Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị ta thấy $f(t)=0$ có $4$ nghiệm phân biệt: $t_1<-1$, $t_2\in (-1;0)$, $t_3\in (0;1)$ và $t_4>1$. Khi đó: phương trình $f(x)=t_1<-1$ có $2$ nghiệm; $f(x)=t_2\in (-1;0)$ có $4$ nghiệm; $f(x)=t_3\in (0;1)$ có $4$ nghiệm; $f(x)=t_4>1$ vô nghiệm. Vậy phương trình $f(f(x))=0$ có $2+4+4=10$ nghiệm thực phân biệt.

Từ đồ thị $y=f(x)$ ta thấy $f(t)=0$ có $3$ nghiệm $t_1\in (-2;-1)$, $t_2\in (-1;0)$ và $t_3\in (1;2)$. Vì $t=|f(x)-1|\ge 0$ nên chỉ nhận $t=t_3\in (1;2)$. Khi đó $|f(x)-1|=t_3\iff f(x)=1+t_3\in (2;3)$ ($1$ nghiệm) hoặc $f(x)=1-t_3\in (-1;0)$ ($3$ nghiệm). Vậy phương trình có tất cả $4$ nghiệm thực phân biệt.

Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=9-m$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff 9-m>0\iff m<9$. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2\in \mathbb{R}$. Ta có $z_1\overline{z_1}=z_2\overline{z_2}\iff z_1^2=z_2^2\iff z_1=-z_2$ (do $z_1\ne z_2$). Suy ra $z_1+z_2=0\iff 6=0$ (vô lý, loại).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff 9-m<0\iff m>9$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1=\overline{z_2}$. Khi đó $z_1\overline{z_1}=|z_1{|}^2=|z_2{|}^2=z_2\overline{z_2}$ luôn đúng với mọi $m>9$.
Vì $m\in (0;20)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{10;11;12;\dots ;19\}$, gồm $19-10+1=10$ giá trị nguyên. Chọn đáp án D.

Phương trình $|f(x^4-2x^2)|=2\iff f(x^4-2x^2)=2$ hoặc $f(x^4-2x^2)=-2$.
Dựa vào đồ thị của hàm số bậc ba $y=f(x)$:
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại một điểm có hoành độ $a<-1$ và tiếp xúc tại một điểm cực tiểu $b\in (-1;0)$.
- Đường thẳng $y=2$ tiếp xúc đồ thị tại một điểm cực đại $c\in (0;1)$ và cắt tại một điểm $d\in (2;3)$.
Xét hàm số $g(x)=x^4-2x^2$: có đạo hàm $g^{\prime }(x)=4x^3-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Bảng biến thiên của $g(x)$ có giá trị cực tiểu là $-1$ tại $x=\pm 1$ và giá trị cực đại là $0$ tại $x=0$.
- Phương trình $x^4-2x^2=a<-1$: vô nghiệm vì $g(x)\ge -1$.
- Phương trình $x^4-2x^2=b\in (-1;0)$: có 4 nghiệm phân biệt.
- Phương trình $x^4-2x^2=c\in (0;1)$: có 2 nghiệm phân biệt.
- Phương trình $x^4-2x^2=d>2$: có 2 nghiệm phân biệt.


Tổng số nghiệm thực phân biệt là $0+4+2+2=8$ nghiệm. Chọn đáp án B.

Với $x\in (0;\pi )$, đặt $t=\sin x\Rightarrow t\in (0;1]$. Dựa vào đồ thị, khi $t\in (0;1]$, giá trị của hàm số $f(t)$ biến thiên trong đoạn $[-1;1]$. Để phương trình có nghiệm thì $-1\le 3m+1\le 1\iff -2\le 3m\le 0\iff -\frac{2}{3}\le m\le 0$. Vì $m$ nguyên nên $m=0$. Tổng các phần tử của $S$ là $0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-2x+m=\frac{x+1}{x-2}\iff (-2x+m)(x-2)=x+1$ (với $x\ne 2$) $\iff -2x^2+(m+4)x-2m=x+1\iff 2x^2-(m+3)x+2m+1=0$. Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác 2: $\Delta =(m+3{)}^2-4(2)(2m+1)=m^2+6m+9-16m-8=m^2-10m+1>0$ và $2(2{)}^2-(m+3)(2)+2m+1=8-2m-6+2m+1=3\ne 0$ (luôn đúng). Điều kiện $\Delta >0\iff m<5-2\sqrt{6}$ hoặc $m>5+2\sqrt{6}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn A.

[IMAGE_1]

Xét phương trình $f^{\prime }(f(x)+2)=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)+2=3\\ f(x)+2=1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=1\\ f(x)=-1\end{array}\right]$.
Quan sát đồ thị, phương trình $f(x)=1$ có $3$ nghiệm thực phân biệt và phương trình $f(x)=-1$ có $1$ nghiệm thực, không trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm thực phân biệt.

**Chọn C**

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành: $x^4-(3m+4)x^2+m^2=0$ (1).
Đặt $t=x^2$ ($t\ge 0$), phương trình (1) trở thành: $t^2-(3m+4)t+m^2=0$ (2).
Đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt:
$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(3m+4{)}^2-4m^2>0\\ 3m+4>0\\ m^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5m^2+24m+16>0\\ m>-\frac{4}{3}\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-4\text{ hoặc }m>-\frac{4}{5}\\ m>-\frac{4}{3}\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>-\frac{4}{5}\\ m\ne 0\end{array}$.
Vậy $m\in \left(-\frac{4}{5};0\right)\cup (0;+\infty )$.

**Chọn B**

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=2$, ta có:
$f(f(x)-1)=2\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)-1=-2</td></tr><tr><td>f(x)-1=1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=-1(a)</td></tr><tr><td>f(x)=2(b)</td></tr></tbody></table>$.
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với các đường thẳng:
- Đường thẳng $y=-1$: cắt đồ thị tại đúng $1$ điểm có hoành độ $x_1<-2$.
- Đường thẳng $y=2$: cắt đồ thị tại đúng $2$ điểm có hoành độ $x_2=-2$ và $x_3=1$.
Các nghiệm này đôi một khác nhau.
Vậy phương trình đã cho có tất cả $3$ nghiệm thực.

Phương trình có 2 nghiệm phức không thực khi ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2+2)=-2m-1<0\iff m>-\frac{1}{2}$. Nghiệm phức là $z=(m-1)\pm i\sqrt{2m+1}$. Diện tích tam giác $OMN$ là $S=|m-1|\sqrt{2m+1}\le \sqrt{5}\iff (m-1{)}^2(2m+1)\le 5$. Do tam giác không suy biến nên $m\ne 1$. Các số nguyên $m>-\frac{1}{2}$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=2$. Vậy có 2 giá trị nguyên. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn D.

Dựa vào đồ thị, hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại các điểm $x_1,x_2$. Phương trình $f^{\prime }(u)=0\iff u=x_1$ hoặc $u=x_2$. Thay $u=f(x)-1\iff f(x)=x_1+1$ hoặc $f(x)=x_2+1$. Tổng số giao điểm với các đường nằm ngang cho ra đúng 9 nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(u)=0$ có 4 nghiệm phân biệt $u_1<-1$, $-1<u_2<0$, $0<u_3<1$, $u_4>2$.
Do đó phương trình $f(f(x)-1)=0\iff f(x)-1=u_i\iff f(x)=u_i+1$.
Lập bảng biến thiên và tương giao đường thẳng $y=u_i+1$:


Tổng số nghiệm của phương trình là $11$ nghiệm phân biệt. Chọn đáp án D.

**Chọn C**

Đặt $t=1-x$. Với $x\in (0;+\infty )$ thì $t<1$.
Phương trình trở thành $f(t)=1$ với $t<1$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ $t<1$.
Mỗi giá trị $t<1$ cho tương ứng một nghiệm $x=1-t>0$. Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc $(0;+\infty )$.

Phương trình $|2f(x)-3|=1\iff 2f(x)-3=1$ hoặc $2f(x)-3=-1\iff f(x)=2$ hoặc $f(x)=1$. Dựa vào đồ thị: đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Tổng số nghiệm là $2+3=5$ nghiệm phân biệt. Chọn B.

Xét hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Hai điểm cực trị là $x=1$ ($y_{CD}=4+m$) và $x=3$ ($y_{CT}=m$). Để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì $y_{CD}>0>y_{CT}\iff -4<m<0$. Khi đó đồ thị hàm số có $f(0)=m<0,f(1)=4+m>0,f(3)=m<0,f(4)=4+m>0$. Do đó phương trình có các nghiệm nằm trong các khoảng: $x_1\in (0;1),x_2\in (1;3),x_3\in (3;4)$. Vậy $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$. Chọn C.

Ta có $f[f(x)+1]+2=0\iff f[f(x)+1]=-2\iff \left[\begin{array}{c}f(x)+1=3\\ f(x)+1=a(a<-1)\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=2\\ f(x)=a-1<-2\end{array}\right]$.
Phương trình $f(x)=2$ có $3$ nghiệm phân biệt; phương trình $f(x)=a-1<-2$ có $1$ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $f(x)+3m=0\iff f(x)=-3m$. Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng $y=-3m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, tức là $y_{CT}<-3m<y_{CD}\iff -2<-3m<2\iff -\frac{2}{3}<m<\frac{2}{3}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=0$ (1 giá trị nguyên). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn B.

Phương trình $2f(3x-1)+1=0\iff f(3x-1)=-\frac{1}{2}$. Đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 3 điểm phân biệt vì giá trị cực tiểu nhỏ hơn $-\frac{1}{2}$ và giá trị cực đại lớn hơn $-\frac{1}{2}$. Do đó có 3 giá trị $3x-1$, tương ứng với 3 nghiệm thực phân biệt của phương trình. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.

Từ đồ thị hàm số ta thấy hai điểm cực đại có tung độ bằng $1$ và điểm cực tiểu có tung độ bằng $0$.

Phương trình $f(x)=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
- $m=1$ (tiếp xúc tại hai điểm cực đại, có đúng 2 nghiệm).
- $m<0$ (cắt 2 nhánh ngoài đi xuống âm vô cùng).

Vì $m$ là số nguyên dương nên chỉ có đúng 1 giá trị là $m=1$.

Đặt $u=3{\log }_{3}x$ với $x\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)\Rightarrow u\in [-1;3)$.
Do hàm số $u=3{\log }_{3}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên mỗi giá trị $u\in [-1;3)$ tương ứng với duy nhất một nghiệm $x\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}};3\right)$.
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $f(u)=m-1$ có nghiệm duy nhất trên $[-1;3)$.
Từ đồ thị hàm số suy ra: $\left[\begin{array}{c}m-1=1\\ 4<m-1<5\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}m=2\\ 5<m<6\end{array}\right]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=2$. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số $m$.