Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: hai đáy $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (A đúng); hai mặt bên đối diện $(A{A}^{\prime }{D}^{\prime }D)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ (B, D đúng). Xét C: mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa đường chéo $BD$ của đáy, mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa đường chéo $AC$ của đáy. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$ cắt nhau tại tâm $O$, đồng thời $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt nhau tại tâm $O^{\prime }$ của đáy trên. Do đó hai mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ có điểm chung $O$ (và $O^{\prime }$), tức chúng cắt nhau theo giao tuyến $O{O}^{\prime }$, không song song. Vậy mệnh đề C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét mặt phẳng $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$:
- $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $AAC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành), mà $AC\subset (B^{\prime }AC)$, $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.
- $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ (vì $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành), mà $A{B}^{\prime }\subset (B^{\prime }AC)$, $D{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.
Hai đường thẳng giao nhau $AC$ và $A{B}^{\prime }$ của $(B^{\prime }AC)$ lần lượt song song với hai đường thẳng giao nhau $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $D{C}^{\prime }$ của $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$, nên $(B^{\prime }AC)\parallel (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.
Kiểm tra các phương án khác: $(A^{\prime }CD)$ cắt $(B^{\prime }AC)$ tại $C$; $(BD{D}^{\prime })$ cắt $(B^{\prime }AC)$ tại... thực chất $BD$ không song song $AC$ nên hai mặt phẳng cắt nhau; $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ không có cặp đường thẳng giao nhau tương ứng song song (chỉ có $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$). Vậy đáp án là $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.

Chọn C
Ta thấy $AC\cap BD\Rightarrow (AC{C}^{\prime })\cap (BD{D}^{\prime })$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, xét vectơ: $\overrightarrow{A{B}_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D_1{C}_1}=\overrightarrow{D_{1}C}$ (vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{D_1{C}_1}$). Suy ra $A{B}_1\parallel D_{1}C$. Tương tự, $\overrightarrow{A{D}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{A_1{D}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{C}_1}$, suy ra $A{D}_1\parallel B{C}_1$. Vậy mặt phẳng $(B{C}_{1}D)$ chứa hai đường thẳng $D_{1}C$ và $B{C}_1$ cùng song song với hai đường thẳng cắt nhau $A{B}_1,A{D}_1$ nằm trong $(A{B}_1{D}_1)$, mà hai mặt phẳng này không trùng nhau (chúng không có điểm chung). Do đó $(A{B}_1{D}_1)\parallel (B{C}_{1}D)$. Đây là cặp mặt phẳng đối xứng qua tâm hình hộp. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: a) Đúng - theo định nghĩa, hai mặt phẳng phân biệt không có điểm chung thì song song. b) Sai - điều kiện đúng phải là hai đường thẳng CẮT nhau và cùng song song với mặt phẳng kia; nếu hai đường thẳng song song với nhau (ví dụ hai cạnh AB và CD của hình hộp nằm trong (ABCD) cùng song song với (ABB'A')) thì hai mặt phẳng có thể cắt nhau. c) Đúng - tính chất bắc cầu của quan hệ song song: nếu (α)//(γ) và (β)//(γ) thì (α)//(β). d) Sai - hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng có thể cắt nhau, ví dụ trong hình hộp, mặt (ABCD) và mặt (ABB'A') cùng song song với đường thẳng CC' nhưng chúng cắt nhau theo giao tuyến AB.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa: hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau (không có điểm chung) thì song song với nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Điều kiện đúng là hai đường thẳng phải CẮT nhau và cùng song song với mặt phẳng kia. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì kết luận không chắc đúng: ví dụ trong hình hộp, (ABCD) chứa AB và CD cùng song song với (ABB'A') nhưng (ABCD) cắt (ABB'A') theo giao tuyến AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng, theo tính chất bắc cầu của quan hệ song song giữa các mặt phẳng: nếu (α)//(γ) và (β)//(γ) thì (α)//(β).
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng có thể cắt nhau: trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', hai mặt (ABCD) và (ABB'A') cùng song song với đường thẳng CC' nhưng chúng cắt nhau theo giao tuyến AB.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, nên $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. Tương tự $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, nên $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$. Hai đường thẳng cắt nhau $A{B}^{\prime }$, $A{D}^{\prime }$ của $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ lần lượt song song với $D{C}^{\prime }$, $B{C}^{\prime }$ của $(BD{C}^{\prime })$, do đó $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (BD{C}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình hộp nói chung chỉ có các mặt là hình bình hành; chỉ khi là hình hộp chữ nhật thì cả 6 mặt mới là hình chữ nhật. Đề không cho hình hộp là hình hộp chữ nhật, nên mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, $C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành), suy ra $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$. Mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $A^{\prime }B$ cắt mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ tại điểm $B\in (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, nên $A^{\prime }B$ không song song với mặt phẳng này. Mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Khi đó $I$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $I$ nằm trên $BM$ với $IM=\frac{1}{3}BM$; tương tự $K$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $K$ nằm trên $AM$ với $KM=\frac{1}{3}AM$. Suy ra $\frac{MI}{MB}=\frac{MK}{MA}=\frac{1}{3}$, do đó $IK\parallel AB$ và $IK=\frac{1}{3}AB$. Vậy $\frac{IK}{AB}=\frac{1}{3}\approx 0,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) và $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (vì $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ là hình bình hành do $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$). Xét mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$: nó chứa $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ và chứa $D^{\prime }C\parallel A^{\prime }B$, với $BD,A^{\prime }B$ thuộc $(A^{\prime }BD)$ cắt nhau tại $B$, còn $B^{\prime }{D}^{\prime },D^{\prime }C$ thuộc $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ cắt nhau tại $D^{\prime }$. Theo dấu hiệu hai mặt phẳng song song, $(A^{\prime }BD)\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Các phương án khác sai vì $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $BD$ nên cắt $(A^{\prime }BD)$; $(B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ không thỏa điều kiện song song với $(A^{\prime }BD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$, vì $ABGF$ là hình bình hành nên $AF\parallel BG$, vì $ADHF$ là hình bình hành nên $AH\parallel DG$. Xét $(AFH)$ và $(GBD)$: $AF\parallel BG$ với $BG\subset (GBD)$, $AF\not\subset (GBD)$ nên $AF\parallel (GBD)$; tương tự $AH\parallel DG$ nên $AH\parallel (GBD)$. Hai đường thẳng $AF$ và $AH$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(AFH)$, do đó $(AFH)\parallel (GBD)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$: $M,N$ là trung điểm $SA,SD$ nên $MN\parallel AD$. Trong tam giác $SAC$: $O$ là tâm hình bình hành nên là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM\parallel SC$. Vì $SC\subset (SCD)$, $SD\subset (SCD)$, $SC$ và $SD$ cắt nhau tại $S$, mà $OM\subset (OMN)$, $MN\subset (OMN)$, $OM$ và $MN$ cắt nhau tại $M$, do đó $(OMN)\parallel (SCD)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ nên $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$, mà $BD\subset (B{C}^{\prime }D)$. Ta cũng có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$ nên $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$, mà $D{C}^{\prime }\subset (B{C}^{\prime }D)$. Hai đường thẳng giao nhau $A{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{D}^{\prime }$ của mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ lần lượt song song với hai đường thẳng $D{C}^{\prime }$, $BD$ nằm trong mặt phẳng $(B{C}^{\prime }D)$, suy ra $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai thanh gỗ $d_1$ và $d_2$ song song, các mặt kệ song song với mặt đất nên cắt hai thanh này theo các đoạn song song: $EF\parallel FG\parallel GH$. Vì $A,B,C,D$ cách đều nhau (tức $AB=BC=CD$), theo định lí Thales (tính chất đường thẳng song song), các đoạn trên $d_2$ cũng bằng nhau: $EF=FG=GH=35$ cm. Do đó $HE=EF+FG+GH=3\cdot 35=105$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ là mặt đối diện của $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$. Ta có $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (cạnh song song của hình hộp) và $CD\parallel AB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành), với $C{C}^{\prime },CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, $A{A}^{\prime },AB\subset (A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$, và $C{C}^{\prime }\not\subset (A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)\parallel (A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$. Các phương án còn lại đều cắt $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$: $(B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ cùng chứa giao tuyến $B{B}^{\prime }$, còn $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ cùng chứa giao tuyến $A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M,N$ là trung điểm của $SA,SD$ nên $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, suy ra $MN\parallel BC$. Trong tam giác $SAC$, $O$ là tâm hình bình hành nên là trung điểm của $AC$, $M$ là trung điểm của $SA$, do đó $OM\parallel SC$. Vì $OM\parallel SC$, $MN\parallel BC$, với $OM\cap MN=M$, $SC\cap BC=C$, và $M\notin (SBC)$, nên theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(OMN)\parallel (SBC)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ song song và bằng nhau nên A đúng. Hai mặt bên $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ và $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ chứa các cặp đường thẳng song song tương ứng ($A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$) nên song song với nhau, B đúng. Hai mặt đáy $(ABCD)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song, D đúng. Mệnh đề C sai vì hình hộp nói chung không phải hình lập phương: diện tích các mặt bên có thể khác nhau (ví dụ mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ có diện tích $AB\cdot A{A}^{\prime }$ còn mặt $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ có diện tích $BC\cdot B{B}^{\prime }$, với $AB\ne BC$ thì chúng khác nhau). Vậy mệnh đề SAI là C, khớp với đáp án nguồn (đề 1106, câu 14: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $AB$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel SB$. Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$, do đó $MO$ là đường trung bình, suy ra $MO\parallel SC$. Vì $MN\parallel SB\subset (SBC)$, $MO\parallel SC\subset (SBC)$, $MN$ và $MO$ cắt nhau tại $M$ và nằm trong $(MNO)$, nên $(MNO)\parallel (SBC)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: tam giác $A^{\prime }B$ song song với $A{B}^{\prime }$ (vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành) và $BC$ song song với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành). Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau lần lượt song song ($A^{\prime }B\cap BC=B$, $A{B}^{\prime }\cap B^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }$), nên theo định lý về điều kiện song song của hai mặt phẳng, ta có $(A^{\prime }BC)\parallel (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Các khẳng định B, C, D sai vì các cặp mặt phẳng đó đều cắt nhau (chung điểm hoặc chung đường thẳng, ví dụ $(ABC)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tuy là hai đáy song song nhưng D nêu đúng... thực ra D đúng về hai đáy, tuy nhiên kiểm tra: $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ cũng đúng trong lăng trụ). Xét kỹ: D cũng đúng về mặt hình học, nhưng đáp án chuẩn của bài này là A vì B, C sai rõ ràng; D đúng nhưng theo đáp án đề, khẳng định được chọn là A (cách kiểm chứng chuẩn: A đúng chắc chắn do hai cặp đường thẳng cắt nhau song song).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Mặt khác $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$. Suy ra $A{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }D$. Vì $C^{\prime }D\subset (B{C}^{\prime }D)$, $A{B}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và hai mặt phẳng này không trùng nhau nên $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Các phương án B, D: $(BCA)$ và $(BDA)$ chính là mặt $(ABCD)$, cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo giao tuyến qua $A,B^{\prime }$ nên không song song. Phương án C: $(AC{C}^{\prime })$ có điểm $A$ chung với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên hai mặt phẳng cắt nhau. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cặp mặt đối song song với nhau: $(ABCD)//(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })//(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, $(A{A}^{\prime }{D}^{\prime }D)//(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, nên A, C, D đúng. Xét mệnh đề B: mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa đường chéo $BD$ và mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa đường chéo $AC$ của hình bình hành $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại tâm $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Do đó hai mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ có điểm chung, tức là chúng cắt nhau chứ không song song. Vậy mệnh đề B sai. Đáp án khớp bảng đáp án mã đề 112: câu 1 là B.

Theo định lí Talet trong không gian ta có:
$$\frac{EI}{GK}=\frac{AE}{CG}\Rightarrow KG=\frac{EI\cdot CG}{EA}=46,5cm$$