Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Ông chủ của một ngôi nhà muốn làm một chiếc thang cứu hộ (coi như một đoạn thẳng) để sử dụng khi có nguy hiểm xảy ra. Khi chiếc thang được sử dụng thì một đầu của nó sẽ tiếp đất và một đầu còn lại sẽ đặt vào bức tường của ngôi nhà. Chiếc thang này được thiết kế để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ bên). Hàng rào cao $2,88$ mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng $1,8$ mét. Hỏi chiều dài ngắn nhất của chiếc thang bằng bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $[-5;3]$. Biết $f(-5)>f(3)>0$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:


Bất phương trình $3x^4+4x^3+6x^2+12x-(\sqrt{3-x}+\sqrt{5+x})f(x)+m\ge 0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in [-5;3]$ khi và chỉ khi

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình bên. Đặt $g(x)=2f(x)-(x-1{)}^2$.

[IMAGE_1]

Khi đó $y=g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;3]$ tại

Cho các số thực $x,y\ge 1$ và thỏa mãn điều kiện $xy\le 4$. Biểu thức $P={\log }_{4x}8x-{\log }_{2y^2}\frac{y^2}{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=x_0,y=y_0$. Đặt $T=x_0^4+y_0^4$ mệnh đề nào sau đây đúng

Cho hàm số $f(x)=|x^4-4x^3+4x^2+m|$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho ${\max }_{[0;2]}f(x)+{\min }_{[0;2]}f(x)=5$. Số phần tử của $S$ là

Cho hàm số $f(x)=|x^4-2x^3+x^2+m|$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho ${\min }_{[-1;2]}f(x)+{\max }_{[-1;2]}f(x)=10$. Số phần tử của $S$ là

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)=|2x^3-15x+m-5|+9x$ trên $[0;3]$ bằng $60$. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực $m$.

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x+m-30\right|$ trên đoạn $[0;2]$ không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử của tập hợp $S$ bằng bao nhiêu?

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^2-xy+y^2=1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}$. Giá trị của $A=M+15m$ là

Cho hàm số $f(x)=|x^4-4x^3+4x^2+a|$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;2]$. Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $[-3;3]$ sao cho $M\le 2m$?

Nhà thầy Quang cách bờ biển $1\text{ km}$. Mỗi buổi sáng thầy chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển $500\text{ m}$, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển $400\text{ m}$ và cách nhà thầy Quang $1\text{ km}$, tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Quang đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị $\text{m}$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Gọi $\alpha$ và $\beta$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=|x^3-12x+m|$ trên đoạn $[0;3]$. Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in [-40;40]$ để $2\alpha >\beta$. Số phần tử của tập $S$ là

Với mỗi số $k$, gọi $m_k$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=|x^3-3x+2|-x^2-kx+k$ ($k$ là tham số thực). Biết $m_k$ đạt giá trị lớn nhất khi $k=\frac{p}{q}$, trong đó $\frac{p}{q}$ là phân số tối giản. Số ước nguyên dương của $p\cdot q$ là

Cho hàm số $f(x)=|x^4-2x^2+m|$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $m\in [-10;10]$ sao cho ${\max }_{[1;2]}f(x)+{\min }_{[1;2]}f(x)\ge 10$. Số phần tử của tập $S$ là

Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $(x\in \mathbb{N};1\le x\le 300)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm là $G(x)=300+\frac{100}{x}$ (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất $x$ sản phẩm là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Xét các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=\sqrt[3]{e}$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2\ln a\cdot \ln b+7\ln b\cdot \ln c+3\ln c\cdot \ln a$ là phân số tối giản $\frac{p}{q}$ và $p,q$ là các số tự nhiên. Giá trị $q-3p$ bằng

Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh $60\text{ cm}$. Bề mặt viên gạch được trang trí bởi một họa tiết hình chữ nhật màu trắng có tâm trùng với tâm viên gạch. Các đỉnh của hình chữ nhật này nằm trên hai đường parabol đối xứng nhau qua tâm viên gạch. Biết rằng mỗi đường parabol có đỉnh tại trung điểm một cạnh của viên gạch và đi qua hai đầu mút của cạnh đối diện (như hình vẽ mô phỏng). Cho biết chi phí nguyên liệu phần men trắng là $80$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, còn phần men màu bao quanh là $200$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Hỏi chi phí nguyên liệu thấp nhất để sản xuất một viên gạch là bao nhiêu nghìn đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả giá trị của $m$ sao cho $3{\max }_{x\in \mathbb{R}}g(x)+{\min }_{x\in \mathbb{R}}g(x)=100$ của hàm số $g(x)=|f(2-\cos x)+m|$ ($m$ là tham số thực). Tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng

Có bao nhiêu số thực $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x^2-2x+m|+4x$ bằng -1?

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $2y^3+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3(2y^2+1)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+2y$.