Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$ (vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$). Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{2\pi }{3}$ thì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ đúng. Các phương án A, B dùng $\frac{\pi }{6}$ (sai vì $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$), phương án C dùng $\frac{\pi }{3}$ (sai vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn D (Mã đề 122, Câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$. a) $f(x)=\frac{1}{2}\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ → Đúng. b) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ → Đúng. c) Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, không phải $\frac{3}{2}$ → Sai. d) Trong $[0;\pi ]$ các nghiệm là $0,\frac{\pi }{2},\pi$, tổng bằng $\frac{3\pi }{2}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức Mã đề 122: ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\max f(x)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}=1\ne \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $[0;\pi ]$: $0,\frac{\pi }{2},\pi$; tổng $=\frac{3\pi }{2}$.

Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (0.5 điểm)

$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ (0.5 điểm)

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{12}$. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$: $x=\pm \alpha +k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Do đó $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}+l2\pi$ với $k,l\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=-\frac{\pi }{12}$, $\cos (-\frac{\pi }{12})=\cos \frac{\pi }{12}$ (hàm cos là hàm chẵn) — thỏa mãn. Phương án C khớp hoàn toàn; đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 8: C) cũng trùng khớp với kết quả giải độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}={\cos }^{2}x$. a) $f(x)=\frac{1}{2}\iff {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$: Đúng. b) Vì $\cos 2x\in [-1;1]$ nên $f(x)\in [0;1]$: Đúng. c) Trong $[0;\pi ]$, các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$, tổng bằng $\pi \ne \frac{3\pi }{2}$: Sai. d) Hàm số là tổ hợp các hàm lượng xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$: Đúng. Kết quả khớp với đáp án chính thức ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos 2x\in [-1;1]$ nên $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\in [0;1]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $[0;\pi ]$ là $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{3\pi }{4}$, tổng bằng $\pi$, không phải $\frac{3\pi }{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm lượng thức $\cos 2x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác nằm trên đường thẳng y = 0,5 (đường ngang qua 0,5), tức hoành độ điểm biểu diễn nghiệm thỏa sin x = 1/2. Xét các phương trình: A) 2sin2x = 1 ⇔ sin2x = 1/2, khi đó trên đường tròn lượng giác nghiệm theo góc 2x, mỗi vòng chu kỳ π cho 2 điểm nhưng lặp lại, tổng thể vẫn là 2 điểm cố định... tuy nhiên điểm biểu diễn của sin2x = 1/2 cũng là 2 điểm cố định trên đường tròn (các góc π/6 + kπ và 5π/6 + kπ đều cho cùng 2 điểm). Cần phân biệt: hình vẽ chỉ rõ đường y = 0,5 cắt đường tròn tại M, N, tương ứng phương trình sin x = 1/2 ⇔ 2sin x = 1. Với 2cos x = 1 thì hai điểm nằm trên đường x = 0,5 (đường thẳng đứng), không khớp hình vẽ có đường ngang 0,5. Vậy phương trình đúng là 2sin x = 1, khớp đáp án C trong bảng đáp án đề 102 (Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta kiểm tra từng mệnh đề: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, nên mệnh đề A (viết $x=\pi +k2\pi$) là sai. $\sin x=0\iff x=k\pi$ đúng (B đúng). $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ đúng (C đúng). $\cos x=1\iff x=k2\pi$ đúng (D đúng). Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho hai điểm $M$, $N$ nằm trên đường tròn lượng giác, có cùng hoành độ đối xứng qua trục tung và cùng tung độ bằng $0,5$ (đường ngang nét đứt tại mức $0,5$). Vậy tập nghiệm tương ứng với phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$, tức $2\sin x=1$. Xét các phương án: $2\sin 2x=1\iff \sin 2x=\frac{1}{2}$ cho tập nghiệm gồm 4 điểm trên đường tròn trong một vòng; tương tự $2\cos 2x=1$ cũng cho 4 điểm; $2\cos x=1\iff \cos x=\frac{1}{2}$ cho 2 điểm nhưng nằm đối xứng qua trục hoành (tung độ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$), không khớp hình vẽ có tung độ $0,5$. Chỉ $2\sin x=1$ cho đúng 2 điểm $M$, $N$ như hình. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): $\cos \left(x+30^0\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x+30^0\right)=\cos 135^0$
$\iff \left[\begin{array}{c}x+30^0=120^0+k360^0\\ x+30^0=-120^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$
$\iff \left[\begin{array}{c}x=105^0+k360^0\\ x=-165^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$ ( Thiếu $(k\in Z)$ tha)
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): $\cos \left(x+30^0\right)=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x+30^0\right)=\cos 135^0$
$\iff \left[\begin{array}{c}x+30^0=120^0+k360^0\\ x+30^0=-120^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$
$\iff \left[\begin{array}{c}x=105^0+k360^0\\ x=-165^0+k360^0\end{array}\right](k\in Z)$ ( Thiếu $(k\in Z)$ tha)
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

Chọn B. Theo bảng đáp án mã đề 111 (trang 12), Câu 6 = B. Lời giải nguồn (trang 27, trình bày dưới số Câu 7 với thứ tự phương án khác): Chọn C (tương ứng x = -π/6 + kπ). $\cot x+\sqrt{3}=0\iff \cot x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét khoảng $(0;2\pi )$: với $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$, chọn $k=0$ được $x=\frac{\pi }{3}\in (0;2\pi )$; với $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$, chọn $k=1$ được $x=\frac{5\pi }{3}\in (0;2\pi )$. Các giá trị $k$ khác cho nghiệm ngoài khoảng. Vậy có đúng 2 nghiệm thuộc $(0;2\pi )$, khớp với đáp án nguồn (đáp án Phần III Câu 2 là 2).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$, phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$: $x=\frac{\pi }{2}\in \left[-\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$; với $k=1$: $x=\frac{5\pi }{2}$ (thuộc đoạn, lấy cả hai đầu); với $k=-1$: $x=-\frac{3\pi }{2}<-\pi$ (loại). Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị $y=\sin x$ tại đúng 2 điểm tương ứng $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{5\pi }{2}$. Vậy có 2 giá trị $x$, đáp án A (khớp với đáp án của đề).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=1$ ta có $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên khoảng $(-\pi ;\pi )$, phương trình có hai nghiệm: $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, cả hai đều thuộc $(-\pi ;\pi )$. Vậy số nghiệm là 2, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao lớn nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{36}\right)=1$, tức $\frac{\pi t}{36}=2k\pi \Rightarrow t=72k$, $k\in \mathbb{Z}$. Vì $t>0$, thời điểm đầu tiên là $t=72$ giây (khi đó $H=15+22=37$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x-\cos x=0\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0$.

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Trong đoạn $[0;2\pi ]$ có $x=\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{3\pi }{2}$.

Trường hợp 2: $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Trong đoạn $[0;2\pi ]$ có $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=2\pi +\pi =3\pi$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=-\sqrt{3}$. Ta biết $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$. Vì hàm $\tan$ có chu kỳ $\pi$, tập nghiệm là $\left\{-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$ đúng; các đáp án A, B sai giá trị góc, C sai chu kỳ ($2\pi$ thay vì $\pi$). Khớp với đáp án nguồn D.

Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff \left[\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{7\pi }{24}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{24}+k\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2\pi ;3\pi ]$, phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ và $-2\pi \le k\pi \le 3\pi$, tức $-2\le k\le 3$. Các giá trị của $k$ là $-2,-1,0,1,2,3$, cho 6 nghiệm: $x=-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi$. Đây chính là các giao điểm của đồ thị $y=\sin x$ với trục hoành trong đoạn $[-2\pi ;3\pi ]$ (thể hiện rõ trên hình vẽ ở trang 1 và trang 8). Vậy có 6 giá trị của $x$, đáp án D (khớp với đáp án nguồn, trang 5 và trang 8).