Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau hai tháng theo lãi kép: $200\cdot (1+0,005{)}^2=200\cdot 1,005^2=200\cdot 1,010025=202,005$ triệu đồng. Sau một tháng: $200\cdot 1,005=201$ triệu; sau hai tháng: $201\cdot 1,005=202,005$ triệu. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $202$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=12$, công bội $q$. Ta có $\frac{u_3}{u_8}=\frac{u_1{q}^2}{u_1{q}^7}=q^{-5}=243=3^5$, suy ra $q=\frac{1}{3}$. Khi đó $u_9=u_1{q}^8=12\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^8=\frac{12}{6561}=\frac{4}{2187}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=3$, $u_7=192$. Ta có $u_7=u_1{q}^6\Rightarrow 3q^6=192\Rightarrow q^6=64\Rightarrow q=2$ (lấy $q>0$). Tổng: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3(2^n-1)=189\Rightarrow 2^n-1=63\Rightarrow 2^n=64\Rightarrow n=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 022, Phần 3, Câu 4: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân với $u_1=3$, $u_7=192$. Ta có $u_7=u_1{q}^6\Rightarrow 3q^6=192\Rightarrow q^6=64\Rightarrow q=2$ (lấy $q>0$). Tổng: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3(2^n-1)=189\Rightarrow 2^n-1=63\Rightarrow 2^n=64\Rightarrow n=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 6.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II), mã đề 267: a) Với u1=1, q=1/2, năm số hạng đầu là 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 → Đúng. b) q = u2/u1 = -6/3 = -2, nên u5 = u1·q^4 = 3·16 = 48 ≠ 84 → Sai. c) Cấp số nhân 1; 4; 16; 64;... có u1=1, q=4, nên S_n = 1·(4^n - 1)/(4-1) = (4^n - 1)/3 → Đúng. d) Sau 5 giờ số vi khuẩn là 5000·(1,08)^5 ≈ 7346,6 ≈ 7347 con ≠ 6802 con → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 267: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
u1=1, q=1/2 nên u_n = (1/2)^{n-1}: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
q = -6/3 = -2, u5 = 3·(-2)^4 = 48 ≠ 84. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
u1=1, q=4, S_n = (4^n - 1)/(4 - 1) = (4^n - 1)/3. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau 5 giờ: 5000·(1,08)^5 ≈ 7346,6 ≈ 7347 con ≠ 6802 con. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lương ban đầu 26 triệu đồng, cứ sau mỗi 6 tháng tăng 6%. Vào đầu năm thứ ba (tháng thứ 25), lương đã tăng 4 lần (sau tháng 6, 12, 18, 24). Mức lương tháng đầu năm thứ ba là $26\cdot (1,06{)}^4=26\cdot 1,26247696\approx 32,824\approx 32,8$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 32,8.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II):
a) Cấp số nhân 1; 4; 16; 64; … có $u_1=1$, $q=4$. Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{4^n-1}{3}$. Đúng.
b) Sau 5 giờ số vi khuẩn là $5000\cdot (1,08{)}^5\approx 5000\cdot 1,4693\approx 7347$ con, không phải 6 802 con. Sai.
c) Với $u_1=1$, $q=\frac{1}{2}$, năm số hạng đầu là $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16}$. Đúng.
d) $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-6}{3}=-2$, nên $u_5=u_1{q}^4=3\cdot 16=48\ne 84$. Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 013: Đ S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=4$ nên $S_n=1\cdot \frac{4^n-1}{4-1}=\frac{4^n-1}{3}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau 5 giờ: $5000\cdot (1,08{)}^5\approx 7347$ con $\ne 6802$ con. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$, nên năm số hạng đầu là $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$q=\frac{-6}{3}=-2$ nên $u_5=3\cdot (-2{)}^4=48\ne 84$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lương 6 tháng đầu là 26 triệu đồng. Sau mỗi 6 tháng lương tăng 6%, tức mỗi nửa năm lương nhân với $1,06$. Năm thứ ba bắt đầu từ tháng thứ 25. Ta có: tháng 1–6: $26$; tháng 7–12: $26\cdot 1,06$; tháng 13–18: $26\cdot 1,06^2$; tháng 19–24: $26\cdot 1,06^3$; tháng 25–30 (6 tháng đầu năm thứ ba): $26\cdot 1,06^4$. Tính $26\cdot 1,06^4=26\cdot 1,26247696\approx 32,8244\approx 32,8$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 32,8.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=2$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=u_1\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=1\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=1024-1=1023$. Vậy $S_{10}=1023$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án chính thức (mã đề 013, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_5=u_1{q}^4\Rightarrow -162=-2q^4\Rightarrow q^4=81\Rightarrow q^2=9\Rightarrow q=\pm 3$. Vậy $q=3$ hoặc $q=-3$, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 101 cho câu 15 là A).

Gọi $T_n$ (triệu đồng) là giá trị còn lại của máy photocopy sau $n$ năm $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Theo đề bài mỗi năm hao mòn 10\% giá trị nên ta có: $T_1=50.(1-10\%)=50.0,9$; $T_2=0,9T_1=50.0,9^2$;$\dots$; $T_n=50.0,9^n$. Như vậy $(T_n)$ là cấp số nhân với $T_1=45$ và công bội $q=0,9$.

Do đó giá trị còn lại của máy photocopy sau 8 năm sử dụng là $T_8=50.0,9^8\approx 21,52$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=5^1-1=4$. Với $n=2$: $u_1+u_2=S_2=25-1=24$, suy ra $u_2=20$. Vậy công bội $q=u_2/u_1=20/4=5$. Tổng $u_1+q=4+5=9$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $S_n=5^n-1$: $u_1=S_1=5-1=4$; $u_2=S_2-S_1=(25-1)-4=20$. Công bội $q=u_2/u_1=20/4=5$. Vậy $u_1+q=4+5=9$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $S_n=5^n-1$: $u_1=S_1=5-1=4$. Tiếp theo $u_2=S_2-S_1=(25-1)-(5-1)=20$, $u_3=S_3-S_2=(125-1)-(25-1)=100$. Kiểm tra: $20/4=5$, $100/20=5$ nên công bội $q=5$. Vậy $u_1+q=4+5=9$, khớp với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông thứ $n$ có cạnh bằng $\frac{1}{2^n}$ nên diện tích là ${\left(\frac{1}{2^n}\right)}^2=\frac{1}{4^n}$. Tổng diện tích sau 20 hình vuông là tổng của cấp số nhân $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{4^{20}}$ với $u_1=\frac{1}{4}$, $q=\frac{1}{4}$, $n=20$: $S=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^{20}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{20}}\right)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án chính thức (Câu 11, Mã đề 1131: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=4$, $q=-3$, $n=10$. Tổng: $S_{10}=u_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=4\cdot \frac{1-(-3{)}^{10}}{1-(-3)}=4\cdot \frac{1-59049}{4}=1-59049=-59048$. Vậy $S=-59048$, khớp đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 469, câu 11: D).

* $\{\begin{array}{l}q=-2\\ u_1.q^5=16\end{array}$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}q=-2\\ u_1=-\frac{1}{2}\end{array}$ — 0,25

* $u_n=1024\iff \left(-\frac{1}{2}\right).{\left(-2\right)}^{n-1}=1024$ — 0,25

* ${\left(-2\right)}^{n-1}=-2048\iff {\left(-2\right)}^{n-1}={\left(-2\right)}^{11}\iff n=12$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}q=-3\\ u_1.q^4=-27\end{array}$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}q=-3\\ u_1=-\frac{1}{3}\end{array}$ — 0,25

* $u_n=531441\iff \left(-\frac{1}{3}\right).{\left(-3\right)}^{n-1}=531441$ — 0,25

* ${\left(-3\right)}^{n-1}=-1594323\iff {\left(-3\right)}^{n-1}={\left(-3\right)}^{13}\iff n=14$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$. Với $u_1=4$, $q=-3$, $n=10$: $S_{10}=4\cdot \frac{1-(-3{)}^{10}}{1-(-3)}=4\cdot \frac{1-59049}{4}=1-59049=-59048$. Vậy $S=-59048$, khớp đáp án D trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị máy ủi theo năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3200$ triệu đồng và công bội $q=1-20\%=0,8$. Giá trị còn lại sau 6 năm là $u_7=3200\cdot 0,8^6=3200\cdot 0,262144=838,8608$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $839$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 126, câu 3: 839).