Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

Một bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $0\le t\le 24$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít.

Một trung tâm y tế được cấp một lô $10000$ liều vắc-xin viêm não Nhật Bản để tiêm cho người dân trong vòng $30$ ngày. Gọi $M(t)$ là số liều vắc-xin còn lại chưa sử dụng sau $t$ ngày, với $0\le t\le 30$. Sau đúng $30$ ngày, trung tâm còn lại $280$ liều vắc-xin để dự phòng. Qua thống kê, tốc độ tiêm chủng tại thời điểm $t$ tỉ lệ thuận với bình phương thời gian còn lại, tức là $-M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$, $k>0$.

Câu 1. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm $x$ (triệu đồng) ($x\ge 0$). Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$, trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 tỷ đồng.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x}$.

Câu 6. Một bể chứa nước hình trụ thẳng đứng đang đầy nước. Khi mở một nút xả ở đáy bể, nước chảy ra ngoài với tốc độ giảm thể tích tỷ lệ thuận với căn bậc hai của thể tích nước hiện tại trong bể. Nếu gọi $V(t)$ là thể tích nước còn lại trong bể sau $t$ phút, tốc độ thay đổi thể tích được mô tả bởi phương trình: $V^{\prime }(t)=-k\sqrt{V(t)}$ với $k>0$. Biết bể ban đầu có lượng nước là 144 lít. Sau 10 phút xả, lượng nước còn lại trong bể là 64 lít. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc mở nút xả thì bể sẽ cạn hoàn toàn? (Tính bằng phút).

Đối với ngành xử lý môi trường, việc kiểm soát nồng độ hóa chất độc hại tồn dư trong nguồn nước thải là một nhiệm vụ quan trọng. Khi nghiên cứu một phương pháp lọc nước mới, người ta nhận thấy nồng độ hóa chất độc hại $y(t)$ (đơn vị: $\text{mg/lıˊt}$) tồn dư trong bể nước thải của một nhà máy tại thời điểm $t$ ngày ($t\ge 0$) thỏa mãn $y(t)>0$ và $y^{\prime }(t)=-k\cdot y^2(t)$, trong đó $k$ là hằng số dương. Đo nồng độ hóa chất độc hại trong bể tại các thời điểm $t=1$ (ngày) và $t=3$ (ngày) nhận được kết quả lần lượt là $2\text{ mg/lıˊt}$ và $1\text{ mg/lıˊt}$. Cho biết $y(t)=\frac{1}{g(t)}$ với mọi $t\ge 0$. Theo tiêu chuẩn an toàn sinh thái, nhà máy được phép xả bể nước thải ra môi trường bên ngoài khi nồng độ hóa chất độc hại tồn dư trong bể nước thải giảm xuống mức $0,1\text{ mg/lıˊt}$ hoặc thấp hơn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày kể từ lúc bắt đầu xử lý, bể nước thải đạt tiêu chuẩn để được phép xả thải ra môi trường bên ngoài?

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1,& \text{khi }x\ge 1\\ 3x^2+2x+m,& \text{khi }x<1\end{array},(m\in \mathbb{R})$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=3x^2+2{\sin }^{2}x+\sin x-1$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$, biết $F(0)=2$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$? (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Câu 1. Xét hàm số $f(x)=\frac{x^2+2}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên thỏa mãn f ( x ) = 3 f ( 2 x ) , x  . Gọi F ( x ) là nguyên hàm
8
của f ( x ) trên thỏa mãn F ( 4 ) = 3 và F ( 2 ) + 4 F (8) = 0. Khi đó  f ( x )dx bằng
2

Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{x-1}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biết rằng $F(2)+F(0)=5$. Giá trị của biểu thức $P=F(3)-F(-2)$ bằng

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\frac{2x-1}{(x+1{)}^2}$ sao cho $F(0)=2$. Biết $F(2)=a\ln 3+b$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Tính $a+b$.

Câu 4. Một nhóm học sinh trường THPT Nguyễn Du thực hiện dự án nghiên cứu xử lý nước thải. Trong quá trình thử nghiệm hệ thống lọc, các bạn theo dõi nồng độ một loại tạp chất tồn dư trong nước. Kết quả cho thấy nồng độ tạp chất $y(t)$ (đơn vị: $\text{mg/lıˊt}$) tồn dư trong nước tại thời điểm $t$ (giờ) ($t\ge 0$) kể từ lúc bắt đầu lọc thỏa mãn $y(t)>0$ và $y^{\prime }(t)=k\sqrt{y(t)}(t\ge 0)$, trong đó $k$ là một hằng số. Đo nồng độ tạp chất tại các thời điểm $t=0$ (giờ) và $t=8$ (giờ) nhận được kết quả lần lượt là $100\text{ mg/lıˊt}$ và $36\text{ mg/lıˊt}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=F(\pi )=1$, khi đó giá trị của $F(2\pi )$ bằng

Câu 1. Một trung tâm thương mại tăng giá cho thuê mỗi gian hàng $x$ (triệu đồng) ($x\ge 0$). Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được ước lượng bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$ (đơn vị: triệu đồng) (Nguồn: R.Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng tăng giá thuê mỗi gian hàng $10$ triệu đồng thì doanh thu là $12000$ triệu đồng.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$ đồng thời thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x+1}$ ($\forall x\ne -\frac{1}{2}$), và $f(-1)+2f(0)=2\ln 674$. Giá trị của biểu thức $S=f(-2)+f(1)+f(4)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x-1},f(0)=1$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)$ bằng

Biết $\int f(x)dx=2x\ln (3x-1)+C$ với $x\in \left(\frac{1}{3};+\infty \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Câu 2. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Sau $1$ ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành $600$ vi khuẩn. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày ($0\le t\le 17$). Biết tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó là đạo hàm $P^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, trong đó $k$ là hằng số.

Cho ∫ (1 + x ln x )dx = ae 2 + be + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1