Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.
Ta có $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
- Trường hợp 1: $2x=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+2k\pi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$. Trên đường tròn lượng giác, họ nghiệm này cho 2 vị trí phân biệt (tương ứng $x=-\frac{\pi }{12}$ và $x=\frac{11\pi }{12}$ khi lấy $k=0,1$ trong $[0,2\pi )$).
- Trường hợp 2: $2x=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Họ này cũng cho 2 vị trí phân biệt ($x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{5\pi }{4}$).
Vậy tổng cộng có $2+2=4$ vị trí biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Chất điểm qua gốc O khi $2\cos (\pi t)+1=0\iff \cos (\pi t)=-\frac{1}{2}\iff \pi t=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $\pi t=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\frac{2}{3}+2k$ hoặc $t=\frac{4}{3}+2k$.

Với $0\le t\le 10$:
- Họ thứ nhất $t=\frac{2}{3}+2k$: $k=0,1,2,3,4$ cho $t=\frac{2}{3},\frac{8}{3},\frac{14}{3},\frac{20}{3},\frac{26}{3}\approx 8,67$ (5 giá trị; $k=5$ cho $t=\frac{32}{3}>10$).
- Họ thứ hai $t=\frac{4}{3}+2k$: $k=0,1,2,3,4$ cho $t=\frac{4}{3},\frac{10}{3},\frac{16}{3},\frac{22}{3},\frac{28}{3}\approx 9,33$ (5 giá trị).

Vậy tổng cộng $5+5=10$ lần.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}-2\sin 2x=0\iff \sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Với $x\in [-\pi ;0]$ thì $2x\in [-2\pi ;0]$. Các nghiệm: $2x=-\frac{7\pi }{4}$ hoặc $2x=-\frac{5\pi }{4}$, tức $x=-\frac{7\pi }{8}$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{8}$. Tổng hai nghiệm: $-\frac{7\pi }{8}-\frac{5\pi }{8}=-\frac{12\pi }{8}=-\frac{3\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos 2x\ne 0$ (để $\tan 2x$ và mẫu xác định). Nhân hai vế với $\cos 2x$:
$$\sqrt{2}\sin 2x=2\sin x+\sqrt{2}\cos x-1.$$
Với $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\sqrt{2}\sin x\cos x-2\sin x-\sqrt{2}\cos x+1=0$$
$$\iff 2\sin x(\sqrt{2}\cos x-1)-(\sqrt{2}\cos x-1)=0$$
$$\iff (2\sin x-1)(\sqrt{2}\cos x-1)=0.$$

**TH1:** $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne 0$ (thỏa mãn điều kiện).

**TH2:** $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$. Khi đó $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{2}=0$ (loại).

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính R=10(m), tâm bánh xe cao 1+10=11(m). Xuất phát từ vị trí thấp nhất, quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ 0,5 vòng/phút nên ω=0,5·2π=π (rad/phút). Độ cao: h(t)=11-10cos(πt). h(t)=6 ⟺ cos(πt)=0,5 ⟺ πt=±π/3+2kπ ⟺ t=1/3+2k hoặc t=5/3+2k (phút), k∈ℕ. Các lần đạt độ cao 6(m) theo thứ tự: t=1/3 (lần 1), 5/3 (lần 2), 13/3 (lần 3), 17/3 (lần 4), 25/3 (lần 5), 29/3 (lần 6). Vậy lần thứ 6 ứng với t=5/3+2·4=29/3≈9,67 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: phương trình ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha +2=0$ phân tích thành $(\sin \alpha -1{)}^2(\sin \alpha +2)=0$ nên chỉ cho $\sin \alpha =1$, tức $\alpha =90^{\circ }$, ngoài khoảng $(0^{\circ };90^{\circ })$. Do đó đề in thiếu thừa số ${\cos }^2\alpha$; dạng chuẩn (phù hợp đáp số 4) là ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha {\cos }^2\alpha +2\sin \alpha =0$.

Giải: $\sin \alpha ({\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2)=0$. Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha \ne 0$, do đó ${\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2=0$. Dùng ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$: $1-{\cos }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2=0\Rightarrow 3-4{\cos }^2\alpha =0\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{3}{4}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, tức $\alpha =30^{\circ }$.

Khi đó $P=\sqrt{3}\tan 30^{\circ }+\sqrt{3}\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1+3=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Ta có $\cos \left(\frac{2025\pi }{2}-x\right)=\cos \left(1012\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Phương trình trở thành $\cos 2x+2\cos x-2\sin x=0$. Vì $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$, ta có $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+2(\cos x-\sin x)=0$$ $$\iff (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x+2)=0.$$ Với mọi $x$, $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ge -\sqrt{2}$, nên $\cos x+\sin x+2\ge 2-\sqrt{2}>0$, do đó $\cos x-\sin x=0\iff \cos x=\sin x\iff \tan x=1$ (khi đó $\cos x\ne 0$). Vậy $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 1b) Điều kiện $2a>c$ đảm bảo $2a-c>0$. Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho (hai vế đều không âm): $$(2a-c){\cos }^2\frac{B}{2}=(2a+c){\sin }^2\frac{B}{2}$$ $$\iff 2a\left({\cos }^2\frac{B}{2}-{\sin }^2\frac{B}{2}\right)=c\left({\cos }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}\right)\iff 2a\cos B=c\iff \cos B=\frac{c}{2a}.$$ Mặt khác, theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Suy ra $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{c}{2a}\iff a^2+c^2-b^2=c^2\iff b^2=a^2\iff b=a.$$ Vậy $AC=BC$, tức tam giác $ABC$ cân tại $C$. (Điều kiện $2a>c$ tương đương $\cos B>0$ với $b=a$, tức $B$ nhọn, thỏa mãn.)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=\sin 3x$: hoặc $3x=x+2k\pi \Rightarrow x=k\pi$, hoặc $3x=\pi -x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.
a) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$, nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{4}$, tổng bằng 0 → Đúng.
b) Tập nghiệm còn thiếu họ nghiệm $x=k\pi$ → Sai.
c) Trên $\left[-\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$: họ $x=k\pi$ cho $-\pi ,0,\pi ,2\pi$ có tổng $2\pi$; họ $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ cho $-\frac{3\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{9\pi }{4}$ có tổng $\frac{21\pi }{4}$. Tổng cộng $2\pi +\frac{21\pi }{4}=\frac{29\pi }{4}$ → Đúng.
d) $g(x)=\sin 3x$ có chu kì $\frac{2\pi }{3}$, không phải $2\pi$ → Sai. Khớp với đáp án mã đề 0005: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{\pi }{4}$ và nghiệm âm lớn nhất $-\frac{\pi }{4}$ có tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu họ nghiệm $x=k\pi$; tập nghiệm đầy đủ là $\{k\pi \}\cup \{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trong đoạn là $2\pi +\frac{21\pi }{4}=\frac{29\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sin 3x$ có chu kì $\frac{2\pi }{3}$ chứ không phải $2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=\pi +2k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$. Trên khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$: họ thứ nhất cho $x=\pi$ (các giá trị khác nằm ngoài khoảng); họ thứ hai cho $x=-\frac{\pi }{2}$ (giá trị $x=\frac{3\pi }{2}$ bị loại vì khoảng mở). Vậy tổng các nghiệm là $\pi +\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$, trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình f(x)=g(x): sin x = sin 3x ⟹ 3x = x + 2kπ hoặc 3x = π − x + 2kπ ⟹ x = kπ hoặc x = π/4 + kπ/2 (k∈ℤ).
a) Sai: cả hai hàm đều xác định trên ℝ, tập giá trị [−1;1], nhưng g(x)=sin 3x có chu kì 2π/3 (chu kì cơ bản), không phải 2π.
b) Đúng: nghiệm dương nhỏ nhất là π/4, nghiệm âm lớn nhất là −π/4, tổng bằng 0.
c) Sai: tập nghiệm còn gồm cả họ x = kπ, nên S = {kπ} ∪ {π/4 + kπ/2}.
d) Đúng: trên [−π; 5π/2], họ x = kπ cho các nghiệm −π, 0, π, 2π có tổng 2π; họ x = π/4 + kπ/2 cho 7 nghiệm −3π/4, −π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 9π/4 có tổng 7·π/4 + (π/2)(−2−1+0+1+2+3+4) = 7π/4 + 7π/2 = 21π/4. Tổng tất cả: 2π + 21π/4 = 29π/4. Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 2: S, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=sin 3x có chu kì cơ bản 2π/3, không phải 2π, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất π/4 và nghiệm âm lớn nhất −π/4 có tổng bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu họ nghiệm x = kπ; tập nghiệm đầy đủ là S = {kπ} ∪ {π/4 + kπ/2, k∈ℤ}.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong [−π; 5π/2]: −π, 0, π, 2π và −3π/4, −π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 9π/4; tổng bằng 2π + 21π/4 = 29π/4.

a) $\sin 2x+\sqrt{2}(\sin x-2\cos x)=2$

$\iff 2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x-2=0$

$\iff \sqrt{2}\sin x\left(\sqrt{2}\cos x+1\right)-2\left(\sqrt{2}\cos x+1\right)=0$ (0,5 điểm)

$\iff \left(\sqrt{2}\sin x-2\right)\left(\sqrt{2}\cos x+1\right)=0$ (0,5 điểm)

$\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\cos x+1=0\end{array}\right]\iff \cos x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff x=\mp \frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$. (0,5+0,5+0,5 điểm)

b) Từ giả thiết $\Rightarrow 7=5^{2a};11=3^{2b};5=3^c$ (0,5 điểm)

${\log }_{135}385=\frac{{\log }_3\mathrm{11.7.5}}{{\log }_{3}27.5}=\frac{{\log }_{3}11+{\log }_{3}7+{\log }_{3}5}{{\log }_{3}27+{\log }_{3}5}$ (0,5 điểm)

$=\frac{2b+2ac+c}{3+c}$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\sin 2x\ne 0$. Ta có $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$, nên vế trái $=5\cos x$. Phương trình trở thành $5\cos x=\cos 2x+3=2{\cos }^{2}x+2$, tức $2{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$. Chuyển thành $(2\cos x-1)(\cos x-2)=0$, nên $\cos x=\frac{1}{2}$ (loại $\cos x=2$). Trên $(0;4\pi )$: $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$, đều thỏa điều kiện. Tổng $=\frac{\pi }{3}(1+5+7+11)=8\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $m\cos x-m^2-8=2\cos x-6m$ tương đương $(m-2)\cos x=m^2-6m+8=(m-2)(m-4)$.
- Với $m=2$: phương trình trở thành $0=0$, nghiệm với mọi $x$, nên $m=2$ thỏa mãn.
- Với $m\ne 2$: $\cos x=m-4$. Điều kiện có nghiệm là $|m-4|\le 1\iff 3\le m\le 5$, cho các giá trị nguyên $m=3,4,5$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ là $2,3,4,5$ và tổng là $2+3+4+5=14$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sqrt{3}+2\sin x=0\Rightarrow \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Nghiệm $x=-\frac{4\pi }{3}+k2\pi \equiv \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên mệnh đề sai.
b) $\sin 3x=\sin x\Rightarrow 3x=x+k2\pi \Rightarrow x=k\pi$; hoặc $3x=\pi -x+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. Mệnh đề đúng.
c) $\tan (3x-15^{\circ })=\sqrt{3}\Rightarrow 3x-15^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=25^{\circ }+k60^{\circ }$. Mệnh đề chỉ cho $x=25^{\circ }+k360^{\circ }$ (thiếu nghiệm) nên sai.
d) $\cos 2x=1\Rightarrow 2x=k2\pi \Rightarrow x=k\pi$. Với $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ thì $\cos 2x=\cos (\pi +2k\pi )=-1\ne 1$ nên mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$; còn $x=-\frac{4\pi }{3}+k2\pi$ cho $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, không thỏa.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$3x=x+k2\pi \Rightarrow x=k\pi$ và $3x=\pi -x+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đầy đủ là $x=25^{\circ }+k60^{\circ }$, không phải chỉ $x=25^{\circ }+k360^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1\Rightarrow x=k\pi$; với $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ thì $\cos 2x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 94: $d=4000\cos \left[\frac{\pi }{45}(t-10)\right]$.

a) Tại $t=0$: $d=4000\cos \left(-\frac{10\pi }{45}\right)=4000\cos \frac{2\pi }{9}=4000\cos 40^{\circ }\approx 4000\cdot 0,766044\approx 3064,178$ km. Mệnh đề đúng.

b) Con tàu trên đường thẳng $\Delta$ khi $d=0$: $\cos \left[\frac{\pi }{45}(t-10)\right]=0\Rightarrow \frac{\pi }{45}(t-10)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=10+22,5=32,5$ phút, không phải 32 phút. Mệnh đề sai.

c) $d=2000$: $\cos \left[\frac{\pi }{45}(t-10)\right]=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{45}(t-10)=\frac{\pi }{3}$ (nghiệm đầu tiên) $\Rightarrow t=10+15=25$ phút. Mệnh đề đúng.

d) Với $t\in [0;50]$ thì $\frac{\pi }{45}(t-10)\in \left[-\frac{2\pi }{9};\frac{8\pi }{9}\right]$. Trong khoảng này, $\cos =\frac{1}{2}$ chỉ xảy ra tại góc $\frac{\pi }{3}$ (các góc $-\frac{\pi }{3}$ và $\frac{5\pi }{3}$ không thuộc khoảng), tức chỉ có 1 thời điểm ($t=25$ phút), không phải 2. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(0)=4000\cos (2\pi /9)\approx 3064,178$ km, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d=0$ khi $t=32,5$ phút, không phải 32 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{\pi }{45}(t-10)=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=25$ phút, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;50]$, góc thuộc $[-2\pi /9;8\pi /9]$, $\cos =1/2$ chỉ tại $\pi /3$, tức chỉ 1 thời điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Giải sin(3x+π/3) = -√3/2: 3x+π/3 = -π/3+2kπ hoặc 3x+π/3 = 4π/3+2kπ. Suy ra x = -2π/9 + k·2π/3 hoặc x = π/3 + k·2π/3 (k∈Z). a) Sai vì họ nghiệm đầu phải là x = -2π/9 + k·2π/3 chứ không phải -π/9. b) Đúng: các nghiệm âm là -2π/9 (k=0 họ 1) và -π/3 (k=-1 họ 2); vì -2π/9 > -π/3 nên nghiệm âm lớn nhất là -2π/9. c) Sai: trong (0; π/2) chỉ có 2 nghiệm là π/3 và 4π/9. d) Đúng: tổng = π/3 + 4π/9 = 7π/9.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là x = -2π/9 + k·2π/3 hoặc x = π/3 + k·2π/3; phát biểu ghi -π/9 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm âm: -2π/9 và -π/3; lớn nhất là -2π/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong (0; π/2) có 2 nghiệm: π/3 và 4π/9, không phải 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm π/3 + 4π/9 = 7π/9.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Vì $\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

a) $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos (-\pi /6)}{\sin (-\pi /6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên (*) không tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ → Sai.

b) Với $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ thì $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa mãn. Nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ → Sai.

c) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$: $k=0$ cho $x=-\frac{\pi }{9}$; $k=-1$ cho $x=-\frac{4\pi }{9}$; $k=-2$ cho $x=-\frac{7\pi }{9}<-\frac{\pi }{2}$ (loại); $k=1$ cho $x=\frac{2\pi }{9}>0$ (loại). Tổng: $-\frac{\pi }{9}+\left(-\frac{4\pi }{9}\right)=-\frac{5\pi }{9}$ → Đúng.

d) Nghiệm dương nhỏ nhất với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{9}$ → Đúng.
a) Ta có $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)}{\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó phương trình (*) không tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ → Sai.
b) Với $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ thì $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên đây không phải là nghiệm của phương trình (*). Nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ → Sai.
c) Nghiệm tổng quát $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$. Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có hai nghiệm $x=-\frac{\pi }{9}$ ($k=0$) và $x=-\frac{4\pi }{9}$ ($k=-1$). Tổng bằng $-\frac{\pi }{9}+\left(-\frac{4\pi }{9}\right)=-\frac{5\pi }{9}$ → Đúng.
d) Với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{9}$ là nghiệm dương nhỏ nhất → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne 0$. Đặt $t=\cos x$ với $t\in [-1;1],t\ne 0$.

Phương trình: $2\cos 2x-8\cos x+7=\frac{1}{\cos x}$.
Nhân hai vế với $\cos x$:
$$(2\cos 2x-8\cos x+7)\cos x=1.$$
Với $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:
$$(4t^2-8t+5)t=1\iff 4t^3-8t^2+5t-1=0.$$
Thử $t=\frac{1}{2}$: $4\cdot \frac{1}{8}-8\cdot \frac{1}{4}+\frac{5}{2}-1=\frac{1}{2}-2+\frac{5}{2}-1=0$, nên $t=\frac{1}{2}$ là nghiệm.
Phân tích: $4t^3-8t^2+5t-1=(2t-1{)}^2(t-1)=0$ (kiểm tra: $(4t^2-4t+1)(t-1)=4t^3-8t^2+5t-1$ ✓).

Suy ra $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=1$ (đều thỏa $t\in [-1;1],t\ne 0$).

- Với $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- Với $\cos x=1\iff x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{2k\pi ;\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0$. Áp dụng công thức tổng hai cosin $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ với $A=x-\frac{3\pi }{4}$, $B=x+\frac{\pi }{3}$.

Ta có:
$$\frac{A+B}{2}=\frac{\left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=x-\frac{5\pi }{24},$$
$$\frac{A-B}{2}=\frac{\left(x-\frac{3\pi }{4}\right)-\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=-\frac{13\pi }{24}.$$

Phương trình trở thành:
$$2\cos \left(x-\frac{5\pi }{24}\right)\cos \left(-\frac{13\pi }{24}\right)=0.$$

Vì $\cos \left(-\frac{13\pi }{24}\right)=\cos \frac{13\pi }{24}\ne 0$ (do $\frac{13\pi }{24}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$), nên:
$$\cos \left(x-\frac{5\pi }{24}\right)=0\iff x-\frac{5\pi }{24}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi }{2}+k\pi =\frac{17\pi }{24}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{17\pi }{24}$, ta có $x-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{24}$ và $x+\frac{\pi }{3}=\frac{25\pi }{24}$. Hai góc này lệch nhau đúng $\pi$, nên $\cos \left(-\frac{\pi }{24}\right)+\cos \left(\frac{25\pi }{24}\right)=\cos \frac{\pi }{24}-\cos \frac{\pi }{24}=0$. Thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}-2\sin (45^{\circ }-2x)=0\iff \sin (45^{\circ }-2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45^{\circ }$.

Trường hợp 1: $45^{\circ }-2x=45^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=-k180^{\circ },k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm âm lớn nhất của họ này là $x=-180^{\circ }$ (khi $k=1$).

Trường hợp 2: $45^{\circ }-2x=135^{\circ }+k360^{\circ }\iff -2x=90^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=-45^{\circ }-k180^{\circ },k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được $x=-45^{\circ }$, là nghiệm âm lớn nhất của họ này.

So sánh hai họ: $-45^{\circ }>-180^{\circ }$, vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-45^{\circ }$ (tức $-\frac{\pi }{4}$).

Kiểm tra: $\sin (45^{\circ }-2(-45^{\circ }))=\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, thỏa mãn.