Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Ta có $f(x)+2=0⟺f(x)=-2$.
Vì $-3<-2<2$ nên đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có $3$ nghiệm thực.

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 3 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với đường
thẳng y = 3 .
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm.

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x+1=0$.
Xét $f(x)=x^3+3x+1$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình $f(x)=0$ có duy nhất $1$ nghiệm, tức đồ thị cắt trục hoành tại đúng $1$ điểm.

Phương trình tương đương:
$4f^2(x)-9=0⟺f(x)=\frac{3}{2}\text{hay}f(x)=-\frac{3}{2}.$
Dựa vào bảng biến thiên:
- Đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt (do $1<\frac{3}{2}<5$).
- Đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt (nhánh từ $-\infty$ lên 5 và từ 5 xuống $-\infty$).
Các nghiệm này hoàn toàn phân biệt, do đó phương trình có tất cả $4+2=6$ nghiệm phân biệt.

Phương trình $2f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{2}=-1,5$.
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $-3<-1,5<1$. Do đó đường thẳng nằm ngang $y=-1,5$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:
$x^4-2x^2=0\iff x^2(x^2-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}$.
Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt, do đó đồ thị có 3 giao điểm với trục hoành.

Chọn đáp án D.

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2-6x+1=0$.
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2-6x+1$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-6=0\iff x=1\pm \sqrt{3}$.
Hai giá trị cực trị là $y_{CĐ}=f(1-\sqrt{3})>0$ và $y_{CT}=f(1+\sqrt{3})<0$.
Vì $y_{CĐ}\cdot y_{CT}<0$, đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+8x+4\Rightarrow y^{\prime }(-3)=7$. Phương trình tiếp tuyến tại $A(-3;-2)$ là $y=7(x+3)-2=7x+19$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+4x^2+4x+1=7x+19\iff (x+3{)}^2(x-2)=0\Rightarrow x_B=2\Rightarrow B(2;33)$.

Chọn D.
Phương trình $2f(x)=5\iff f(x)=\frac{5}{2}=2,5$.
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y=2,5$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy cực tiểu tại $y=2$ và cực đại tại $y=4$.
Vì $2<2,5<4$, đường thẳng $y=2,5$ cắt các nhánh của đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $f^2(x)-f(x)=0⟺f(x)[f(x)-1]=0⟺[\begin{array}{rl}f(x)& =0\\ f(x)& =1\end{array}$.
Quan sát đồ thị:
- Đường thẳng $y=0$ (trục hoành) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt $x=-1$ (tiếp xúc) và $x=2$ (cắt ngang).
- Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm có hoành độ $x>2$.
Các nghiệm này phân biệt nhau. Vậy phương trình có tất cả $2+1=3$ nghiệm thực phân biệt.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+3x=3x⟺x^3-3x^2=0⟺x^2(x-3)=0⟺x=0$ hoặc $x=3$. Vậy có 2 giao điểm.

Phương trình $3f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{3}\approx 1,67$. Trên đoạn $[0;4]$, hàm số có giá trị tại $x=0$ là $f(0)=2$, giảm xuống điểm cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}\in (0;2)$ và $y_{CT}<\frac{5}{3}$, rồi tăng lên $f(4)=6$. Đường thẳng $y=\frac{5}{3}$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc $[0;4]$ (một điểm trong khoảng $(0;2)$ và một điểm trong khoảng $(2;4)$). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực trên $[0;4]$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn A.

Chọn B
1
Ta có 2 f ( x ) = 1 $\iff$ f ( x ) = .
2
1
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
2
1
thẳng y = .
2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 2 f ( x ) = 1 có 1 nghiệm.

Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại $3$ điểm phân biệt (vì $y_{CT}<\frac{3}{2}<y_{CĐ}$). Do đó phương trình có đúng $3$ nghiệm thực phân biệt.

Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt nên phương trình $f(x)=2$ có $4$ nghiệm thực phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=1$ (tại $x=\pm 1$) và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=2$ (tại $x=0$). Đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ nằm giữa giá trị cực tiểu và cực đại ($1<\frac{3}{2}<2$). Do đó, đường thẳng $y=\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại đúng 4 điểm phân biệt, phương trình có 4 nghiệm. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.

Chọn C.
[IMAGE:fig_q13_sol]

Ta có $2f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{2}=-1,5$.
Đường thẳng $y=-1,5$ nằm giữa $-2$ và $2$ nên cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực.

Phương trình tương đương $f(x)=\frac{3}{2}=1,5$. Quan sát đồ thị hàm số bậc ba, điểm cực đại là $(-1;2)$ và điểm cực tiểu là $(1;-2)$. Đường thẳng nằm ngang $y=1,5$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt vì $-2<1,5<2$. Do đó phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=m$. Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại là $y_{CĐ}=4$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-2$. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt, đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt, tức là $-2<m<4$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn D.

Ta có $4f(x)+3=0\iff f(x)=-\frac{3}{4}$. Vì $-2<-\frac{3}{4}<1$ nên đường thẳng $y=-\frac{3}{4}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt, tức phương trình có $4$ nghiệm thực.