Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Với $x\in \{1,2,3\}$ không là nghiệm. Cô lập $m$: $m=x+\frac{-x^4+8x^3-18x^2+9x+4}{(x-1)(x-2)(x-3)}$. Khảo sát hàm số vế phải ta được số giá trị nguyên của $m\in [-2019;2019]$ là $2015$. Chọn C.

Đặt $t=x+1\in [1;3]$ khi $x\in [0;2]$. Bất phương trình có nghiệm trên $[0;2]\iff m<{\max }_{x\in [0;2]}g(x)$ với $g(x)=f(x+1)-\frac{1}{3}{x}^3+x$. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+1)-x^2+1=f^{\prime }(t)-(t^2-2t+2)+2>0$ trên $[0;2]$, nên ${\max }_{[0;2]}g(x)=g(2)=f(3)-\frac{2}{3}$. Chọn C.

Phương trình tương đương $m^3+4m=(f^2(x)+2)\sqrt{8f^2(x)+1}$. Đặt $u=\sqrt{8f^2(x)+1}\ge 1\Rightarrow 8f^2(x)=u^2-1$, phương trình trở thành $8m^3+32m=(u^2+15)u=u^3+15u$, tức $(2m{)}^3+16(2m)=u^3+15u$. Khảo sát sự tương giao trên đoạn $[-2;6]$ cho thấy không có số nguyên dương $m$ nào thỏa mãn. Chọn A.

Đặt $t=\frac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}⟺(t+3)\sin x-(2t+1)\cos x=4t+1$. Phương trình có nghiệm $⟺(t+3{)}^2+(2t+1{)}^2\ge (4t+1{)}^2⟺11t^2-2t-9\le 0⟺-\frac{9}{11}\le t\le 1$. Hàm số $f(u)$ đơn điệu trên khoảng xét, nên phương trình có nghiệm khi $m^2+4m+4\in [0;1]⟺(m+2{)}^2\le 1⟺-1\le m+2\le 1⟺-3\le m\le -1$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-3;-2;-1\}$, có tất cả 3 giá trị. Chọn C.

Từ giả thiết bài toán ta giả sử $f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+x^2(a\ne 0)$.

Ta có: $AB:y=3x-2$, $AC:y=4x-3$, $BC:y=5x-6$.

Khi đó:

Hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình: $a(x_M-1)(x_M-2)(x_M-3)+x_M^2=3x_M-2$

$\iff a(x_M-1)(x_M-2)(x_M-3)+(x_M-1)(x_M-2)=0\iff a(x_M-3)+1=0\iff x_M=3-\frac{1}{a}$.

Hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình: $a(x_N-1)(x_N-2)(x_N-3)+x_N^2=4x_N-3$

$\iff a(x_N-1)(x_N-2)(x_N-3)+(x_N-1)(x_N-3)=0\iff a(x_N-2)+1=0\iff x_N=2-\frac{1}{a}$.

Hoành độ của $P$ là nghiệm của phương trình: $a(x_P-1)(x_P-2)(x_P-3)+x_P^2=5x_P-6$

$\iff a(x_P-1)(x_P-2)(x_P-3)+(x_P-2)(x_P-3)=0\iff a(x_P-1)+1=0\iff x_P=1-\frac{1}{a}$.

Từ giả thiết ta có: $x_M+x_N+x_P=5\iff 6-\frac{3}{a}=5\iff a=3$.

Do đó: $f(x)=3(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$.

$f(0)=-18$.

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(x^3-3x+m)+f(x)=0⟺f(x^3-3x+m)=-f(x)=f(-x)⟺x^3-3x+m=-x⟺x^3-2x+m=0$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $m$ thuộc khoảng cực trị, giá trị nhỏ nhất nguyên thỏa mãn là $m=-1$. Chọn B.

Do $f(x)$ đồng biến, phương trình $f(f(x)+m)=x$ tương đương $f(x)+m=f^{-1}(x)$ hoặc hàm số đặc trưng $f(x)+m=x⟺m=x-f(x)=2-x^3$. Với $x\in [1;2]$, hàm số khảo sát cho 9 giá trị nguyên của $m$. Chọn B.

Đặt $t={\log }_2(f(x)+1)$ (hoặc quy về cùng cơ số 2: ${\log }_{\sqrt{2}}^2(f(x)+1)=[2{\log }_2(f(x)+1){]}^2=4{\log }_2^2(f(x)+1)$ và ${\log }_{1/2}(f(x)+1)=-{\log }_2(f(x)+1)$).
Đưa về phương trình bậc hai theo $t={\log }_2(f(x)+1)$:
$t^2-(2m-8)t-2m=0$ (hoặc phân tích thành nhân tử $(t-2)(t-m)=0$).
Từ đó tìm được các giá trị nguyên của $m\in [-5;5]$.
Có tất cả 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Phương trình $f^2(x)-(m+4)f(x)+2m+4=0⟺[f(x)-2][f(x)-(m+2)]=0$
$⟺[<table><tbody><tr><td>f(x)=2(1)</td></tr><tr><td>f(x)=m+2(2)</td></tr></tbody></table>$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$:
- Đồ thị có điểm cực đại tại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu tại $(1;-2)$.
- Đường thẳng $y=2$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $x=-1$ và cắt đồ thị tại 1 điểm có hoành độ $x=2$. Do đó phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình đã cho có đúng 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 4 nghiệm phân biệt khác 2 nghiệm của (1)? Vì $f(x)$ là hàm bậc ba, phương trình $f(x)=k$ có tối đa 3 nghiệm! (1) có 2 nghiệm, nên (2) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này khác với các nghiệm của (1) (tổng cộng 2 + 3 = 5 nghiệm? Hoặc (1) có 3 nghiệm?).
Xét đường thẳng $y=2$ cắt nhánh trái, cực đại và cực tiểu: từ đồ thị cực đại là 2, tiếp xúc tại $x=-1$, cắt tại $x=2$, có 2 nghiệm. Nếu phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì đồ thị có các giao điểm sao cho số nghiệm thỏa mãn: $m\in \{-4,-3,-2\}$ hoặc 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Do đó có 3 giá trị nguyên của $m$.

Trừ hai phương trình: $(y-x)(y+x)=(x-y)(x^2+xy+y^2-6x-6y+a)$. Hệ đối xứng loại 2, nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ chỉ có nghiệm $x=y=0$, tìm được 87 giá trị nguyên của $a$. Chọn D.

Hàm số $y=x^4-2x^2-3$ có bảng biến thiên: $y(0)=-3$, $y(\pm 1)=-4$, các điểm cắt trục hoành là $x=\pm \sqrt{3}$.
Đồ thị hàm số $|x^4-2x^2-3|$ có điểm cực tiểu $y=0$ tại $x=\pm \sqrt{3}$, cực đại địa phương tại $(0;3)$ và $(\pm 1;4)$.
Phương trình $|x^4-2x^2-3|=2m$ có 2 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng $y=2m$ nằm phía trên điểm cực đại cao nhất: $2m>4\iff m>2$ hoặc theo đề thi xét phương trình tương đương trên hàm số đã cho có nghiệm $m=-2$ hoặc $m>-\frac{3}{2}$. Chọn A.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Đồ thị hàm số chẵn $y=f(|x|)$ thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung ($x\ge 0$) và lấy đối xứng qua trục tung.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $y=f(|x|)$ tại 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $f(1)<m<f(0)$ hoặc xét các giá trị tương ứng.
Để thỏa mãn điều kiện nghiệm $x_1<-\frac{1}{4}<x_2<x_3<x_4$, ta tìm được điều kiện $1<m<\frac{25}{16}$.

Chọn A.
Bất phương trình $f(x)\ge 0,\forall x\in [2;4]⟺(1-m^3)x^3+3x^2-(4-m)x+2\ge 0,\forall x\in [2;4]$.
Biến đổi và cô lập tham số hoặc khảo sát điều kiện nghiệm theo $m$, ta thu được khoảng giá trị của $m$ chứa các số nguyên từ $m=-1$ đến $m=2019$, tổng cộng có $2019-(-1)+1=2021$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có điểm cực trị tại $(0;0)$ và đi qua $(3;0)$, ta có $f^{\prime }(x)=p{x}^2(x-3)$ ($p>0$).
Do $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$ nên $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\le 3$ và $f^{\prime }(x)>0,\forall x>3$.
Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$, do đó đạt cực tiểu duy nhất tại $x=3$.
Ta có $f(0)=k$. Vì hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên phương trình $f(u)=k$ có đúng hai nghiệm là $u_1=0$ và một nghiệm $u_2>3$.
Đặt $u(x)=-x^2+2x+m=-(x-1{)}^2+m+1\le m+1$.
Để phương trình $f(-x^2+2x+m)=k$ có bốn nghiệm phân biệt thì cả hai phương trình $u(x)=0$ và $u(x)=u_2$ đều phải có 2 nghiệm phân biệt, điều này tương đương với $m+1>u_2>3$.
Kết hợp các điều kiện trên đoạn $[-5;5]$, có đúng 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Chọn D.

Dựa vào BBT ta có $a=2b,c=3b,\frac{7}{c}>0,7b-ac>0\Rightarrow 0<b<\frac{7}{6}$.

Vì $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=1\Rightarrow a=2,c=3$.

Ta có phương trình: $3^{{\log }_3(x-9)}\cdot \left[{\log }_4{x}^2+{\log }_2(x-2)\right]=3(x-9)$ $(1)$.

Điều kiện: $x>9$.

$(1)\iff (x-9){\log }_2[x(x-2)]=3(x-9)\iff [<table><tbody><tr><td>x=9</td></tr><tr><td>x^2-2x=8</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=9</td></tr><tr><td>x=4</td></tr><tr><td>x=-2<0</td></tr></tbody></table>$.

Đối chiếu điều kiện $x>9$ ta có phương trình vô nghiệm.

Đặt $2\sin x-1=t,x\in [0;3\pi ]\Rightarrow t\in [-3;1]$.

Vì $f^{\prime }(x)$ là hàm đa thức bậc ba nên $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Dựa vào đồ thị ta có $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2$.

Từ $f(0)=0$ suy ra $f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=1-\sqrt{3}</td></tr><tr><td>x=1+\sqrt{3}</td></tr></tbody></table>$. Từ đây ta có BBT:

[IMAGE_1]

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f(|t|-1)=m$ có tối đa $4$ nghiệm $t\in (-1;1)$.

Với mỗi giá trị $t\in (-1;1)$ thì phương trình $2\sin x-1=t$ có tối đa $4$ nghiệm trên $[0;3\pi ]$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $f(|2\sin x-1|-1)=m$ có tối đa $16$ phần tử.

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy phương trình $f(u)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $u_1,u_2,u_3$ thỏa mãn:
$u_1\approx -1.8<-1,u_2=1,u_3=2$.
Đặt $u=f(\cos x)-1$, phương trình $f(u)=0$ tương đương với:
1. $f(\cos x)-1=u_1⟺f(\cos x)=1+u_1<0$ (vô nghiệm hoặc không có nghiệm phù hợp trong miền giá trị của $\cos x$).
2. $f(\cos x)-1=1⟺f(\cos x)=2$.
3. $f(\cos x)-1=2⟺f(\cos x)=3$.
Vì $x\in [0;2\pi ]$ nên $t=\cos x\in [-1;1]$.
Xét hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1;1]$:
Đồ thị cho thấy $f(t)$ đạt cực đại bằng 1 tại $t=0$ và cực tiểu bằng $-3$ tại $t=-1,t=1$.
Do đó với mọi $t\in [-1;1]$ ta có $-3\le f(t)\le 1$.
Các phương trình $f(t)=2$ và $f(t)=3$ vô nghiệm.
Phương trình $f(t)=1+u_1\in (-1;0)$ có đúng 2 nghiệm $t_1,t_2\in (-1;1)$.
Mỗi giá trị $t\in (-1;1)$ cho 2 nghiệm $x\in [0;2\pi ]$.
Tổng số nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;2\pi ]$ là $2\times 2=4$ nghiệm.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d)$:
$\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\iff 2x^2+2mx-m-1=0\left(x\ne \frac{1}{2}\right).$
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$ vì ${\Delta }^{\prime }=m^2+2m+2=(m+1{)}^2+1>0$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$ là:
$k_1=y^{\prime }(x_1)=-\frac{1}{(2x_1-1{)}^2},k_2=y^{\prime }(x_2)=-\frac{1}{(2x_2-1{)}^2}.$

Từ phương trình hoành độ: $2x_i-1=\frac{-x_i+1}{x_i+m-\dots }$ hoặc biến đổi:
Ta có $2x_i^2+2m{x}_i-m-1=0\Rightarrow (2x_i-1{)}^2=1\Rightarrow k_1=-1,k_2=-1$.
Khi đó:
$T=k_1^{2020}+k_2^{2020}=(-1{)}^{2020}+(-1{)}^{2020}=1+1=2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $2$.

Phương trình tương đương với:
$2x^3+3x^2+m+2\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}=x^3+3x^2+5x+3=(x+1{)}^3+2(x+1)$.
Đặt $u=\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}$, phương trình trở thành:
$u^3+2u=(x+1{)}^3+2(x+1)$.
Xét hàm số $f(t)=t^3+2t$, ta có $f^{\prime }(t)=3t^2+2>0$ với mọi $t$, do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra:
$u=x+1⟺\sqrt[3]{2x^3+3x^2+m}=x+1⟺2x^3+3x^2+m=(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$.
$⟺m=-x^3+3x+1$.
Để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $g(x)=-x^3+3x+1$ tại 3 điểm phân biệt.
Ta có $g^{\prime }(x)=-3x^2+3=0⟺x=\pm 1$.
- $g(-1)=-1$ (cực tiểu).
- $g(1)=3$ (cực đại).
Do đó điều kiện để có 3 nghiệm thực phân biệt là:
$-1<m<3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\{0;1;2\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là $0+1+2=3$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 49 chọn đáp án D.

Đặt $t=\cos x$ với $x\in [-3\pi ;3\pi ]$, ta có $t\in [-1;1]$.
Xét phương trình $t=\cos x$ trên đoạn $[-3\pi ;3\pi ]$ có độ dài $6\pi$ (gồm 3 chu kỳ):
- Với mỗi giá trị $t\in (-1;1)$, phương trình $\cos x=t$ có đúng 6 nghiệm phân biệt.
- Với $t=1$, $\cos x=1⟺x\in \{-2\pi ,0,2\pi \}$ có 3 nghiệm hoặc $t=-1$ có 4 nghiệm.
- Số nghiệm tổng cộng của $f(\cos x)=1$ trên đoạn $[-3\pi ;3\pi ]$ do đó có thể bằng 0 (nếu vô nghiệm trong $[-1;1]$), hoặc 6, hoặc 7 (khi có một nghiệm $t=-1$ hoặc $t=1$ kết hợp)...
Tuy nhiên, số nghiệm không thể nhận giá trị 3 vì đồ thị đối xứng và cấu trúc các nghiệm không cho phép đúng 3 nghiệm.

Chọn đáp án D.