Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

$\cos x=1\iff x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$. Chọn A.

a) Ta có $h(5)=20+15\sin \left(\frac{\pi }{10}.5-\frac{\pi }{2}\right)=20+15\sin 0=20$. Vậy sau 5 phút cabin ở độ cao $20m$.

b) $h(t)=27,5\iff 15\sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=7,5\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$

$$\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=\frac{20}{3}+20k\\ t=\frac{40}{3}+20k\end{array}\right](k\in \mathbb{Z}).$$

Với $0\le t\le 20$, ta chỉ nhận $k=0$, được $t=\frac{20}{3}\approx 6,67$ và $t=\frac{40}{3}\approx 13,33$.

Vậy cabin đạt độ cao $27,5m$ tại các thời điểm $t\approx 6,67$ phút và $t\approx 13,33$ phút.

$\cos x=\cos \alpha \iff x=\pm \alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$, nên $S=\{\alpha +k2\pi ;-\alpha +k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $-6\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=3\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=2+12k$ hoặc $t=6+12k$, $k\in \mathbb{Z}$. Trong khoảng $0\le t\le 10$ có $t=2$ và $t=6$, vậy vật đi qua li độ $3$ cm đúng 2 lần. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$. Trường hợp 1: $2x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$. Trường hợp 2: $2x=\pi -\left(x+\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \Rightarrow 3x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$. Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$, trùng với đáp án D (khớp với bảng đáp án mã đề 1001: câu 3 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan x=\sqrt{3}$ với $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$. Vì hàm $\tan$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Điều này khớp với đáp án C (đáp án trong bảng mã đề 1001 cho câu 4 là C).

Ta có $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$. Phương trình trở thành
$$\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2x\iff \left[\begin{array}{c}3x+\frac{\pi }{3}=2x+k2\pi \\ 3x+\frac{\pi }{3}=-2x+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{15}+\frac{k2\pi }{5}\end{array}\right](k\in \mathbb{Z}).$$
Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$, $x=-\frac{\pi }{15}+\frac{k2\pi }{5}$ $(k\in \mathbb{Z})$.

$\sin x=0\iff x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$. Vậy $S=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $4\cos x-4m-2=0$ tương đương $\cos x=m+\frac{1}{2}$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m+\frac{1}{2}\le 1$, tức $-\frac{3}{2}\le m\le \frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi) $\cot 10x=-1\Rightarrow 10x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{40}+k\frac{\pi }{10}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án B.

Phương trình tương đương: $\cot 3x=\cot \frac{\pi }{4}\iff 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$. Chọn đáp án B.

Số giờ ánh sáng lớn nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{180}(x+31)\right]=1$. $$\iff \frac{\pi }{180}(x+31)=\frac{\pi }{2}+k2\pi$$ $$\iff x+31=90+360k\iff x=59+360k,k\in \mathbb{Z}.$$ Vì $1\le x\le 365$, ta chọn $k=0$, suy ra $x=59$. Ngày đầu tiên trong năm thỏa mãn là ngày thứ 59. Kết quả: $59$.

Phương trình tương đương: $\sin 9x=\frac{3m-5}{7}$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le \frac{3m-5}{7}\le 1\iff -7\le 3m-5\le 7\iff -2\le 3m\le 12\iff -\frac{2}{3}\le m\le 4$. Chọn đáp án D.

Chọn B

Mực nước của kênh cao nhất khi $h$ lớn nhất
$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=k2\pi$ với $0<t\le 24$ và $k\in \mathbb{Z}$.
Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án $B$ thỏa mãn. Vì với $t=14$ thì $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2\pi$ (đúng với $k=1\in \mathbb{Z}$).

a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x)$ là $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy a) đúng.

b) Ta có: $f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos 2x+1}{\sin x-1}\right)\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-3m-1\right)=\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x-1}.(\cos x-3m)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$. Do đó hàm số $f(x)+\sin x.\cos x=3m\sin x-\cos x+3m$. Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ đều bằng $2\pi$ nên chu kì tuần hoàn của hàm số $f(x)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$ cũng bằng $2\pi$. Vậy b) sai.

c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0\Rightarrow \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy c) sai.

d) Ta có $f(x)=0\iff \left[\begin{array}{cc}\sin x=-1& (1)\\ \cos x=3m& (2)\end{array}\right]$. $(1)\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$. PT $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi PT (2) có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi $0<3m<1\iff 0<m<\frac{1}{3}$. Vậy d) đúng.
a) Điều kiện xác định của hàm số $f(x)$ là $\sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy a) đúng.
b) Ta có: $f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos 2x+1}{\sin x-1}\right)\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-3m-1\right)=\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x-1}.(\cos x-3m)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$
Do đó hàm số $f(x)+\sin x.\cos x=3m\sin x-\cos x+3m$
Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ đều bằng $2\pi$ nên chu kì tuần hoàn của hàm số $f(x)=(-1-\sin x)(\cos x-3m)$ cũng bằng $2\pi$. Vậy b) sai.
c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0\Rightarrow \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy c) sai.
d) Ta có $f(x)=0\iff \left[\begin{array}{cc}\sin x=-1& (1)\\ \cos x=3m& (2)\end{array}\right]$.
$(1)\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.
PT $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi PT (2) có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$ khi và chỉ khi $0<3m<1\iff 0<m<\frac{1}{3}$. Vậy d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\cos x-\sqrt{3}=0\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$. Do đó $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm tổng quát: $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thật vậy, hai góc có cùng sin khi chúng bằng nhau cộng bội của $2\pi$, hoặc đối nhau (tổng bằng $\pi$) cộng bội của $2\pi$. Điều này khớp với phương án A. Các phương án B, D dùng chu kỳ $k\pi$ (sai vì $\sin$ có chu kỳ $2\pi$), phương án C dùng $x=-\alpha +k2\pi$ (sai vì $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan (2x+10^{\circ })=\tan 60^{\circ }$ có điều kiện $\cos (2x+10^{\circ })\ne 0$. Khi đó $2x+10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $2x=50^{\circ }+k180^{\circ }$, tức $x=25^{\circ }+k90^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra điều kiện: với $x=25^{\circ }+k90^{\circ }$ thì $2x+10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$ không bao giờ bằng $90^{\circ }+k180^{\circ }$, nên $\cos (2x+10^{\circ })\ne 0$, mọi nghiệm đều thỏa mãn. Vậy $x=25^{\circ }+k90^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\sin 3x\iff [<table><tbody><tr><td>2x=3x+k2\pi </td></tr><tr><td>2x=\pi -3x+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (k∈ℤ). Trường hợp 1: $x=-k2\pi$, tức $x=k2\pi$ (k∈ℤ). Trường hợp 2: $5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$ (k∈ℤ). Vậy họ nghiệm là $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$ (k∈ℤ), khớp với phương án A. Kiểm tra: với $x=0$: $\sin 0=\sin 0=0$ ✓; với $x=\pi /5$: $\sin (2\pi /5)=\sin (3\pi /5)$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0$ với điều kiện $\cos 2x\ne 0$.

$$\sqrt{3}\tan 2x=3⟺\tan 2x=\sqrt{3}$$

Suy ra $$2x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Do đó $$x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$$

Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ thì $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, nên $\cos 2x=\cos \left(\frac{\pi }{3}+k\pi \right)=\pm \frac{1}{2}\ne 0$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.