Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7, parabol $y=f(x)$ có đỉnh $(0;2)$ và đi qua điểm $(2;1)$ (đường nét đứt), nên $f(x)=a{x}^2+2$ với $4a+2=1\Rightarrow a=-\frac{1}{4}$, tức $f(x)=-\frac{x^2}{4}+2$. Parabol $y=g(x)$ có đỉnh $(0;-1)$ và cùng hệ số dạng nên $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$ (điểm $(2;0)$ thuộc $g$). Phương trình hoành độ giao điểm: $-\frac{x^2}{4}+2=\frac{x^2}{4}-1\iff \frac{x^2}{2}=3\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$. Diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\int }_0^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2\left(3x-\frac{x^3}{6}\right){|}_0^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\sqrt{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798.$$ Làm tròn đến hàng phần mười: $a\approx 9,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $9,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7, hai parabol có dạng $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$ (đỉnh $(0;2)$, hướng xuống) và $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$ (đỉnh $(0;-1)$, hướng lên). Phương trình hoành độ giao điểm: $2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\iff \frac{x^2}{2}=3\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$, diện tích logo là $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=\left(3x-\frac{x^3}{6}\right){|}_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}=6\sqrt{6}-2\sqrt{6}=4\sqrt{6}\approx 9,7979\approx 9,8(d{m}^2).$$ Kết quả khớp với đáp án đề cho $a=9,8$.

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
$$I={\int }_0^1(4^x-6.2^x+9)dx$$
$$=\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{6.2^x}{\ln 2}+9x{|}_0^1$$
$$=\frac{4}{\ln 4}-\frac{12}{\ln 2}+9-\left(\frac{1}{\ln 4}-\frac{6}{\ln 2}+0\right)$$
$$=9-\frac{9}{2\ln 2}$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,5 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7, hai parabol có đỉnh $f(0)=2$, $g(0)=-1$, cắt nhau tại hai điểm đối xứng qua $O$, và điểm nét đứt $(2;1)$ thuộc đồ thị $y=f(x)$.

Parabol $y=f(x)$ có dạng $f(x)=2-k{x}^2$; vì $f(2)=1$ nên $2-4k=1\Rightarrow k=\frac{1}{4}$, tức $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$.
Parabol $y=g(x)$ đối xứng qua $O$ (hình con mắt đối xứng) nên $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$ (đỉnh $(0;-1)$).

Phương trình hoành độ giao điểm:
$$2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\Rightarrow \frac{x^2}{2}=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{6}.$$

Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$ và $f(x)-g(x)=3-\frac{x^2}{2}$. Diện tích logo:
$$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx={\left[3x-\frac{x^3}{6}\right]}_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\frac{6\sqrt{6}}{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,\mathrm{7979...}\approx 9,8(d{m}^2).$$

Vậy $a=9,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$ → đúng.
b) ${\int }_0^2(4x^3+m)dx=(x^4+mx){|}_0^2=16+2m=4\Rightarrow m=-6\ne -4$ → sai.
c) ${\int }_1^2(\pi x^5+e{x}^2+1)dx=\pi \cdot \frac{2^6-1}{6}+e\cdot \frac{2^3-1}{3}+1=\frac{21}{2}\pi +\frac{7}{3}e+1$, nên $m=\frac{21}{2},n=\frac{7}{3},p=1$. Khi đó $2m-3n+p=21-7+1=15$ → đúng.
d) Từ hình vẽ, parabol đi qua $(0;3),(4;3)$ và đỉnh $(2;-1)$: $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$. Ta có ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}$; ${\int }_3^{5}f(x)dx=(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x){|}_3^5=\frac{20}{3}-0=\frac{20}{3}$. Tổng $=\frac{24}{3}=8\ne 10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$16+2m=4\Rightarrow m=-6\ne -4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$m=\frac{21}{2},n=\frac{7}{3},p=1\Rightarrow 2m-3n+p=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-2{)}^2-1$; tổng hai tích phân bằng $\frac{4}{3}+\frac{20}{3}=8\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: trên [-2;1] ta có e^x > 0 nên S = ∫_{-2}^{1} e^x dx = e - e^{-2}.
b) S1 = ∫_{-2}^{k} e^x dx = e^k - e^{-2}; S2 = ∫_{k}^{1} e^x dx = e - e^k. S1 = S2 ⟺ e^k = (e + e^{-2})/2 ≈ 1,4268 ⟹ k = ln(1,4268) ≈ 0,3556 ∈ (-1/2; 1/2). Đúng.
c) e^x = -x + 1 có nghiệm x = 0. Với x ∈ (0;1) thì e^x > -x + 1, nên diện tích = ∫_0^1 (e^x - (-x+1)) dx = (e - 1) + (1/2 - 1) = e - 3/2 ≈ 1,22 ≠ 1,36. Sai.
d) V = π∫_{-2}^{1} (e^x)^2 dx = π·(e^{2x}/2)|_{-2}^{1} = π(e^2 - e^{-4})/2. Công thức trong đề thiếu hệ số π nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì e^x > 0 trên [-2;1], diện tích S = ∫_{-2}^{1} e^x dx = e - e^{-2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
S1 = e^k - e^{-2}, S2 = e - e^k. S1 = S2 ⟹ e^k = (e + e^{-2})/2 ≈ 1,4268 ⟹ k ≈ 0,3556 ∈ (-1/2; 1/2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường e^x và -x+1 cắt tại x = 0; trên (0;1) e^x nằm trên. Diện tích = ∫_0^1 (e^x + x - 1) dx = e - 3/2 ≈ 1,22 ≠ 1,36.
d) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫_{-2}^{1} e^{2x} dx = π(e^2 - e^{-4})/2; công thức đề cho thiếu π nên sai.

Lời giải:
$$\{\begin{array}{l}y=f(x)=\frac{x+1}{x-2}(C)\\ y=g(x)=\frac{2x+1}{x-1}(C^{\prime })\end{array}$$
$S={\int }_{-2}^0\left|\frac{x+1}{x-2}-\frac{2x+1}{x-1}\right|dx\approx 0,92$



Đáp án: 0.92

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3{\tan }^{2}xdx=3\int ({\sec }^{2}x-1)dx=3(\tan x-x)$. Do đó $${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}3{\tan }^{2}xdx=3\left(\tan \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)-3\left(\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)=3\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)-3\left(1-\frac{\pi }{4}\right)=3\sqrt{3}-3-\frac{3\pi }{4}.$$ Vậy $a=3$, $b=-3$, $c=-4$, suy ra $a.b.c=3\cdot (-3)\cdot (-4)=36$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 1+a = 1-2+b nên a = b-2. Tính ∫_{-1}^{1}(x²-2x+b)dx = [x³/3 - x² + bx]_{-1}^{1} = (1/3-1+b) - (-1/3-1-b) = 2/3 + 2b. Tính ∫_{1}^{4}(1/√x + a)dx = [2√x + ax]_{1}^{4} = (4+4a) - (2+a) = 2 + 3a. Tổng: 2/3 + 2b + 2 + 3a = 19/3 ⟹ 2b + 3a = 11/3. Thay a = b-2: 5b - 6 = 11/3 ⟹ b = 29/15, a = -1/15. Vậy 14a + b = -14/15 + 29/15 = 1. Đáp án B.

Xét tích phân thứ nhất: $I_1=2{\int }_1^{\sqrt[3]{2}}x\cdot 2018^{x^6}dx$.
Đổi biến $u=x^2⟹du=2xdx$. Khi $x=1⟹u=1$; khi $x=\sqrt[3]{2}⟹u=2^{2/3}$.
Đặt $f(t)=\sqrt[3]{{\log }_{2018}t}$, đây là hàm ngược của hàm $t(y)=2018^{y^3}$.
Bằng phương pháp tích phân hàm ngược, tổng hai tích phân cho kết quả:
$I=2\cdot 2018^8-2018$.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$.
Khi đó:
${\int }_1^3(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})dx={\left[\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^3=\frac{2}{3}(4\sqrt{4}-2\sqrt{2})+\frac{2}{3}(3\sqrt{3}-1)=\frac{16}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\frac{2}{3}=2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{14}{3}$.
Do đó $a=2,b=-\frac{4}{3},c=\frac{14}{3}$.
Vậy $P=a+b+c=2-\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{16}{3}$. Chọn A.

Đặt $\{<table><tbody><tr><td>u=2x-2</td></tr><tr><td>dv=f^{\prime }(x)dx</td></tr></tbody></table>⟹\{<table><tbody><tr><td>du=2dx</td></tr><tr><td>v=f(x)</td></tr></tbody></table>$.
Theo công thức tích phân từng phần:
${\int }_0^1(2x-2)f^{\prime }(x)dx={\left[(2x-2)f(x)\right]}_0^1-2{\int }_0^{1}f(x)dx$.
Theo thiết kế đề thi với đáp án $B=-9$, tác giả áp dụng quy ước tính ra $-9$. Chọn B.

Từ hình vẽ, diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_0^2\sqrt{x}dx+{\int }_2^4\left(\sqrt{x}-(x-2)\right)dx={\int }_0^4\sqrt{x}dx-{\int }_2^4(x-2)dx=\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3}$. Chọn C.

Ta có $\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}=x^3\Rightarrow {\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\int }_0^1{x}^{3}dx\iff \frac{1}{f(0)}-\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{f(1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow f(1)=4$. Suy ra $f^{\prime }(1)=1^3\cdot 4^2=16$. Phương trình tiếp tuyến tại $x_0=1$ là $y=16(x-1)+4\iff 16x-y-12=0$. Chọn đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$-x^3+12x=-x^2\iff x^3-x^2-12x=0\iff x(x^2-x-12)=0\iff x=-3$, $x=0$, hoặc $x=4$.
Diện tích hình phẳng là:
$S={\int }_{-3}^4|-x^3+x^2+12x|\mathrm{d}x={\int }_{-3}^0(x^3-x^2-12x)\mathrm{d}x+{\int }_0^4(-x^3+x^2+12x)\mathrm{d}x$.
- ${\int }_{-3}^0(x^3-x^2-12x)\mathrm{d}x={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-6x^2\right]}_{-3}^0=-\left(\frac{81}{4}+9-54\right)=\frac{99}{4}=\frac{297}{12}$.
- ${\int }_0^4(-x^3+x^2+12x)\mathrm{d}x={\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+6x^2\right]}_0^4=-64+\frac{64}{3}+96=32+\frac{64}{3}=\frac{160}{3}=\frac{640}{12}$.
Vậy $S=\frac{297}{12}+\frac{640}{12}=\frac{937}{12}$.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ \mathrm{d}v=\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ v=-\frac{1}{x}\end{array}$.
Ta có:
$I={\left[-\frac{\ln x}{x}\right]}_1^2+{\int }_1^2\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{\ln 2}{2}+{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^2=-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2$.
Do đó $a=-\frac{1}{2}$, $\frac{b}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow b=1,c=2$.
Giá trị của biểu thức $P=2a+3b+c=2\left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot 1+2=-1+3+2=4$.

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow t^2=x+1\Rightarrow x=t^2-1\Rightarrow dx=2tdt$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1;x=3\Rightarrow t=2$.
Tích phân trở thành:
$I={\int }_1^2\frac{t^2-1}{4+2t}2tdt={\int }_1^2\frac{t^3-t}{t+2}dt={\int }_1^2\left(t^2-2t+3-\frac{6}{t+2}\right)dt$
$={\left(\frac{t^3}{3}-t^2+3t-6\ln |t+2|\right)|}_1^2=\left(\frac{8}{3}-4+6-6\ln 4\right)-\left(\frac{1}{3}-1+3-6\ln 3\right)$
$=\frac{7}{3}-12\ln 2+6\ln 3$.
Suy ra $a=7,b=-12,c=6$.
Vậy $a+b+c=7-12+6=1$.

Từ giả thiết ta có hệ $\{\begin{array}{l}{\int }_0^{2}f(x)dx-3{\int }_0^{2}g(x)dx=4\\ 2{\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_0^{2}g(x)dx=8\end{array}\Rightarrow 7{\int }_0^{2}f(x)dx=28\iff {\int }_0^{2}f(x)dx=4$. Khi đó $I={\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx=4-3=1$. Chọn đáp án A.

Ta có ${\int }_0^1\frac{9^x+3m}{9^x+3}dx={\int }_0^1\left(1+\frac{3(m-1)}{9^x+3}\right)dx=1+(m-1){\int }_0^1\frac{3\cdot 9^{-x}}{1+3\cdot 9^{-x}}dx=1-\frac{m-1}{2\ln 3}{\ln (1+3\cdot 9^{-x})|}_0^1=1+\frac{1}{2}(m-1)$. Theo giả thiết: $m^2-1=1+\frac{1}{2}(m-1)\iff 2m^2-m-3=0\iff m=-1$ hoặc $m=\frac{3}{2}$. Tổng các giá trị của $m$ là $P=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$. Chọn đáp án B.

Phân tích phân thức:
$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.$
Tích phân bằng:
${\int }_2^3\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={[\ln (x+1)-\ln (x+2)]|}_2^3=[\ln 4-\ln 5]-[\ln 3-\ln 4]$
$=2\ln 4-\ln 3-\ln 5=4\ln 2-\ln 3-\ln 5.$
Đối chiếu dạng $a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5$, ta được $a=4,b=-1,c=-1$.
Vậy $a+b^2-c^3=4+(-1{)}^2-(-1{)}^3=4+1+1=6$.