=u_1+u_{30}=56$ nên $S_{30}=\frac{30(u_1+u_{30})}{2}=15\cdot 56=840\ne 812$ → Sai.
c) Điều kiện cấp số nhân: $(3m+1{)}^2=(m+2)(9m-7)\iff 9m^2+6m+1=9m^2+11m-14\iff 5m=15\iff m=3$. Với $m=3$: các số $5;10;20$ lập thành CSC... cấp số nhân công bội $2$, thỏa mãn. Nhưng $m=3\notin (-1;2)$ → Sai.
d) $u_1+u_3=u_1(1+q^2)=15$; $u_4+u_6=u_1{q}^3(1+q^2)=-120$. Chia hai phương trình: $q^3=\frac{-120}{15}=-8\Rightarrow q=-2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=7$, $u_{2025}=5+2024\cdot 7=14173\ne 14180$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3+u_{28}=u_1+u_{30}=56\Rightarrow S_{30}=15\cdot 56=840\ne 812$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(3m+1{)}^2=(m+2)(9m-7)\Rightarrow m=3\notin (-1;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai phương trình được $q^3=-8\Rightarrow q=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế mỗi hàng lập cấp số cộng với $u_1=60$, công sai $d=8$. Tổng số chỗ: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 60+(n-1)\cdot 8\right)=4n^2+56n=3900$, tức $n^2+14n-975=0$. Giải: $n=\frac{-14+\sqrt{196+3900}}{2}=\frac{-14+64}{2}=25$ (nhận nghiệm dương). Vậy có 25 hàng ghế. Độ cao lập cấp số cộng với $a_1=0,8m$, công sai $0,15m$: $a_{25}=0,8+24\cdot 0,15=0,8+3,6=4,4m$. Hàng ghế cuối cùng cao $4,4m$ so với mặt sân.

(AI giải đề cho tôi)
Đợt 1 là cấp số cộng với d=2, u10=21 nên u1=21-9·2=3 (triệu đồng) → b) Đúng. Đợt 2 là cấp số nhân với v1=5, q=2; tuy nhiên công bội của cấp số nhân là số vô hướng không có đơn vị, phát biểu a) nói 'công bội q = 2 triệu đồng' là sai về đơn vị → a) Sai. Tổng đợt 1: S_n = n(3+2n+1)/2 = n(n+2) = 624 → n²+2n-624=0 → n=24 (tháng) → c) Sai (24 tháng, không phải 25). Còn lại 1259-624=635 triệu đồng; đợt 2: S_n = 5(2^n-1) ≥ 635 → 2^n ≥ 128 → n ≥ 7. Tổng số tháng ít nhất 24+7=31 → d) Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 7115: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đợt 2 đúng là cấp số nhân với số hàng đầu v1=5 và mỗi tháng gấp đôi, nhưng công bội q=2 là số vô hướng, không có đơn vị 'triệu đồng'. Phát biểu sai vì gán đơn vị cho công bội.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tháng sau nhiều hơn tháng trước 2 triệu đồng nên là cấp số cộng công sai d=2 (triệu đồng); u10=u1+9d=21 nên u1=21-18=3 (triệu đồng). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
S_n = n(u1+un)/2 = n(3+2n+1)/2 = n(n+2) = 624 → n²+2n-624=0 → n=24. Vậy đợt 1 kéo dài 24 tháng, không phải 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Còn lại 1259-624=635 triệu đồng. Đợt 2: S_n=5(2^n-1)≥635 → 2^n≥128 → n≥7. Tổng ít nhất 24+7=31 tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Số từ gõ mỗi ngày lập thành cấp số cộng với $u_1=250$, công sai $d=15$. Tổng sau $n$ ngày: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 250+(n-1)\cdot 15\right)=\frac{n(485+15n)}{2}$.
Yêu cầu $S_n\ge 42500$: $15n^2+485n-85000\ge 0$.
Giải phương trình $15n^2+485n-85000=0$: $n=\frac{-485+\sqrt{485^2+4\cdot 15\cdot 85000}}{30}=\frac{-485+\sqrt{5335225}}{30}\approx \frac{-485+2309,8}{30}\approx 60,8$.
Vậy tổng lần đầu đạt ít nhất 42500 từ vào ngày thứ 61. Kiểm tra: $S_{60}=\frac{60(485+900)}{2}=41550<42500$; $S_{61}=\frac{61(485+915)}{2}=42700\ge 42500$.
Số từ gõ ngày thứ 61: $u_{61}=250+60\cdot 15=1150$ từ.

Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là $u_1$ và số cạnh của đa giác là n. Ta có $15=u_1+(n-1).3$ hay $u_1=18-3n>0\to n<6$. Tổng các cạnh là 45 cm, ta có $$45=\frac{n(15+18-3n)}{2}\iff 3n^2-33n+90=0\iff \left[\begin{array}{c}n=5\\ n=6(l)\end{array}\right].$$ Giải phương trình với $n\in N^{\ast };n<6$, ta được $n=5$. Vậy đa giác có 5 cạnh.

Chọn A

Gọi ba số đó là $x$, $y$, $z$. Do ba số là các số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng nên ta có: $x=u_3$; $y=u_{10}=x+7d$; $z=u_{45}=x+42d$.

Theo giả thiết, ta có: $x+y+z=x+x+7d+x+42d=3x+49d=434$.

Mặt khác, do $x$, $y$, $z$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:

$$y^2=xz\iff (x+7d{)}^2=x(x+42d)\iff d(-4x+7d)=0\iff [<table><tbody><tr><td>d=0</td></tr><tr><td>-4x+7d=0</td></tr></tbody></table>$$

Với $d=0$, ta có: $x=y=z=\frac{434}{3}$. Suy ra $n=1480:\frac{434}{3}=\frac{2220}{217}\notin \mathbb{N}$.

Với $-4x+7d=0$, ta có: $\{<table><tbody><tr><td>-4x+7d=0</td></tr><tr><td>3x+49d=434</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>x=14</td></tr><tr><td>d=8</td></tr></tbody></table>$. Suy ra $u_1=u_3-2d=14-2.8=-2$.

Do đó, $S_n=1480\iff \frac{\left[2u_1+(n-1)d\right]n}{2}=1480\iff \frac{\left[2.(-2)+8(n-1)\right]n}{2}=1480\iff [<table><tbody><tr><td>n=20</td></tr><tr><td>n=-\frac{37}{2}</td></tr></tbody></table>$

Vậy $n=20$.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

$$S_{100}=100u_1+\frac{100.99}{2}d\iff 100+4950d=14950\iff d=3.$$

Do đó $u_{2025}=u_1+2024d=6073$.

Ta có: $\frac{1}{u_{k+1}\sqrt{u_k}+u_k\sqrt{u_{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt{u_k}\cdot \sqrt{u_{k+1}}\cdot \left(\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k+1}}\right)}=\frac{1}{d}\cdot \frac{\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}}{\sqrt{u_k}\cdot \sqrt{u_{k+1}}}=\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_k}}-\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}}\right).$

Do đó:

$$S=\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_2}}\right)+\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_2}}-\frac{1}{\sqrt{u_3}}\right)+...+\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_{2024}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2025}}}\right)=\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2025}}}\right)$$

$$=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{6073}}\right).$$

Suy ra $a=3$, $b=6073$, vậy $a+b=6076$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có u_1=-1, d=3 nên u_n = -1 + (n-1)·3 = 3n-4. a) S_20 = 20/2·(2·(-1)+19·3) = 10·55 = 550 ≠ 505 → Sai. b) n·u_n = n(3n-4) = 3n²-4n, nên sqrt(3n²-4n+2) - sqrt(3n²+1) = [(-4n+1)]/[sqrt(3n²-4n+2)+sqrt(3n²+1)] → -4n/(2√3·n) = -2/√3 → Đúng. c) u_3 = 3·3-4 = 5 → Đúng. d) Dãy có d=3>0 nên tăng và u_n → +∞, không bị chặn trên → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS (mã đề 212, câu 15).
a) (AI giải đề cho tôi)
S_20 = 20/2·(2u_1+19d) = 10·(−2+57) = 550 ≠ 505.
b) (AI giải đề cho tôi)
n·u_n = 3n²−4n; nhân liên hợp: (−4n+1)/(sqrt(3n²−4n+2)+sqrt(3n²+1)) → −4/(2√3) = −2/√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
u_3 = u_1 + 2d = −1 + 6 = 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
d = 3 > 0 nên dãy tăng vô hạn, u_n → +∞, do đó không bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-1$, $d=3$ nên $u_n=-1+3(n-1)=3n-4$.

a) $n.u_n=n(3n-4)=3n^2-4n$. Khi đó $\lim \left(\sqrt{3n^2-4n+2}-\sqrt{3n^2+1}\right)=\lim \frac{(3n^2-4n+2)-(3n^2+1)}{\sqrt{3n^2-4n+2}+\sqrt{3n^2+1}}=\lim \frac{-4n+1}{\sqrt{3n^2-4n+2}+\sqrt{3n^2+1}}=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}$. Đúng.

b) $u_3=-1+2\cdot 3=5$. Đúng.

c) $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2u_1+19d\right)=10(-2+57)=550\ne 505$. Sai.

d) $u_n=3n-4$ là dãy tăng và $u_n\to +\infty$, nên không bị chặn trên. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai — khớp đáp án ĐĐSS của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=3n-4$, giới hạn $\lim \left(\sqrt{3n^2-4n+2}-\sqrt{3n^2+1}\right)=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1+2d=-1+6=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=10(2\cdot (-1)+19\cdot 3)=550\ne 505$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=3n-4\to +\infty$ nên dãy không bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 2(1):** Theo đề: $u_9=u_1+8d$, $u_2=u_1+d$, $u_{13}=u_1+12d$, $u_6=u_1+5d$.

- $u_9=5u_2\iff u_1+8d=5(u_1+d)\iff 4u_1=3d$ (1)
- $u_{13}=2u_6+5\iff u_1+12d=2(u_1+5d)+5\iff 2d=u_1+5\iff u_1=2d-5$ (2)

Thay (2) vào (1): $4(2d-5)=3d\iff 8d-20=3d\iff d=4$, suy ra $u_1=2d-5=2\cdot 4-5=3$.

Vậy $u_1=3$, $d=4$. (Kiểm tra: $u_9=3+8\cdot 4=35=5u_2=5\cdot 7$; $u_{13}=3+12\cdot 4=51=2u_6+5=2\cdot 23+5$.)

**Câu 2(2):** Xét hình vuông cạnh $s$ với đường chéo nối hai đỉnh. Diện tích phần gạch sọc (tô màu "đẹp") là phần nằm dưới đường chéo nhưng **không bao gồm** hình vuông chính giữa (cạnh $s/3$):
- Diện tích tam giác dưới đường chéo: $\frac{s^2}{2}$.
- Phần tam giác đó nằm trong hình vuông chính giữa (tam giác nhỏ cạnh $s/3$): $\frac{1}{2}\cdot \frac{s}{3}\cdot \frac{s}{3}=\frac{s^2}{18}$.

Vậy diện tích tô màu ở mỗi bước với hình vuông cạnh $s$ là:
$$a(s)=\frac{s^2}{2}-\frac{s^2}{18}=\frac{4s^2}{9}.$$

Cạnh hình vuông ở bước $k$ là $s_k={\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-1}$, nên diện tích tô màu bước $k$:
$$a_k=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{9^{k-1}}=\frac{4}{9^k}.$$

Tổng diện tích sau $n$ bước (cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{9}$):
$$S_n=\frac{4}{9}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{9}\right)}^n}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9^n}\right).$$

Cho $S_n=\frac{3280}{6561}$, với $6561=9^4$:
$$\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9^n}\right)=\frac{3280}{6561}\iff 1-\frac{1}{9^n}=\frac{6560}{6561}\iff \frac{1}{9^n}=\frac{1}{6561}=\frac{1}{9^4}\iff n=4.$$

Vậy cần **4 bước** để tổng diện tích phần được tô màu bằng $\frac{3280}{6561}$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a-d,a,a+d$ (với $d>0$), cạnh huyền là $a+d$. Chu vi: $3a=3\Rightarrow a=1$. Theo định lý Pythagoras: $(a-d{)}^2+a^2=(a+d{)}^2\Rightarrow a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2=4ad\Rightarrow d=\frac{a}{4}=\frac{1}{4}$. Vậy ba cạnh là $\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$ (kiểm tra: $\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}$ đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{8}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$: $u_1=1$, $u_{n+1}=2u_n$ nên $u_n=2^{n-1}$ (cấp số nhân công bội 2). Dãy $(v_n)$: $v_n=-2n-21$ (cấp số cộng công sai $-2$).
a) $u_n=2^{n-1}\to +\infty$ khi $n\to \infty$ nên dãy không bị chặn trên → SAI.
b) $v_{n+1}-v_n=-2$ nên $(v_n)$ là cấp số cộng, không phải cấp số nhân → SAI.
c) $v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$ → ĐÚNG.
d) Với $k=1,\dots ,20$: $u_k-u_{k+5}=2^{k-1}-2^{k+4}=2^{k-1}(1-32)=-31\cdot 2^{k-1}$. Do đó $T={\sum }_{k=1}^{20}\frac{1}{-31\cdot 2^{k-1}}=-\frac{1}{31}{\sum }_{k=1}^{20}\frac{1}{2^{k-1}}=-\frac{1}{31}\cdot \frac{1-2^{-20}}{1-\frac{1}{2}}=-\frac{2(1-2^{-20})}{31}=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$. Mệnh đề đưa ra mẫu $15\cdot 2^{19}$ thay vì $31\cdot 2^{19}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2^{n-1}$ tăng không giới hạn nên không bị chặn trên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v_{n+1}-v_n=-2$ nên $(v_n)$ là cấp số cộng công sai $-2$, không phải cấp số nhân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_k-u_{k+5}=-31\cdot 2^{k-1}$, nên $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$, không phải $\frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=15$, công sai $d=3$. Tổng $n$ hàng đầu: $S_n=\frac{n}{2}[2\cdot 15+(n-1)\cdot 3]=\frac{3n(n+9)}{2}$. Yêu cầu $S_n\ge 870$: $\frac{3n(n+9)}{2}\ge 870\iff n^2+9n-580\ge 0$. Nghiệm: $n=\frac{-9+\sqrt{81+2320}}{2}=\frac{-9+49}{2}=20$. Kiểm tra: $S_{20}=\frac{3\cdot 20\cdot 29}{2}=870\ge 870$; $S_{19}=\frac{3\cdot 19\cdot 28}{2}=798<870$. Vậy số hàng ghế tối thiểu là 20.