Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2-\sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo ra khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)f^{\prime }(x)=1+(2x+1)e^{-f^2(x)+x^2+2x+2}$. Biết $f(0)=\sqrt{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quay quanh trục $Ox$.

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $y=h$ (với $h>0$) quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục tọa độ là $\text{mm}$. Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (xem hình vẽ). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20\text{ mm}$. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của ${\text{mm}}^3$, không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng, bỏ qua độ dày của vỏ).
[IMAGE:img_q21_candy]

Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $3\text{ dm}$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $y=\sqrt{x^2-2x+2}$ với $x$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ($x\in [0;3]$, $x$ tính theo đơn vị $\text{dm}$). Đổ vào bình một lượng nước để mức nước trong bình cao bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của bình. Hỏi lượng nước này chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
[IMAGE:img_q18_vase]

Giả sử $a,b$ là các số thực dương. Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=a\sqrt{x}$, $y=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$; $V_2$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=b{x}^2$, $y=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$. Biết $V_2=10V_1$, giá trị $\frac{a}{b}$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^2+3$, $y=0$, $x=0$, $x=5$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$ có $CD=2AB=2AD=6$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang $ABCD$ khi quay xung quanh đường thẳng $BC$.

Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ $2$ đầu chỏm (xem hình minh họa). Thiết diện qua trục của bình như hình vẽ. Biết $AB=CD=16\text{ cm}$, $EF=30\text{ cm}$, $h=12\text{ cm}$, $h^{\prime }=30\text{ cm}$ và giá mỗi lít rượu là $100000$ đồng. Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng? (giả sử độ dày vỏ bình rượu không đáng kể; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng).
[IMAGE:img_q18_jar]

Cho hình trụ có chiều cao $8a$. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $2a$ thì thiết diện thu được là một hình chữ nhật có diện tích bằng $48a^2$. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a;b]$ như hình 3.
[IMAGE_1]

Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;x=b$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sin x$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x=0,x=\pi$ quay xung quanh $Ox$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=4-x^2$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=-1$ và $x=4$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 4$) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $x$ và $2x+1$.

Cần bao nhiêu thuỷ tinh để làm một chiếc cốc hình trụ có chiều cao bằng $12\text{ cm}$, đường kính đáy bằng $9,6\text{ cm}$ (tính từ mép ngoài cốc), đáy cốc dày $1,8\text{ cm}$, thành xung quanh cốc dày $0,24\text{ cm}$ (tính gần đúng đến hai chữ số thập phân)?

Cho hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng

Một cái ly làm bằng thủy tinh, có hình dạng là khối nón cụt và các kích thước như hình vẽ. Phần rỗng bên trong có thiết diện qua trục là Parabol. Thể tích khối thủy tinh bằng bao nhiêu?

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, có cạnh $AB=a$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Thể tích của khối nón tạo thành khi quay hình tam giác $ABC$ xung quanh trục $AH$ là

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2-x$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ không âm thỏa mãn điều kiện $f(x)\cdot f^{\prime }(x)=2x\sqrt{f^2(x)+1}$ và $f(0)=0$. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=0,x=3$ quanh trục $Ox$ bằng:

Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình vẽ. Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh $2\text{ m}$ và hai xương dây $a,b$ nằm trên các đường parabol đỉnh $S$. Biết chiều cao của lều là $SO=1,35\text{ m},O$ là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị ${\text{m}}^3$.
[IMAGE_1]