Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: cos x + 1 ≠ 0 ⟺ cos x ≠ -1 ⟺ x ≠ π + k2π, k∈ℤ → a đúng. sin 3x = 0 ⟺ 3x = kπ ⟺ x = kπ/3, k∈ℤ → b đúng. Trên [2π; 4π]: x = kπ/3 với k = 6,7,...,12 (7 giá trị), nhưng k = 9 cho x = 3π vi phạm điều kiện (cos 3π = -1), nên còn 6 nghiệm → c sai. Tổng các nghiệm: (2π + 7π/3 + ... + 4π) - 3π = 7·(2π+4π)/2 - 3π = 21π - 3π = 18π ≠ 21π → d sai. Kết quả DDSS khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 14).
a) (AI giải đề cho tôi)
cos x + 1 ≠ 0 ⟺ cos x ≠ -1 ⟺ x ≠ π + k2π, k∈ℤ.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin 3x = 0 ⟺ 3x = kπ ⟺ x = kπ/3, k∈ℤ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [2π;4π], x = kπ/3 với k = 6,...,12 (7 giá trị) nhưng x = 3π (k=9) bị loại do cos 3π = -1, nên chỉ có 6 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm = 7·(2π+4π)/2 - 3π = 21π - 3π = 18π ≠ 21π.

a) SAI. b) ĐÚNG. c) ĐÚNG. d) SAI.

Ta có độ sâu của mực nước là $7cm$ nên: $h=2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+5=7\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$
$\iff \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff \frac{\pi t}{12}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$
$\iff t=4+24k(k\in \mathbb{Z})$
Vì $1\le t\le 24\iff 1\le 4+24k\le 24\iff -\frac{1}{8}\le k\le \frac{5}{6},k\in \mathbb{Z}$
Nên k = 0 $\Rightarrow t=4$
Vậy vào lúc 4 giờ thì độ sâu của mực nước là 7cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x=0$.

Trường hợp 1: $\cos 3x=0\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$. Nghiệm cách đều nhau $\frac{\pi }{3}$, trong khoảng độ dài $100\pi$ nên số nghiệm là $\frac{100\pi }{\pi /3}=300$ (kiểm tra: $-50\pi <\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}<50\pi \Rightarrow -150,5<k<149,5$, tức $k\in \{-150,\dots ,149\}$, đúng 300 giá trị).

Trường hợp 2: $\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Nghiệm cách đều $\frac{\pi }{2}$, số nghiệm là $\frac{100\pi }{\pi /2}=200$ (kiểm tra: $-100,5<k<99,5$, tức $k\in \{-100,\dots ,99\}$, đúng 200 giá trị).

Hai họ nghiệm không trùng nhau (nếu trùng thì $\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$ suy ra $4k-6m=1$, vô nghiệm nguyên). Vậy tổng số nghiệm là $300+200=500$, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos 3x+\cos 2x=0\iff 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$. Trường hợp 1: $\cos \frac{5x}{2}=0\iff \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{(2k+1)\pi }{5}$. Với $-50\pi <x<50\pi$ ta cần $-250<2k+1<250$, tức $2k+1$ là số nguyên lẻ từ $-249$ đến $249$, cho $250$ giá trị. Trường hợp 2: $\cos \frac{x}{2}=0\iff x=(2m+1)\pi$, cho $50$ nghiệm trong khoảng, nhưng các nghiệm này đều đã nằm trong họ nghiệm của trường hợp 1 (vì khi $x=(2m+1)\pi$ thì $\frac{5x}{2}=\frac{5(2m+1)\pi }{2}$ có cos bằng 0). Vậy tổng số nghiệm là $250$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $h(t)=0$, tức $\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0\Rightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 9$: $0\le \frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}\le 9\Rightarrow -\frac{2}{3}\le k\le \frac{45-2\pi }{3\pi }\approx 13,66$, nên $k=0,1,\dots ,13$, tức 14 giá trị. Vậy vật đi qua vị trí cân bằng 14 lần, khớp với đáp án nguồn (14).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: vì 1/cos²α = tan²α+1 nên y = −(g/2v0²)(tan²α+1)x² + tanα·x + y0 = −(gx²/2v0²)tan²α + tanα·x + y0 − gx²/2v0².
b) Đúng: g/(2v0²) = 9,8/490 = 1/50. Thay x=25, y=0,5=y0: −(625/50)tan²α + 25tanα − 625/50 = 0 ⇔ −12,5tan²α + 25tanα − 12,5 = 0.
c) Sai: −12,5t²+25t−12,5=0 ⇔ t²−2t+1=0 ⇔ t=1 ⇔ tanα=1 ⇔ α=45°, không phải 60°.
d) Sai về góc: với x=20: −8tan²α+20tanα−8=0 ⇔ 2t²−5t+2=0 ⇔ t=2 hoặc t=1/2. Chọn t=2 thì α=arctan2≈63,43°≈63° (làm tròn đến độ), không phải 64°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì 1/cos²α = tan²α+1, khai triển được y = −(gx²/2v0²)tan²α + tanα·x + y0 − gx²/2v0².
b) (AI giải đề cho tôi)
g/(2v0²)=9,8/490=1/50; thay x=25, y=y0=0,5 được −12,5tan²α+25tanα−12,5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
t=1 ⇒ tanα=1 ⇒ α=45°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x=20: 2t²−5t+2=0 ⇒ t=2 (hoặc 1/2); tanα=2 đúng nhưng α=arctan2≈63,43°≈63°, không phải 64°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình ném xiên $y=-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+\tan \alpha \cdot x+y_0$ với $v_0=\sqrt{245}$, $g=9,8$, $y_0=0,5$, mục tiêu $(25;0,5)$, $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.

a) Vì $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$ nên $y=-\frac{g}{2v_0^2}({\tan }^2\alpha +1)x^2+\tan \alpha \cdot x+y_0=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x+y_0-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$. Biến đổi đúng → Đúng.

b) Tính $\frac{g}{2v_0^2}=\frac{9,8}{2\cdot 245}=\frac{9,8}{490}=0,02=\frac{1}{50}$. Thay $x=25$, $y=0,5=y_0$: $-\frac{625}{50}{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha +0,5-0,5-\frac{625}{50}=0$, tức $-\frac{x^2}{50}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x-\frac{x^2}{50}=0$ và $-12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$. → Đúng.

c) Đặt $t=\tan \alpha$: $-12,5t^2+25t-12,5=0\iff t^2-2t+1=0\iff t=1\iff \tan \alpha =1\iff \alpha =45^{\circ }$ (thoả $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$). → Đúng.

d) Với $x=20$, $y=0,5$: $-\frac{400}{50}{\tan }^2\alpha +20\tan \alpha -8=0\iff -8t^2+20t-8=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $\tan \alpha =2$ thì $\alpha =\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 64^{\circ }$ (thoả điều kiện góc). → Đúng.

Tất cả bốn ý a, b, c, d đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dùng đồng nhất thức $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$, khai triển $-\frac{g}{2v_0^2}({\tan }^2\alpha +1)x^2=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\alpha -\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$, đúng như phát biểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{g}{2v_0^2}=\frac{9,8}{490}=\frac{1}{50}$; thay $x=25$, $y=y_0=0,5$ vào phương trình ở ý a được $-\frac{x^2}{50}{\tan }^2\alpha +\tan \alpha \cdot x-\frac{x^2}{50}=0$, với $x=25$: $-12,5{\tan }^2\alpha +25\tan \alpha -12,5=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-12,5t^2+25t-12,5=0\iff t^2-2t+1=0\iff t=1\iff \tan \alpha =1\iff \alpha =45^{\circ }$, thoả $30^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=20$: $-8{\tan }^2\alpha +20\tan \alpha -8=0\iff 2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $\tan \alpha =2$, $\alpha \approx 63,43^{\circ }\approx 64^{\circ }$ (làm tròn đến độ), thoả điều kiện góc bắn.

a) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn).
b) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn).
c) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn). Lưu ý mâu thuẫn trong nguồn: $\tan \alpha =1$ tương ứng $\alpha =45^{\circ }$, nhưng bản in nguồn ghi "góc 60 độ" — lỗi in từ nguồn, giữ nguyên theo đề.
d) Nguồn không cung cấp đáp án cho ý này. Đáp án: unknown (không có bằng chứng đáp án chính thức trong tài liệu nguồn).

Vị trí cân bằng là vị trí đứng yên, khi đó $S=0$, ta có
$3\cos \left[\frac{\pi }{3}(t-4)\right]=0\iff \frac{\pi }{3}(t-4)=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
$\iff t-4=\frac{3}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}\iff t=\frac{11}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}$
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 9 giây, tức là $0\le t\le 9$ hay
$0\le \frac{11}{2}+3k\le 9\iff -\frac{11}{6}\le k\le \frac{7}{6}$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-1;0;1\}$.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 9 giây, người chơi đó đi qua vị trí cân bằng 3 lần.

Ta có $-a+b\le h(t)=a\sin \left(\frac{2\pi }{17}t-\frac{\pi }{2}\right)+b\le a+b,\forall t$.
Theo bài ra: $\{\begin{array}{l}a+b=114,5\\ -a+b=0,5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=57\\ b=57,5\end{array}$
Suy ra $h(t)=57\sin \left(\frac{2\pi }{17}t-\frac{\pi }{2}\right)+57,5$
Do đó $h(t)=57\sin \left(\frac{2\pi }{17}t-\frac{\pi }{2}\right)+57,5=86$
$$\iff \sin \left(\frac{2\pi }{17}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}\frac{2\pi }{17}t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{2\pi }{17}t-\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{17}{3}+17k\\ t=\frac{34}{3}+17k\end{array}(k\in \mathbb{Z}).$$
Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin $M$ đạt được chiều cao 86 m tại thời điểm $t=\frac{17}{3}$ phút hoặc $t=\frac{34}{3}$ phút.

Vị trí cân bằng là vị trí đứng yên, khi đó $S=0$, ta có
$$3\cos \left[\frac{\pi }{3}(t-1)\right]=0\iff \frac{\pi }{3}(t-1)=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$
$$\iff t-1=\frac{3}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}\iff t=\frac{5}{2}+3k,k\in \mathbb{Z}$$
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là $0\le t\le 6$ hay
$$0\le \frac{5}{2}+3k\le 6\iff -\frac{5}{6}\le k\le \frac{7}{6}$$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{0;1\}$.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, người chơi đó đi qua vị trí cân bằng 2 lần.

Ta có $-a+b\le h(t)=a\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+b\le a+b,\forall t$.
Theo bài ra: $\{\begin{array}{l}a+b=114,5\\ -a+b=0,5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=57\\ b=57,5\end{array}$
Suy ra $h(t)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+57,5$
Do đó $h(t)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+57,5=86$
$$\iff \sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=5+15k\\ t=10+15k\end{array}\right](k\in \mathbb{Z}).$$
Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin $M$ đạt được chiều cao 86 m tại thời điểm $t=5$ phút hoặc $t=10$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

1) $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$. Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262.

2) $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k$. Với $k=0$: $t=-11$ (loại); $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn). Vậy ngày thứ 353 thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

3) $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k$. Với $k=0$: $t=171$ (thỏa mãn); $k=1$: $t=535$ (loại). Vậy ngày thứ 171 thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: $3-\sqrt{3}\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$ thỏa mãn với các nghiệm này).
a) Sai: nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$, không phải $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ (thay $x=\frac{\pi }{6}$ vào: $2x-\frac{\pi }{3}=0$, $\tan 0=0\ne \sqrt{3}$).
b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.
c) Sai: trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$, xét các giá trị: $k=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$; $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$; $k=1\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}>\frac{2\pi }{3}$ (loại); $k=-2\Rightarrow x=-\frac{2\pi }{3}<-\frac{\pi }{4}$ (loại). Vậy chỉ có 2 nghiệm, không phải 3 nghiệm.
d) Đúng: tổng hai nghiệm $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; thay $x=\frac{\pi }{6}$ vào được $\tan 0=0\ne \sqrt{3}$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}\ne -\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$ chỉ có 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sqrt{3}\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)-1=0$ ta có $\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với điều kiện $x\in [-2\pi ;3\pi ]$: $k=-1$ cho $x=-\frac{11\pi }{6}$; $k=0$ cho $x=\frac{\pi }{6}$; $k=1$ cho $x=\frac{13\pi }{6}$. Tổng các nghiệm: $-\frac{11\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+\frac{13\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ (tối giản), nên $(a+b{)}^3=(1+2{)}^3=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

1) $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$, $k\in \mathbb{Z}$.
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$.
Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 của năm.

2) $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k$.
Với $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn); $k=0$ cho $t=-11$ (loại).
Vậy ngày thứ 353 của năm thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

3) $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k$.
Với $k=0$: $t=171$ (thỏa mãn); $k=1$ cho $t=535>365$ (loại).
Vậy ngày thứ 171 của năm thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác:

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$
$\iff 4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$
$\iff x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$)
$\iff x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$
$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ (với $3x+1\ne k\pi$)
$\iff 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0$
• $\sin 3x=-1\iff 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$
• Trường hợp 1: $7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff 5x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$.
• Trường hợp 2: $7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-2x+2k\pi \iff 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$ hoặc $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra nhanh: (1) $\sin \left(4\cdot \left(-\frac{\pi }{24}\right)\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ đúng; (3) với $x=k\pi$, $\tan \left(k\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ đúng; (6) với $x=\frac{\pi }{6}$: $\sin \frac{7\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

1) $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$. Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 của năm.

2) $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k$. Với $0<t\le 365$: $k=1\Rightarrow t=353$. Vậy ngày thứ 353 thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

3) $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=171$. Vậy ngày thứ 171 thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

1) Giải phương trình $\cos 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $\cos 3x=\cos \frac{5\pi }{6}$ nên $3x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Suy ra $x=\pm \frac{5\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) Tính $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+6}-3}{9-x^2}$.
Nhân liên hợp: $\sqrt{x+6}-3=\frac{x-3}{\sqrt{x+6}+3}$ và $9-x^2=-(x-3)(x+3)$.
$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+6}-3}{9-x^2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{(\sqrt{x+6}+3)\cdot (-(x-3)(x+3))}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1}{(\sqrt{x+6}+3)(x+3)}=\frac{-1}{6\cdot 6}=-\frac{1}{36}.$$

3) Hàm số liên tục tại $x_0=-1$ khi và chỉ khi $f(-1)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)$.
$f(-1)=-m(-1)+3=m+3$; $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }(2x^2-3x+15)=2+3+15=20$.
Vậy $m+3=20\Rightarrow m=17$.

4) Tiền lương các năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=175$ triệu, công bội $q=1,14$.
Tổng 4 năm: $S_4=u_1\cdot \frac{q^4-1}{q-1}=175\cdot \frac{1,14^4-1}{0,14}$.
Tính: $1,14^2=1,2996$; $1,14^4=1,68896016$; nên $S_4=175\cdot \frac{0,68896016}{0,14}\approx 861,2$ triệu đồng.
Kết quả làm tròn: $\boxed{861}$ triệu đồng.