Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$ (theo hình: $A$ trên trái, $B$ trên phải, $D$ dưới trái, $C$ dưới phải).
a) Quy tắc hình bình hành tại đỉnh $A$: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Đúng.
c) $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$. Sai.
d) $O$ là tâm hình vuông nên là trung điểm của $AC$, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã 219, Câu 2: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cos 45^{\circ }=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, không phải $a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 198), Phần II: hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$, với $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo).

a) Theo quy tắc hình bình hành (hình vuông), $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, nên $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=AC=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$. → SAI.

b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. → ĐÚNG.

c) $O$ là tâm hình vuông nên $O$ là trung điểm của $AC$, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. → ĐÚNG.

d) Quy tắc hình bình hành trong hình vuông $ABCD$: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. → ĐÚNG.

Kết quả khớp hoàn toàn với bảng đáp án trang 7, mã đề 198: a)S - b)D - c)D - d)D, và cũng khớp với các giá trị isCorrect trong dữ kiện (a sai, b/c/d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=a\sqrt{2}$, nên $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=\vec{0}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, AC=√2 nên AB=BC=1. Chọn hệ tọa độ B(0;0), A(1;0), C(0;1), I trung điểm AC nên I(1/2;1/2). a) vectơ AB=(-1;0) khác vectơ AC=(-1;1) (khác phương) nên Sai. b) I là trung điểm AC nên IA = -IC, Đúng. c) IA - CB = (1/2;-1/2) - (0;-1) = (1/2;1/2), độ dài = √(1/4+1/4)=√2/2, Đúng. d) AB·CA = (-1;0)·(1;-1) = -1 ≠ 1, Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
vectơ AB=(-1;0) và vectơ AC=(-1;1) có phương khác nhau nên không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm của AC nên IA = -IC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với B(0;0), A(1;0), C(0;1), I(1/2;1/2): IA - CB = (1/2;1/2), độ dài bằng √2/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB·CA = (-1;0)·(1;-1) = -1 ≠ 1.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{BO}$ (vì $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BO}$). Vậy B đúng. A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$; C sai vì $3\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{AO}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{DB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, ${\vec{F}}_1$ thẳng đứng và ${\vec{F}}_2$ nằm ngang, nên $\vec{F}$ là đường chéo của hình chữ nhật với hai cạnh ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2$. Do đó độ lớn $F_2$ là thành phần ngang của $\vec{F}$: $F_2=F\cos \alpha =50\cos 30^{\circ }=50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$ N. Vậy $a=25$, $b=3$ (thỏa $b\le 3$), suy ra $a+b=28$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đẳng thức đúng.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ không bằng nhau (khác phương). Đẳng thức SAI.
- C: Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
- D: $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0103, câu 4 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.
- B: Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $A{B}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }$ là hai đường chéo khác nhau nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Sai.
- D: $ABCD$ và $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là các hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên đẳng thức này SAI.
- C: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ vì $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và cùng chiều, cùng độ dài. Đúng.
- D: Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là phương án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;6)$, $\overrightarrow{AC}=(2;4)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2+24=22$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{37}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{20}$. Suy ra $\cos A=\frac{22}{\sqrt{37}\cdot \sqrt{20}}=\frac{22}{\sqrt{740}}\approx 0,8088$, nên $A\approx 36,03^{\circ }\approx 36^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Ta có $\overrightarrow{CA}=(3-(-3);2-0)=(6;2)$, $\overrightarrow{CB}=(-4-(-3);3-0)=(-1;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=6\cdot (-1)+2\cdot 3=-6+6=0$. Vậy $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$, tức tam giác ABC vuông tại C. b) Diện tích tam giác vuông tại C: $CA=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, $CB=\sqrt{(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{10}$. Suy ra $S=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10$. (Kiểm tra bằng công thức định thức: $S=\frac{1}{2}|x_{CA}{y}_{CB}-y_{CA}{x}_{CB}|=\frac{1}{2}|6\cdot 3-2\cdot (-1)|=\frac{20}{2}=10$.) Vậy diện tích tam giác ABC bằng 10 (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Các vecto có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Chọn 2 đỉnh phân biệt trong 3 đỉnh có $3\times 2=6$ cách sắp xếp (điểm đầu, điểm cuối), mỗi cách cho một vecto khác vecto không. Vậy có 6 vecto. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}=(1-0;-2-4)=(1;-6)$, $\overrightarrow{BC}=(3-0;2-4)=(3;-2)$.
$$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{1\cdot 3+(-6)(-2)}{\sqrt{37}\cdot \sqrt{13}}=\frac{15}{\sqrt{481}}\approx 0,6841.$$
Vậy $B\approx 46,86^{\circ }\approx 47^{\circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, và $O$ là trung điểm $AC$, $S$ tùy ý nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ (tính chất trung điểm). Do đó A, B, D đúng. Xét C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}$, nói chung khác $\overrightarrow{AC}$ (chỉ đúng khi $S=A$, vô lý). Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ đều nên $M$ là trung điểm $BC$ cũng là chân đường cao, do đó $OM\perp BC$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và đường thẳng $BC$ bằng $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{AB}$ (tính theo góc nhọn giữa hai vecto) bằng $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}$ không đúng (thực tế $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$). C sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}\ne 2\overrightarrow{OB}$ (thực tế $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BO}$). D sai vì $2\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^0=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$. b) Đúng: $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$ nên độ dài bằng $CA=4$. c) Sai: $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, không phải $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. d) Đúng: $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=0$ cho $\frac{1}{2}\left[k(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{C}^2)-(A{B}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC})\right]=0$, tức $k(6+16)-(9+6)=0\Rightarrow 22k=15\Rightarrow k=\frac{15}{22}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 4\cdot \cos 60^0=6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$, độ dài bằng $CA=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ vì $D$ là trung điểm $BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(22k-15)=0\Rightarrow k=\frac{15}{22}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot (-2)+2\cdot 2=-2+4=2$. Độ dài: $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, $|\vec{v}|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}$. Vậy $\cos (\vec{u};\vec{v})=\frac{2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{8}}=\frac{2}{\sqrt{40}}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD cạnh 6 nên các góc giữa các cạnh đều bằng 60°. Ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cos 60^{\circ }-6\cdot 6\cos 60^{\circ }=18-18=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực đôi một vuông góc nên ${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_3}\right|}^2=30^2+40^2+50^2=900+1600+2500=5000$. Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}N$. Đáp án C.