Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

Hàm lợi nhuận (nghìn đồng) là $L(x)=F(x)-xG(x)=-0,03x^2+350x-50000$. Để lợi nhuận lớn hơn $100$ triệu đồng ($100000$ nghìn đồng), ta có $-0,03x^2+350x-50000>100000\iff -0,03x^2+350x-150000>0\iff 445,59<x<11221,08$. Kết hợp $x\in {\mathbb{N}}^{\ast },1\le x\le 5000$, giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ là $446$.

${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-4(1+2m)=5-8m$.

+) Nếu ${\Delta }^{\prime }\ge 0⟺m\le \frac{5}{8}$, phương trình có $2$ nghiệm thực. Khi đó $|z|=2⟺z=\pm 2$.

Thế $z=2$ vào phương trình ta được: $16+12+1+2m=0⟺m=-\frac{29}{2}$ (nhận).

Thế $z=-2$ vào phương trình ta được: $16-12+1+2m=0⟺m=-\frac{5}{2}$ (nhận).

+) Nếu ${\Delta }^{\prime }<0⟺m>\frac{5}{8}$, phương trình có $2$ nghiệm phức $z_1,z_2\notin \mathbb{R}$ thỏa mãn $z_2={\bar{z}}_1,|z_1|=|z_2|=2$. Khi đó $z_1{z}_2=|z_1{|}^2⟹\frac{1+2m}{4}=2^2⟺m=\frac{15}{2}$ (nhận).

Ta có $T=-\frac{29}{2}-\frac{5}{2}+\frac{15}{2}=-\frac{19}{2}$.

Phương trình bậc hai có nghiệm phức với phần ảo khác 0 khi ${\Delta }^{\prime }=m^2-9<0\iff -3<m<3$. Khi đó hai nghiệm phức liên hợp là $z_1,z_2=m\pm i\sqrt{9-m^2}$, do đó $\overline{z_1}=z_2,\overline{z_2}=z_1$. Biểu thức: $z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=(2m{)}^2-2(9)=4m^2-18<16\iff 4m^2<34\iff m^2<\frac{17}{2}=8.5$. Kết hợp điều kiện $-3<m<3\Rightarrow m^2<9$, ta được $m^2\le 8$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Tổng cộng có 5 giá trị nguyên. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Phương trình viết lại thành $25(z-3{)}^2=-m^4\iff z=3\pm \frac{m^2}{5}i$ ($m\ne 0$). Khi đó $|z_1-z_2|=\frac{2m^2}{5}=\frac{32}{5}\iff m^2=16\iff m=\pm 4$. Tích các phần tử của $S$ bằng $4\cdot (-4)=-16$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 4 (Phần III, câu 20) có đáp số là $0.42$.

Gọi $x$ là bán kính hình bán nguyệt ($x>0$), khi đó chiều rộng hình chữ nhật là $2x$. Gọi $h$ là chiều cao của hình chữ nhật ($h>0$).

Chu vi của cửa sổ là:
$P=2x+2h+\pi x=6⟹2h=6-(\pi +2)x⟹h=3-\left(1+\frac{\pi }{2}\right)x.$

Diện tích toàn bộ cửa sổ gồm diện tích hình chữ nhật $S_2=2xh$ và diện tích nửa hình tròn $S_1=\frac{1}{2}\pi x^2$:
$S=2xh+\frac{1}{2}\pi x^2=2x\left[3-\left(1+\frac{\pi }{2}\right)x\right]+\frac{1}{2}\pi x^2=6x-\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2.$

Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $1,5{\text{ m}}^2$:
$S\ge 1,5⟺\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2-6x+1,5\le 0.$

Tam thức bậc hai $g(x)=\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2-6x+1,5$ có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=9-1,5\left(2+\frac{\pi }{2}\right)=6-\frac{3\pi }{4}>0$, nên có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $x\in [x_1;x_2]$.
Theo định lý Viète:
$x_1\cdot x_2=\frac{1,5}{2+\frac{\pi }{2}}=\frac{3}{4+\pi }\approx \frac{3}{7,14159}\approx 0,42007\approx 0,42.$

Đáp số: 0,42.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 15), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $40$.

Gọi $n$ là tổng số khách du lịch tham gia chuyến đi ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Với $n>20$, số khách vượt quá 20 là $n-20$, giá vé cho mỗi người là:
$30-(n-20)=50-n\text{ (USD)}.$

Tổng doanh thu của chuyến đi là:
$R(n)=n(50-n)\text{ (USD)}.$

Để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải không nhỏ hơn chi phí:
$n(50-n)\ge 400⟺-n^2+50n-400\ge 0⟺n^2-50n+400\le 0.$

Giải bất phương trình bậc hai: tam thức $n^2-50n+400$ có hai nghiệm là $n=10$ và $n=40$.

Do đó:
$10\le n\le 40.$

Vậy công ty nên giới hạn số lượng hành khách tối đa là $40$ khách để không bị lỗ.

Đáp số: 40.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2-(m^2-5)=9-4m\ne 0\iff m\ne \frac{9}{4}$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>\frac{9}{4}$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2$ với $|z_1{|}^2=|z_2{|}^2=m^2-5$. Điều kiện $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2\le 8\iff 2(m^2-5)\le 8\iff m^2\le 9\iff -3\le m\le 3$. Kết hợp $m>\frac{9}{4}$ và $m\in \mathbb{Z}$ được $m=3$.
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m<\frac{9}{4}$. Khi đó $z_1,z_2$ là hai nghiệm thực phân biệt nên $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=4(m-2{)}^2-2(m^2-5)=2m^2-16m+26\le 8\iff m^2-8m+9\le 0\iff 4-\sqrt{7}\le m\le 4+\sqrt{7}$. Kết hợp $m<\frac{9}{4}$ và $m\in \mathbb{Z}$ được $m=2$.
Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{2;3\}$. Chọn D.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2+5)=2m-4$. Xét hai trường hợp: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<2$, khi đó $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2+5}=4\iff m^2=11\Rightarrow m=-\sqrt{11}$ (nhận); ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff m\ge 2$, vì $z_1{z}_2=m^2+5>0$ nên $z_1,z_2$ cùng dấu, $|z_1|+|z_2|=|z_1+z_2|=2|m+1|=8\Rightarrow m=3$ (nhận). Vậy có $2$ giá trị của $m$. (Nguồn: đề trang 5, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m+7)=m^2+m-6$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>2$ hoặc $m<-3$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì $z_1\ne z_2$, ta có $|z_1+5|=|z_2+5|\iff z_1+5=-(z_2+5)\iff z_1+z_2=-10$.
Theo định lý Vi-et: $z_1+z_2=-2(m+1)=-10\iff m+1=5\iff m=4$ (thỏa mãn $m>2$).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff -3<m<2$.
Phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp $z_{1,2}=-(m+1)\pm i\sqrt{-{\Delta }^{\prime }}$.
Khi đó $z_1+5$ và $z_2+5$ là hai số phức liên hợp nên luôn có $|z_1+5|=|z_2+5|$ với mọi $m\in (-3;2)$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$ (4 giá trị).
Tổng cộng có $1+4=5$ giá trị nguyên thỏa mãn: $m\in \{-2;-1;0;1;4\}$. Chọn A.

Chọn đáp án B
Ta có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(2m^2-2m)=-m^2+2m=m(2-m)$.
- TH1: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2=\overline{z_1}$.
Ta có $|z_1-2|=|\overline{z_1}-2|=|\overline{z_1-2}|$, luôn đúng với mọi $z_1$.
Do đó mọi giá trị $m$ trong trường hợp này đều thỏa mãn.
Với $m\in (-10;10)$, $m\in \mathbb{Z}$: $m\in \{-9;-8;\dots ;-1\}\cup \{3;4;\dots ;9\}$, gồm $9+7=16$ giá trị.
- TH2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff 0<m<2$. Khi đó nghiệm thực $z_1,z_2$, $|z_1-2|=|z_2-2|\iff z_1+z_2=4\iff 2m=4\iff m=2$ (không thuộc khoảng $(0;2)$).
Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Tổng doanh thu khi bán hết $x$ sản phẩm là $R(x)=1200x$ (nghìn đồng).
Tổng chi phí là $C(x)=x^2+180x+140000$ (nghìn đồng).
Để có lời thì lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)>0$:
$1200x-(x^2+180x+140000)>0\iff -x^2+1020x-140000>0\iff x^2-1020x+140000<0.$
Giải bất phương trình: tam thức có hai nghiệm $x_1\approx 163,85$ và $x_2\approx 856,15$.
Do đó $163,85<x<856,15$.
Vì $x$ là số nguyên dương nên số sản phẩm tối thiểu cần sản xuất và bán hết là $x=164$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0017: Kết quả là 164).

Thể tích khối hộp $V=x(10-2x)(16-2x)=144(0<x<5)\iff (x-2{)}^2(x-9)=0\iff x=2$.

Lợi nhuận: $L(x)=R(x)-x\cdot H(x)=-0,01x^2+80x-60000$ (nghìn đồng). Yêu cầu $L(x)>60000\iff x^2-8000x+12000000<0\iff 2000<x<6000$. Kết hợp $x\in {\mathbb{N}}^{\ast },1\le x\le 5000$, số sản phẩm ít nhất là $2001$. Đáp số: 2001.