Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2(m+1)x-(2m^2-3m+2)$.
Để hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (2;+\infty )$.
Ta có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2+3(2m^2-3m+2)=m^2+2m+1+6m^2-9m+6=7m^2-7m+7=7(m^2-m+1)>0,\forall m$.
Do đó phương trình $f^{\prime }(x)=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1<x_2$.
Để $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x>2$ thì $x_1<x_2\le 2$.
Điều kiện tương đương là:
$\{\begin{array}{l}af(2)\ge 0\\ \frac{S}{2}<2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(2)\ge 0\\ \frac{m+1}{3}<2\end{array}$.
Ta có: $f^{\prime }(2)=3(4)-4(m+1)-(2m^2-3m+2)=12-4m-4-2m^2+3m-2=-2m^2-m+6$.
Bất phương trình $f^{\prime }(2)\ge 0⟺2m^2+m-6\le 0⟺(2m-3)(m+2)\le 0⟺-2\le m\le \frac{3}{2}$.
Và điều kiện đỉnh: $\frac{m+1}{3}<2⟺m<5$.
Kết hợp lại ta được: $-2\le m\le \frac{3}{2}$.
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{-2,-1,0,1\}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{m}^2-4<0\\ -m\notin (-1;2)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2<m<2\\ m\le -2\text{ hoặc }m\ge 1\end{array}\iff 1\le m<2$.

$y^{\prime }=9(m^2-4)x^2+6(m-2)x-1$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.

- **Trường hợp 1:** $m=2$. Ta có $y^{\prime }=-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$. Ta nhận $m=2$ $(\ast )$.
- **Trường hợp 2:** $m=-2$. Ta có $y^{\prime }=-24x-1<0\iff x>-\frac{1}{24}$ (loại).
- **Trường hợp 3:** $m\ne \pm 2$. Ta có $y^{\prime }\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-4<0\\ {\Delta }^{\prime }=18(m^2-2m)\le 0\end{array}\iff 0\le m<2$ $(\ast \ast )$.

Từ $(\ast )$ và $(\ast \ast )$ suy ra $0\le m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2\}$.

Vậy tổng bình phương các giá trị nguyên của tham số $m$ là $0^2+1^2+2^2=5$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{m\}$.
Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{-m-(-2)}{(x-m{)}^2}=\frac{2-m}{(x-m{)}^2}$.
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne m$:
$⟺2-m>0⟺m<2$.
Vì $m$ là số nguyên thuộc đoạn $[-2020;2020]$, nên $m\in \{-2020;-2019;\dots ;0;1\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $1-(-2020)+1=2022$.

Chọn C.
Ta có:
$y^{\prime }=\frac{(m-\sin x{)}^{\prime }{\cos }^{2}x-(m-\sin x)({\cos }^{2}x{)}^{\prime }}{{\cos }^{4}x}=\frac{-\cos x{\cos }^{2}x-(m-\sin x)(-2\cos x\sin x)}{{\cos }^{4}x}$
$=\frac{-{\cos }^{2}x+2(m-\sin x)\sin x}{{\cos }^{3}x}=\frac{-(1-{\sin }^{2}x)+2m\sin x-2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{3}x}=\frac{-{\sin }^{2}x+2m\sin x-1}{{\cos }^{3}x}$.
Với mọi $x\in (0;\frac{\pi }{6})$ thì $\cos x>0⟹{\cos }^{3}x>0$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{6})$ thì:
$y^{\prime }\le 0,\forall x\in (0;\frac{\pi }{6})⟺-{\sin }^{2}x+2m\sin x-1\le 0,\forall x\in (0;\frac{\pi }{6})$.
Đặt $t=\sin x$, vì $x\in (0;\frac{\pi }{6})$ nên $t\in (0;\frac{1}{2})$.
Bất phương trình trở thành:
$-t^2+2mt-1\le 0⟺2mt\le t^2+1⟺2m\le t+\frac{1}{t},\forall t\in (0;\frac{1}{2})$.
Xét hàm số $g(t)=t+\frac{1}{t}$ trên $(0;\frac{1}{2})$.
Ta có $g^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t^2}=\frac{t^2-1}{t^2}<0,\forall t\in (0;\frac{1}{2})$.
Do đó $g(t)$ nghịch biến trên $(0;\frac{1}{2})$, suy ra ${\inf }_{(0;1/2)}g(t)=g(1/2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.
Để $2m\le g(t),\forall t\in (0;\frac{1}{2})$ thì $2m\le \frac{5}{2}⟺m\le \frac{5}{4}$.

Ta có $y={\log }_2(f(2x))\Rightarrow y^{\prime }=\frac{2f^{\prime }(2x)}{f(2x)\ln 2}$.
Vì $f(x)>0$ trên $\mathbb{R}$ và $\ln 2>0$ nên $y^{\prime }$ cùng dấu với $f^{\prime }(2x)$.
Hàm số đồng biến khi:
$y^{\prime }>0\iff f^{\prime }(2x)>0\iff [\begin{array}{r}-1<2x<0\\ 2x>2\end{array}\iff [\begin{array}{r}-\frac{1}{2}<x<0\\ x>1\end{array}$

Khoảng $(1;2)\subset (1;+\infty )$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=3m{x}^2-6x+m-2$.
- Trường hợp 1: $m=0$. Khi đó $f^{\prime }(x)=-6x-2$, đổi dấu trên $\mathbb{R}$, nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (loại $m=0$).
- Trường hợp 2: $m\ne 0$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}a=3m<0\\ {\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-3m(m-2)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ 9-3m^2+6m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ m^2-2m-3\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ \left[\begin{array}{c}m\le -1\\ m\ge 3\end{array}\right]\end{array}\iff m\le -1$.
Do $m\in [-3;3]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Từ bảng xét dấu, khi $x\to +\infty$ thì $y^{\prime }>0$, suy ra $3a>0\Rightarrow a>0$.
Phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1<x_2<0$.
Theo định lý Vi-ét ta có:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0\\ x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0\end{array}$.
Vì $a>0$ nên suy ra $b>0$ và $c>0$.
Hơn nữa $y^{\prime }(0)=c>0$.
Vậy $a>0,b>0,c>0$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 43 chọn đáp án A.

Ta có $f(x)=-x^3+m{x}^2-3x-2020$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=-3x^2+2mx-3$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Điều này tương đương với:
$\{\begin{array}{l}a=-3<0\\ {\Delta }^{\prime }=m^2-(-3)(-3)\le 0\end{array}⟺m^2-9\le 0⟺-3\le m\le 3$.
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) nên $m\in \{1;2;3\}$.
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên dương của $m$.

Chọn đáp án A.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(x+m)$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)⟺f^{\prime }(x+m)\le 0,\forall x\in (0;2)$.
Từ đồ thị $f^{\prime }(t)$, ta thấy $f^{\prime }(t)\le 0⟺t\le -1$ hoặc $1\le t\le 4$...
Xét điều kiện với $x\in (0;2)$ và $m>-10$ là số nguyên, đếm được đúng 9 giá trị nguyên của $m$.

Chọn B.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=-x^2-2mx+2m-3$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}⟺f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vì hệ số $a=-1<0$ nên điều kiện tương đương là:
${\Delta }^{\prime }=(-m{)}^2-(-1)(2m-3)\le 0⟺m^2+2m-3\le 0⟺-3\le m\le 1.$
Do $m$ nhận giá trị nguyên âm nên $m\in \{-3;-2;-1\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số $m$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1-m^2}{(x+1{)}^2}$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }<0,\forall x\ne -1⟺1-m^2<0⟺m^2>1⟺m>1$ hoặc $m<-1$. Với $m\in (0;2020)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2;3;\dots ;2019\}$. Số giá trị nguyên là $2019-2+1=2018$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }=\frac{m^2+5m+4}{(x+m{)}^2}<0\iff m^2+5m+4<0\iff -4<m<-1$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2\}$, có $2$ giá trị.

Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )\iff y^{\prime }=3x^2+2x+1-m\ge 0,\forall x\in (1;+\infty )\iff m\le {\min }_{[1;+\infty )}(3x^2+2x+1)=6$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$, có $6$ giá trị.

Bất phương trình tương đương $3m<f(x)-2\cos x,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Xét $h(x)=f(x)-2\cos x$, ta có $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+2\sin x$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$ trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, ta chứng minh được $h(x)$ đồng biến, do đó ${\min }_{\left[0;\frac{\pi }{2}\right]}h(x)=h(0)=f(0)-2$. Để bất phương trình đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $3m\le h(0)⟺m\le \frac{1}{3}[f(0)-2]$.

Chọn D.
Trên đoạn $[a;b]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)\le 0$, suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[a;b]$, do đó $f(a)>f(b)$.
Trên đoạn $[b;c]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)\ge 0$, suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[b;c]$, do đó $f(c)>f(b)$.
Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f^{\prime }(x)$ và trục hoành trên $[a;b]$ là $S_1$, và trên $[b;c]$ là $S_2$:
- $S_1=-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(a)-f(b)$,
- $S_2={\int }_b^c{f}^{\prime }(x)dx=f(c)-f(b)$.
Từ hình vẽ ta thấy rõ ràng miền hình phẳng trên $[b;c]$ có diện tích lớn hơn miền hình phẳng trên $[a;b]$, tức $S_2>S_1$.
Suy ra $f(c)-f(b)>f(a)-f(b)⟹f(c)>f(a)$.
Kết hợp lại ta được $f(c)>f(a)>f(b)$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đạo hàm của hàm số:
$$f^{\prime }(x)=\frac{2m^2-8}{(x+2m{)}^2}.$$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$\{<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)<0,\forall x\in (1;+\infty )</td></tr><tr><td>-2m\notin (1;+\infty )</td></tr></tbody></table>⟺\{<table><tbody><tr><td>2m^2-8<0</td></tr><tr><td>-2m\le 1</td></tr></tbody></table>⟺\{<table><tbody><tr><td>-2<m<2</td></tr><tr><td>m\ge -\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>⟺-\frac{1}{2}\le m<2.$$
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{0;1\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=x^2-2(m-1)x+1$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff (m-1{)}^2-1\le 0\iff m^2-2m\le 0\iff 0\le m\le 2$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2\}$.
Tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ là: $0+1+2=3$.
Chọn A.

Đặt $g(x)=f(\sin x)\Rightarrow g^{\prime }(x)=\cos x\cdot f^{\prime }(\sin x)$.
Xét trên khoảng $(0;\pi )$:
Từ đồ thị $y=f(x)$, $f^{\prime }(t)>0$ khi $t>\frac{1}{2}$ hoặc $t<0$, và $f^{\prime }(t)<0$ khi $0<t<\frac{1}{2}$.
- Với $x\in \left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$:
Ta có $\cos x>0$ và $\sin x\in \left(\frac{1}{2};1\right)\Rightarrow f^{\prime }(\sin x)>0$.
Do đó $g^{\prime }(x)=\cos x\cdot f^{\prime }(\sin x)>0$.
Suy ra hàm số $g(x)=f(\sin x)$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}\right)$.
Chọn C.

Đặt $t=\sin x$. Với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, hàm số $t=\sin x$ nghịch biến và có tập giá trị là $t\in (0;1)$.
Hàm số trở thành $y=g(t)=\frac{t+m}{t-1}$ với $t\in (0;1)$.
Ta có $y_x^{\prime }=g^{\prime }(t)\cdot t_x^{\prime }=\frac{-1-m}{(t-1{)}^2}\cdot \cos x$.
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$.
Do đó hàm số ban đầu nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)\iff y_x^{\prime }\le 0,\forall x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (dấu '=' xảy ra tại hữu hạn điểm)
$\iff g^{\prime }(t)>0,\forall t\in (0;1)\iff \frac{-1-m}{(t-1{)}^2}>0\iff -1-m>0\iff m<-1$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-20;20]$, ta được:
$m\in \{-20,-19,-18,\dots ,-3,-2\}$.
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là:
$S=(-20)+(-19)+\cdots +(-2)=-\frac{(20+2)\cdot 19}{2}=-209$.
Chọn C.