Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(2-1;0-2;1-(-1))=(1;-2;2)$, đồng thời là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-1)$ nên có phương trình: $1(x-1)-2(y-2)+2(z+1)=0\iff x-2y+2z+5=0$. Vậy đáp án B.

$\overrightarrow{AB}=(4;0;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;2;-1)$, $\vec{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(2;3;8)$. Phương trình tổng quát là $2(x-0)+3(y-0)+8(z-1)=0\iff 2x+3y+8z-8=0$.

$\overrightarrow{AB}=(4;0;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)$, $\vec{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(1;3;4)$. Phương trình tổng quát là $1(x-0)+3(y-0)+4(z-1)=0\iff x+3y+4z-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q):x+y-z+3=0$ nên có dạng $x+y-z+c=0$. Đi qua $A(0;1;-2)$: $0+1-(-2)+c=0\Rightarrow c=-3$. Vậy $(P):x+y-z-3=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):ax+3y+cz+d=0$ chứa trục $Ox$ nên đi qua gốc $O(0;0;0)$, suy ra $d=0$. Đồng thời $(P)$ chứa vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{i}=(1;0;0)$, nên vectơ pháp tuyến $(a;3;c)$ vuông góc với $\vec{i}$, suy ra $a=0$. Vậy $(P):3y+cz=0$. Vì $(P)$ đi qua $A(1;2;-3)$ nên $3\cdot 2+c\cdot (-3)=0\Rightarrow 6-3c=0\Rightarrow c=2$. Do đó $2a+3c-d=2\cdot 0+3\cdot 2-0=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q):x-y+3z-18=0$ nên có dạng $x-y+3z+c=0$. Vì $(P)$ qua $M(1;2;-3)$: $1-2+3(-3)+c=0\Rightarrow -10+c=0\Rightarrow c=10$. Vậy $(P):x-y+3z+10=0$. Kiểm tra các đáp án: A có VTCP $(1;1;-3)$ không song song; B có dạng $-x+y-3z+10=0$, tức $x-y+3z-10=0$, thay $M$: $1-2-9-10=-20\ne 0$, sai; D sai hệ số. Đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai véc tơ chỉ phương: $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$. Với $\vec{u}(1;1;-2)$, $\vec{v}(2;-1;-1)$: $\vec{n}=(1\cdot (-1)-(-2)(-1);(-2)\cdot 2-1\cdot (-1);1\cdot (-1)-1\cdot 2)=(-3;-3;-3)$. Chia cho $-3$ ta được $\vec{n}\parallel (1;1;1)$. Kiểm tra: $(1;1;1)\cdot (1;1;-2)=0$ và $(1;1;1)\cdot (2;-1;-1)=0$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $x-3y-4z+5=0$, véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-3;-4)$. b) Đúng: thay $M(-1;0;1)$: $-1-0-4+5=0$, nên $M\in (P)$. c) Đúng: đường thẳng $\Delta$ có $\vec{u}=(1;-1;1)$, $\vec{n}\cdot \vec{u}=1+3-4=0$ nên $\Delta \parallel (P)$ hoặc $\Delta \subset (P)$; điểm $(-2;1;0)$ thuộc $\Delta$ có $-2-3-0+5=0$ nên $\Delta \subset (P)$, góc giữa $(P)$ và $\Delta$ bằng $0^0$. d) Sai: tâm $I(-6;3;4)$, $d(I,(P))=\frac{|-6-9-16+5|}{\sqrt{1+9+16}}=\frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}\approx 5,099\ne 5=R$, nên $(P)$ không tiếp xúc $(S)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ pháp tuyến của $(P):x-3y-4z+5=0$ là $\vec{n}=(1;-3;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;0;1)$: $-1-0-4+5=0$ nên $(P)$ đi qua $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(1;-1;1)$, $\vec{n}\cdot \vec{u}=1+3-4=0$ và điểm $(-2;1;0)$ của $\Delta$ thuộc $(P)$ nên $\Delta \subset (P)$, góc bằng $0^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=\frac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}\approx 5,099\ne 5$ nên $(P)$ không tiếp xúc mặt cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến: $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=(1\cdot 1-(-1)(-2),(-1)\cdot 1-3\cdot 1,3(-2)-1\cdot 1)=(-1,-4,-7)$. Mặt phẳng qua $B(3,4,-1)$: $-1(x-3)-4(y-4)-7(z+1)=0\iff -x-4y-7z+12=0\iff x+4y+7z-12=0$. Kiểm tra: $3+16-7-12=0$ đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1$, tức $x+2y+2z-6=0$. Khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng: $d=\frac{|-6|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1204.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba trục tại $M(8;0;0)$, $N(0;-2;0)$, $P(0;0;4)$ nên có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{8}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=1$. Nhân cả hai vế với 8 ta được $x-4y+2z-8=0$. Kiểm tra: $M$: $8-8=0$; $N$: $8-8=0$; $P$: $8-8=0$. Vậy đáp án là D. (A sai vì mẫu số không phải là các đoạn chắn; B sai vì thiếu hằng số, không đi qua ba điểm đã cho; C sai vì vế phải bằng 0 thay vì 1.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình (P): 2x - y + 2z - 3 = 0, vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 2). b) Đúng: (Q) song song (P) nên có dạng 2x - y + 2z + c = 0; thay M(1;2;3): 2 - 2 + 6 + c = 0 => c = -6, được 2x - y + 2z - 6 = 0. c) Sai: d vuông góc (P) nên vectơ chỉ phương phải là pháp tuyến của (P), tức u = (2; -1; 2), không phải (2; 1; 2). d) Đúng: R = d(M, (P)) = |2·1 - 2 + 2·3 - 3|/√(4+1+4) = |3|/3 = 1.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình (P): 2x - y + 2z - 3 = 0, vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng 2x - y + 2z + c = 0; thay M(1;2;3): 2 - 2 + 6 + c = 0 => c = -6, nên (Q): 2x - y + 2z - 6 = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
d vuông góc (P) nên vectơ chỉ phương của d là pháp tuyến của (P): u = (2; -1; 2), không phải (2; 1; 2).
d) (AI giải đề cho tôi)
R = d(M, (P)) = |2·1 - 2 + 2·3 - 3|/√(4+1+4) = 3/3 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;1;1)$ vuông góc với $(P):x+y+z-6=0$ có vectơ chỉ phương $
=(1;1;1)$,phươngtr\grave{ı}nhthams\acute{\hat{o}}:$x=1+t,\ y=1+t,\ z=1+t$.Thayv\grave{a}ophươngtr\grave{ı}nhmặtphẳng:$(1+t)+(1+t)+(1+t)-6=0 \Rightarrow 3t-3=0 \Rightarrow t=1$.Vậy$H(2;2;2)$,tức$a=b=c=2$,n\hat{e}n$T=a+b+c=6$.Kiểmtra:$2+2+2-6=0$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;-2;3)$ đến $(P):3x+4y+2z+4=0$ là $d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\frac{|3-8+6+4|}{\sqrt{29}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a=3$, $b=1$, $c=-2$. Vậy $(ABC):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$, tương ứng đáp án A. Kiểm tra: thay $A(3;0;0)$: $1=1$; $B(0;1;0)$: $1=1$; $C(0;0;-2)$: $\frac{-2}{-2}=1$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-6;1+7)=(2;-4;8)$, trung điểm $I(2;4;-3)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}$: $2(x-2)-4(y-4)+8(z+3)=0\iff 2x-4y+8z+36=0\iff x-2y+4z+18=0$. Vậy $a=1,b=-2,c=4$, nên $a-4b+3c=1-4(-2)+3(4)=1+8+12=21$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục có dạng phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a=3,b=1,c=-2$ (các giao điểm với trục). Vậy $(ABC)$: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay $A(3;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;-2)$ đều thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$. Mặt phẳng cần tìm đi qua $M(2;1;0)$ và chứa $d$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\overrightarrow{AM}=(1;1;-2)$.
$$\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{AM}=(1\cdot (-2)-2\cdot 1;2\cdot 1-2\cdot (-2);2\cdot 1-1\cdot 1)=(-4;6;1).$$
Phương trình mặt phẳng qua $M(2;1;0)$: $-4(x-2)+6(y-1)+1(z-0)=0$, tức $-4x+6y+z+2=0$, hay $4x-6y-z-2=0$.
Kiểm tra: điểm $A(1;0;2)$ thuộc mặt phẳng vì $4-0-2-2=0$; $\vec{n}\cdot \vec{u}=-8+6+2=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $M\left(\frac{1+3}{2};\frac{6+2}{2};\frac{-7+1}{2}\right)=M(2;4;-3)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-4;8)$, chọn vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;4)$. Mặt phẳng trung trực qua $M$: $1(x-2)-2(y-4)+4(z+3)=0\iff x-2y+4z+18=0$. Vậy $a=1,b=-2,c=4$, do đó $a-4b+3c=1-4(-2)+3(4)=1+8+12=21$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{BC}=C-B=(1-2;-1-1;2-0)=(-1;-2;2)$, nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n}=(-1;-2;2)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;1;1)$: $-1(x+1)-2(y-1)+2(z-1)=0\iff -x-2y+2z-1=0\iff x+2y-2z+1=0$. Thử lại: thay A: $-1+2-2+1=0$ đúng. Vậy đáp án A.