Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn và điền 9 số phân biệt từ 30 số vào 9 ô là hoán vị chọn 9 từ 30: |Ω| = A(30,9) = 30·29·28·27·26·25·24·23·22 = 5.191.778.592.000.

Bước 1: Phân tích điều kiện 2. Vì tích mỗi hàng bằng 120 nên bc = 120/a, ef = 120/d, mn = 120/k. Điều kiện a² + bc = d² + ef cho:
f(a) − f(d) = (a−d)(a + d − 120/(ad)) = 0 với f(x) = x² + 120/x.
Vì các số phân biệt nên a ≠ d, suy ra ad(a + d) = 120. Kiểm tra các cặp nguyên dương: chỉ có (a,d) = (3,5) hoặc (5,3) (vì 3·5·8 = 120; các cặp khác như 2·6·8=96, 3·4·7=84, 4·5·9=180 đều sai). Khi đó q² = 3² + 120/3 = 49, tức q = 7.
Điều kiện k² − mn = 49 với mn = 120/k cho k³ − 49k − 120 = 0, phân tích (k−8)(k²+8k+15) = 0, nghiệm dương duy nhất k = 8.
Vậy cột 1 là (3,5,8) hoặc (5,3,8), và mn = 120/8 = 15. Do 3, 5 đã dùng và các số phân biệt nên {m,n} = {1,15}.

Bước 2: Đếm các bảng. Các bộ ba số phân biệt ≤ 30 có tích 120 (từ ước của 120: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30) gồm 12 bộ; nhưng với ràng buộc cột 1 cố định {3,5,8} ta chỉ cần điền 6 ô còn lại.

TH1: a=3, d=5 ⇒ bc = 40, ef = 24. Cặp (b,c): {2,20} hoặc {4,10}; cặp (e,f): {1,24} (loại vì 1 đã dùng), {2,12}, {4,6}.
• bc={2,20}, ef={4,6}: điều kiện cột b·e·m = 120, c·f·n = 120 với {m,n}={1,15} cho đúng 2 cách: (b,e,m;c,f,n) = (2,4,15; 20,6,1) hoặc (20,6,1; 2,4,15).
• bc={4,10}, ef={2,12}: tương tự cho đúng 2 cách: (4,2,15; 10,12,1) hoặc (10,12,1; 4,2,15).
→ 4 bảng.

TH2: a=5, d=3 ⇒ bc = 24, ef = 40. Cặp (b,c): {2,12} hoặc {4,6}; cặp (e,f): {2,20} hoặc {4,10}.
• bc={2,12}, ef={4,10}: 2 cách: (2,4,15; 12,10,1) hoặc (12,10,1; 2,4,15).
• bc={4,6}, ef={2,20}: 2 cách: (4,2,15; 6,20,1) hoặc (6,20,1; 4,2,15).
• Các kết hợp còn lại trùng số (2 hoặc 4 dùng hai lần) nên loại.
→ 4 bảng.

Tổng số bảng thuận lợi: N = 8.

Bước 3: Xác suất:
P = 8 / 5.191.778.592.000 ≈ 1,5409·10⁻¹² = α·10⁻¹² với α làm tròn đến hàng phần trăm.
Vậy α = 1,54, trùng với đáp án nguồn.

Không gian mẫu là xếp 12 bạn vào 12 vị trí $n(\Omega )=12!$. (0,25 điểm)
Gọi $A$ là biến cố: "Trong 12 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau".
Xếp 6 học sinh lớp 12A vào 6 vị trí có 6! cách.
Ứng mỗi cách xếp 6 học sinh lớp 12A sẽ có 7 khoảng trống gồm 5 vị trí ở giữa và 2 vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại. (0,25 điểm)
TH1: Ở mỗi khoảng trống chỉ xếp 1 hs lớp B hoặc lớp C. Xếp 6 hs còn lại vào 6 khoảng trống đầu hoặc 6 khoảng trống cuối. Vậy có: $2\cdot 6!\cdot 6!=1036800$ cách (0,25 điểm)
TH2: Ở 1 trong 5 khoảng trống giữa xếp 2 hs gồm 1 hs lớp B và 1 hs lớp C; các khoảng trống giữa còn lại chỉ xếp 1 hs hoặc lớp B hoặc lớp C.
Chọn 1 khoảng trống giữa, có $C_5^1=5$ cách.
Ở khoảng trống này, chọn 1 hs lớp B và 1 hs lớp C xếp vào, có $C_2^1\cdot C_4^1\cdot 2!=16$ cách.
4 hs còn lại xếp vào 4 vị trí trống ở giữa còn lại, có $4!=24$ cách.
Vậy có: $6!\cdot 5\cdot 16\cdot 24=1382400$ cách.
$\Rightarrow n(A)=1036800+1382400=2419200$ cách (0,25 điểm)
Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{2419200}{12!}=\frac{1}{198}$.

Không gian mẫu là xếp 12 bạn vào 12 vị trí $n(\Omega )=12!$. (0,25 điểm)
Gọi $A$ là biến cố: "Trong 12 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau".
Xếp 6 học sinh lớp 11C vào 6 vị trí có 6! cách.
Ứng mỗi cách xếp 6 học sinh lớp 11C sẽ có 7 khoảng trống gồm 5 vị trí ở giữa và 2 vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại. (0,25 điểm)
TH1: Ở mỗi khoảng trống chỉ xếp 1 hs lớp A hoặc lớp B. Xếp 6 hs còn lại vào 6 khoảng trống đầu hoặc 6 khoảng trống cuối. Vậy có: $$2\cdot 6!\cdot 6!=1036800\text{ caˊch}$$ (0,25 điểm)
TH2: Ở 1 trong 5 khoảng trống giữa xếp 2 hs gồm 1 hs lớp A và 1 hs lớp B; các khoảng trống giữa còn lại chỉ xếp 1 hs hoặc lớp A hoặc lớp B.
Chọn 1 khoảng trống giữa, có $C_5^1=5$ cách.
Ở khoảng trống này, chọn 1 hs lớp A và 1 hs lớp B xếp vào, có $C_2^1\cdot C_4^1\cdot 2!=16$ cách.
4 hs còn lại xếp vào 4 vị trí trống ở giữa còn lại, có $4!=24$ cách.
Vậy có: $6!\cdot 5\cdot 16\cdot 24=1382400$ cách.
$\Rightarrow n(A)=1036800+1382400=2419200$ cách (0,25 điểm)
Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{2419200}{12!}=\frac{1}{198}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp ngẫu nhiên 10 bạn vào bàn dài, mỗi bên 5 ghế đối diện: chỉ cần xét cách chia 10 người thành 5 cặp ngồi đối diện nhau (vị trí cụ thể các cặp không ảnh hưởng). Tổng số cách chia: $\frac{10!}{2^5\cdot 5!}=945$.

Gọi $A$ là biến cố 'có cặp hai bạn lớp 12A ngồi đối diện', $B$ là biến cố 'có cặp hai bạn lớp 12B ngồi đối diện'.
- Số cách có cặp A–A: chọn 2 trong 3 bạn 12A: $C_3^2=3$, 8 người còn lại chia thành 4 cặp: $\frac{8!}{2^4\cdot 4!}=105$, nên $3\cdot 105=315$ (không thể có 2 cặp A–A vì chỉ có 3 bạn 12A).
- Số cách có cặp B–B: $1\cdot 105=105$.
- Vừa A–A vừa B–B: $3\cdot 105=315$? Không: sau khi lập cặp A–A và cặp B–B, còn 6 người chia 3 cặp: $\frac{6!}{2^3\cdot 3!}=15$, nên $3\cdot 15=45$.

Số cách thỏa (không có cặp cùng lớp): $945-315-105+45=570$.

Xác suất: $P=\frac{570}{945}=\frac{38}{63}\approx 0,6032\approx 0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 5 cặp ghế đối diện là 5 cột. Xếp 10 học sinh phân biệt vào 10 ghế có nhãn: $10!=3628800$ cách. Chỉ lớp $12A$ (3 bạn) và lớp $12B$ (2 bạn) có thể tạo cặp đối diện cùng lớp.
- Xếp 3 bạn lớp $12A$ vào 3 cột khác nhau, mỗi cột 1 trong 2 ghế, hoán vị 3 bạn: $C_5^3\cdot 2^3\cdot 3!=10\cdot 8\cdot 6=480$ cách.
- Sau đó còn 7 ghế trống: 2 cột hoàn toàn trống (4 ghế) và 3 ghế đơn ở 3 cột đã có bạn $12A$. Xếp 2 bạn lớp $12B$ vào 2 ghế không cùng cột: $C_7^2-2=19$ cách chọn ghế, nhân $2!=2$, tức $38$ cách.
- Xếp 5 bạn còn lại (5 lớp khác nhau) vào 5 ghế trống: $5!=120$ cách.
Số cách thuận lợi: $480\cdot 38\cdot 120=2188800$. Vậy $P=\frac{2188800}{3628800}=\frac{38}{63}\approx 0,603\approx 0,6$, khớp đáp án nguồn (trang 12).

(AI giải đề cho tôi)
Tập A có $9\cdot 9\cdot 8=648$ số (chữ số đầu khác 0, ba chữ số đôi một khác nhau). Tổng số cách lấy 2 số: $C_{648}^2=209628$. Xét theo bộ 3 chữ số: bộ không chứa 0 có $C_9^3=84$ bộ, mỗi bộ tạo $3!=6$ số, số cặp cùng bộ là $84\cdot C_6^2=1260$; bộ chứa 0 có $C_9^2=36$ bộ, mỗi bộ tạo $6-2=4$ số (loại các số có 0 ở đầu), số cặp là $36\cdot C_4^2=216$. Tổng cặp thuận lợi: $1260+216=1476$. Xác suất $P=\frac{1476}{209628}\approx 0,00704=0,704\%\approx 0,7\%$. Khớp đáp án nguồn 0,7.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A$ gồm các số có 3 chữ số đôi một khác nhau: $|A|=9\cdot 9\cdot 8=648$, nên không gian mẫu khi lấy 2 số là $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{648}{2}\right)=209628$ (lấy không hoàn lại, không xét thứ tự).

Thuận lợi: hai số có cùng tập chữ số. Xét theo tập 3 chữ số:
- Tập 3 chữ số không chứa 0: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$ tập, mỗi tập cho $3!=6$ số, nên số cặp là $84\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=84\cdot 15=1260$.
- Tập 3 chữ số chứa 0: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=36$ tập, mỗi tập cho $6-2=4$ số hợp lệ (chữ số 0 không đứng đầu), số cặp là $36\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=36\cdot 6=216$.

Tổng số cặp thuận lợi: $1260+216=1476$.

Xác suất: $P=\frac{1476}{209628}\approx 0,007042=0,7042\%\approx 0,7\%$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,7$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Không gian mẫu.** Tập $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ có $n(S)=8$ phần tử. Mật mã là hoán vị 7 chữ số đôi một khác nhau từ 8 chữ số, không bắt đầu bằng 0: chữ số đầu có 7 cách (chọn từ 1 đến 7), 6 vị trí còn lại chọn và xếp từ 7 chữ số còn lại: $A_7^6=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040$ cách. Vậy $n(\Omega )=7\times 5040=35280$ mật mã.

**b) Xác suất.** Gọi $A$ là biến cố "mật mã thỏa mãn hai điều kiện".

Mật mã thỏa mãn có dạng: 3 chữ số lẻ (vị trí 1,2,3) — 1 chữ số nhỏ hơn 4 (vị trí 4) — 3 chữ số chẵn (vị trí 5,6,7), tất cả đôi một khác nhau.

- Ba chữ số lẻ được chọn từ $\{1,3,5,7\}$: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ bộ.
- Ba chữ số chẵn được chọn từ $\{0,2,4,6\}$: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ bộ.
- Chữ số ở giữa phải thuộc $\{0,1,2,3\}$ và không trùng với 6 chữ số đã chọn. Chú ý chỉ các chữ số 1, 3 (trong nhóm lẻ) và 0, 2 (trong nhóm chẵn) ảnh hưởng đến lựa chọn này.

Đếm theo bộ (chưa xếp thứ tự):
- Bộ lẻ chứa cả 1 và 3 (có 2 bộ: $\{1,3,5\},\{1,3,7\}$) hoặc chứa đúng một trong hai số 1, 3 (có 2 bộ: $\{1,5,7\},\{3,5,7\}$).
- Bộ chẵn chứa cả 0 và 2 (có 2 bộ: $\{0,2,4\},\{0,2,6\}$) hoặc chứa đúng một trong hai số 0, 2 (có 2 bộ: $\{0,4,6\},\{2,4,6\}$).

Số chữ số nhỏ hơn 4 còn khả dụng cho vị trí giữa của một cặp bộ là $2-u_o-u_e$, với $u_o$ là số chữ số trong $\{1,3\}$ đã dùng bởi bộ lẻ, $u_e$ là số chữ số trong $\{0,2\}$ đã dùng bởi bộ chẵn. Tổng trên tất cả $4\times 4=16$ cặp bộ:
$$\sum (2-u_o-u_e)=16\cdot 2-\sum u_o-\sum u_e=32-(2\cdot 2+2\cdot 1)-(2\cdot 2+2\cdot 1)=32-6-6=20.$$

Vậy có 20 cách chọn (bộ lẻ, chữ số giữa, bộ chẵn). Với mỗi cách chọn, 3 chữ số lẻ xếp vào 3 vị trí đầu có $3!=6$ cách và 3 chữ số chẵn xếp vào 3 vị trí cuối có $3!=6$ cách.
$$n(A)=20\times 3!\times 3!=20\times 36=720.$$

Xác suất:
$$P(A)=\frac{720}{35280}=\frac{1}{49}\approx 0.0204=2.04\%.$$

**Kết luận:** a) $n(S)=8$, không gian mẫu có $35280$ mật mã; b) $P(A)=\frac{1}{49}\approx 2.04\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S=A+B+C+D$. Cộng bốn đẳng thức cạnh: $(E+F+G+H)+2S=60$, mà $E+F+G+H=36-S$ nên $36-S+2S=60\Rightarrow S=24$, do đó $E+F+G+H=12$.

Bốn số ở giữa có tổng 12 chỉ có thể là tập $\{1,2,3,6\}$ hoặc $\{1,2,4,5\}$; các số ở góc tương ứng là $\{4,5,7,8\}$ hoặc $\{3,6,7,8\}$.

Trường hợp 1: góc $\{4,5,7,8\}$, giữa $\{1,2,3,6\}$. Khi đó $15-\text{(tổng hai đỉnh keˆˋ)}\in \{1,2,3,6\}$, tức tổng hai đỉnh kề thuộc $\{9,12,13,14\}$. Nhưng cặp $4+7=11$ và $7+8=15$ đều bị cấm, nghĩa là đỉnh 7 chỉ được kề với 5 — không thể vì 7 có hai đỉnh kề. Trường hợp này vô nghiệm.

Trường hợp 2: góc $\{3,6,7,8\}$, giữa $\{1,2,4,5\}$. Các cặp kề hợp lệ: $3+7=10\to 5$, $3+8=11\to 4$, $6+7=13\to 2$, $6+8=14\to 1$; các cặp kề cấm là $(3,6)$ và $(7,8)$. Chu trình hợp lệ duy nhất quanh hình vuông là $3-7-6-8-3$ (chiều ngược lại $3-8-6-7-3$ là cùng một chu trình, không đếm riêng). Chu trình này cho $4\cdot 2=8$ cách gán lên $(A,B,C,D)$; với mỗi cách, các số giữa được xác định duy nhất và đôi một khác nhau thuộc $\{1,2,4,5\}$.

Tổng số cách điền 8 số từ 1 đến 8 là $8!=40320$. Xác suất $=\frac{8}{40320}=\frac{1}{5040}$, nên $a+b=1+5040=5041$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tọa độ: ô trung tâm $O=(0;0)$, ô phía trên $T=(0;1)$ (hiện số 4), ô phía dưới $B=(0;-1)$ (hiện số 2). Hai ô $T$, $B$ đã mở nên chắc chắn không chứa mìn. Ban đầu 27 quả mìn được rải ngẫu nhiên đều trong 81 ô.

Tập 8 ô kề của $T$: $(-1;2),(0;2),(1;2),(-1;1),(1;1),(-1;0),(1;0),(0;0)$.
Tập 8 ô kề của $B$: $(-1;-2),(0;-2),(1;-2),(-1;-1),(1;-1),(-1;0),(1;0),(0;0)$.

Hai tập này có đúng 3 ô chung: $(-1;0),(1;0),(0;0)$. Gọi:
- $k$ là số mìn trong hai ô chung $(-1;0),(1;0)$ ($k\in \{0;1;2\}$),
- $c$ là chỉ số mìn của ô trung tâm ($c\in \{0;1\}$),
- $e$ là số mìn trong 5 ô kề riêng của $T$ (hàng trên),
- $f$ là số mìn trong 5 ô kề riêng của $B$ (hàng dưới).

Điều kiện quan sát được:
$$e+k+c=4,f+k+c=2.$$

Suy ra $e=4-k-c\ge 0$, $f=2-k-c\ge 0$, tức $k+c\le 2$. Số mìn trong 66 ô còn lại (ngoài 13 ô đã xét và hai ô $T,B$) là $27-(e+f+k+c)=27-(6-k-c)=21+k+c$.

Với mỗi bộ $(k,c)$ khả dĩ, số cách rải mìn thỏa mãn (xác suất tỉ lệ với) là:
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{e}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{f}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{21+k+c}\right).$$

Liệt kê:
- $c=0$: $(k,e,f)=(0;4;2):\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)=50$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{21}\right)$; $(1;3;1):10\cdot 5\cdot 2=100$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{22}\right)$; $(2;2;0):10\cdot 1\cdot 1=10$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{23}\right)$.
- $c=1$: $(k,e,f)=(0;3;1):10\cdot 5\cdot 1=50$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{22}\right)$; $(1;2;0):10\cdot 1\cdot 2=20$ cách, $\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{23}\right)$; $k=2$ loại vì $f<0$.

Vậy (đặt $x=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{22}\right)$, với $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{21}\right)=\frac{22}{45}x$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{66}{23}\right)=\frac{44}{23}x$):
$$N_{c=1}=x\left(50+20\cdot \frac{44}{23}\right)=\frac{2030}{23}x=\frac{18270}{207}x,$$
$$N_{c=0}=x\left(50\cdot \frac{22}{45}+100+10\cdot \frac{44}{23}\right)=\frac{29720}{207}x.$$

Xác suất An thua cuộc ngay khi mở ô trung tâm:
$$P=\frac{N_{c=1}}{N_{c=0}+N_{c=1}}=\frac{18270}{47990}=\frac{1827}{4799}\approx 0,3807.$$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $\boxed{0,38}$.

(AI giải đề cho tôi)
Quá trình ghép cặp ngẫu nhiên tạo ra một ghép cặp hoàn chỉnh (perfect matching) của 10 điểm, và mọi ghép cặp đều có xác suất như nhau. Tổng số cách ghép 10 điểm thành 5 cặp là 9!! = 9·7·5·3·1 = 945. Số cách ghép không cắt nhau của 2n điểm trên đường tròn là số Catalan C_n. Với n = 5: C_5 = 1/(6)·C(10,5) = 42. Vậy P = 42/945 = 2/45, do đó 90000P = 90000·2/45 = 4000.

(AI giải đề cho tôi)
Có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ mã khác nhau tạo bởi 3 số tăng dần (Ba bình chọn ngẫu nhiên, không bấm lại mã sai vì bấm hai mã sai giống nhau sẽ khiến bảng dừng hoạt động). Trong số đó, các mã thỏa mãn tổng bằng 10 (tức các mã có thể mở cửa) là: $(0,1,9),(0,2,8),(0,3,7),(0,4,6),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,3,5)$ — tất cả 8 mã. Xác suất để Bình mở cửa trước khi bảng dừng hoạt động là xác suất một trong 8 mã này được bấm trong 3 lần thử đầu: $1-\frac{C_{112}^3}{C_{120}^3}=1-\frac{112\cdot 111\cdot 110}{120\cdot 119\cdot 118}=\frac{189}{1003}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: 4 lần quay độc lập, mỗi lần 6 kết quả nên $n(\Omega )=6^4=1296$. Gọi bốn số là $(a,b,c,d)$. Trúng thưởng khi tồn tại một nhóm con có tổng bằng $S/2$ với $S=a+b+c+d$ (suy ra $S$ chẵn). Vì mỗi số $\le 6$ và $S/2\le 12$, chỉ có hai khả năng: một phần tử bằng tổng ba phần tử còn lại, hoặc hai cặp có tổng bằng nhau.

Trường hợp 1: một phần tử bằng tổng ba phần tử còn lại, ví dụ $d=a+b+c\le 6$. Số bộ ba $(a,b,c)$ nguyên dương có tổng $\le 6$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$. Không thể có hai phần tử cùng lúc thỏa (nếu $d=a+b+c$ và $a=b+c+d$ thì vô lý), nên có $4\times 20=80$ bộ.

Trường hợp 2: chia được thành hai cặp bằng tổng. Với cách ghép $a+b=c+d$: số bộ là ${\sum }_t{N}_t^2$ với $N_t$ = số cặp có tổng $t$ bằng $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$, nên $\sum N_t^2=1+4+9+16+25+36+25+16+9+4+1=146$. Ba cách ghép cho $3\times 146=438$. Giao hai cách ghép, ví dụ $a+b=c+d$ và $a+c=b+d$ suy ra $b=c,a=d$: $36$ bộ mỗi giao, ba giao đôi tổng $108$. Giao của cả ba: $a=b=c=d$: $6$ bộ. Bao-loại: $438-108+6=336$ bộ.

Hai trường hợp rời nhau: nếu $d=a+b+c$ và $a+b=c+d$ thì $c=0$, vô lý; tương tự các cách ghép khác.

Tổng số bộ trúng thưởng: $80+336=416$. Xác suất: $P=\frac{416}{1296}=\frac{26}{81}\approx 0,321$.

(AI giải đề cho tôi)
Khay có 50 chip: 18 chip A, 16 chip B, 16 chip C; lấy lần lượt 4 chip không hoàn lại gắn vào 4 vị trí.

a) Xác suất chip ở vị trí 1 do hãng A sản xuất: P = 18/50 = 0,36. Đúng.

b) Xác suất cả 4 chip cùng hãng: P = [C(18,4) + C(16,4) + C(16,4)]/C(50,4) = (3060 + 1820 + 1820)/230300 = 6700/230300 = 67/2303 ≈ 0,0291, không phải 1608/2303. Sai.

c) Xác suất hai vị trí 1 và 2 cùng hãng: P = [C(18,2) + C(16,2) + C(16,2)]/C(50,2) = (153 + 120 + 120)/1225 = 393/1225 ≈ 0,3208, không phải 786/1225. Sai.

d) Bo mạch đạt chuẩn: 4 vị trí tạo chu trình 1-2-3-4-1, mọi cặp kề khác hãng. Đếm theo mẫu hiệu (tổng cách gắn có thứ tự: 50·49·48·47 = 5 527 200):
- Mẫu chỉ dùng 2 hãng xen kẽ (x y x y): 6 mẫu; mẫu dùng 2A2B hoặc 2A2C có trọng số 18·17·16·15 = 73 440 (4 mẫu), mẫu 2B2C có trọng số 16·15·16·15 = 57 600 (2 mẫu). Tổng: 4·73440 + 2·57600 = 408 960.
- Mẫu dùng đủ 3 hãng (dạng x y x z, vị trí 1;3 cùng hãng): 6 mẫu; 2A1B1C: 18·17·16·16 = 78 336 (2 mẫu), 2B1A1C: 16·15·18·16 = 69 120 (2 mẫu), 2C1A1B: 69 120 (2 mẫu). Tổng: 2·78336 + 4·69120 = 433 152.
Tổng cách gắn đạt chuẩn: 842 112. Vậy P = 842112/5527200 = 8772/57575 ≈ 0,1524 ≈ 0,15, không phải 0,23. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P = 18/50 = 0,36.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = (C(18,4)+2C(16,4))/C(50,4) = 67/2303 ≈ 0,0291 ≠ 1608/2303.
c) (AI giải đề cho tôi)
P = (C(18,2)+2C(16,2))/C(50,2) = 393/1225 ≈ 0,3208 ≠ 786/1225.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm các cách gắn sao cho mọi cặp kề khác hãng: 842112 cách trên tổng 50·49·48·47 = 5527200 cách, cho P ≈ 0,1524 ≈ 0,15 ≠ 0,23.

(AI giải đề cho tôi)
Trong các số 1 đến 16 có 8 số lẻ và 8 số chẵn. Tổng một hàng (cột) lẻ khi và chỉ khi hàng (cột) đó chứa một số lẻ các số lẻ (1 hoặc 3). Vậy cần đếm số cách chọn vị trí 8 số lẻ trong 16 ô sao cho mỗi hàng và mỗi cột đều có số lượng số lẻ lẻ. Tổng số cách chọn: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{8}\right)=12870$. Gọi $a$ là số hàng chứa 1 số lẻ, $b$ là số hàng chứa 3 số lẻ: $a+b=4$, $a+3b=8\Rightarrow a=2,b=2$. Chọn 2 hàng dạng 'một số lẻ': $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Với mỗi cách, gọi $s_j$ là số hàng đơn có số lẻ ở cột $j$, $t_j$ là số hàng ba có ô thiếu ở cột $j$; điều kiện cột có tổng lẻ là $s_j+t_j$ lẻ với mỗi $j$. Vì $\sum s_j=\sum t_j=2$ nên $\sum (s_j+t_j)=4$, mà mỗi $s_j+t_j$ lẻ dương nên mỗi cột có $s_j+t_j=1$: hai cột dạng $(1,0)$, hai cột dạng $(0,1)$. Chọn 2 cột dạng $(1,0)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$; phân phối 2 hàng đơn: $2!$; phân phối 2 hàng ba: $2!$. Số cách: $6\cdot 6\cdot 2\cdot 2=144$. Xác suất $=\frac{144}{12870}=\frac{8}{715}$ (đã tối giản). Khi đó $T=200\cdot 8+715=2315$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mô hình: xếp ngẫu nhiên 9 bạn vào 3 toa (mỗi toa ít nhất 1 người), mỗi cách xếp tương ứng với một hoán vị của 9 người rồi cắt thành 3 đoạn liên tiếp không rỗng (đoạn 1 là Toa 1, đoạn 2 là Toa 2, đoạn 3 là Toa 3).

Tổng số cách: $9!\cdot C_8^2=362880\cdot 28=10160640$.

Thuận lợi: Toa 1 chỉ có Trí và Lan, tức đoạn đầu gồm 2 người Trí, Lan theo thứ tự bất kỳ: $2!$ cách xếp trong toa; 7 người còn lại được xếp thành hoán vị $7!$ và cắt thành 2 đoạn không rỗng: $C_6^1=6$ cách. Số cách thuận lợi: $2\cdot 7!\cdot 6=60480$.

Vậy $p=\frac{60480}{10160640}=\frac{1}{168}$, suy ra $42p=\frac{42}{168}=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi ô có 2 kết quả nên không gian mẫu có $2^9=512$ phần tử. Ta đếm số ma trận $3\times 3$ gồm 0/1 sao cho tổng mỗi hàng và mỗi cột đều lẻ. Chọn tự do các giá trị ở 4 ô góc trên trái (hàng 1,2 × cột 1,2): $2^4=16$ cách. Khi đó ô (1,3) và (2,3) bị xác định để hàng 1,2 có tổng lẻ; ô (3,1),(3,2) bị xác định để cột 1,2 có tổng lẻ. Tổng ba số lẻ của hàng 1,2,3 là lẻ nên tổng hàng 3 lẻ, suy ra ô (3,3) cũng bị xác định duy nhất; tương tự tổng ba cột lẻ nên điều kiện cột 3 tự thỏa. Vậy số kết quả thuận lợi là $2^4=16$. Xác suất $=\frac{16}{512}=\frac{1}{32}$, do đó $a=32$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=1, hệ trục trên đường thẳng AB với A tại 0, B tại 1. Vì tam giác đều, góc giữa AC và AB bằng 60° nên hình chiếu của điểm trên AC cách A một đoạn s là s·cos60° = s/2. Tương tự, điểm trên BC cách B đoạn s có hình chiếu tại 1 − s/2.

- Điểm thứ k trên AC (k=1..44) có hình chiếu tại k/90. Đây là điểm đánh dấu i/60 khi 2k/3 nguyên, tức k chia hết cho 3: k ∈ {3,6,...,42} → 14 điểm.
- Điểm thứ j trên BC (j=1..39) có hình chiếu tại 1 − j/80. Đây là điểm đánh dấu khi 60 − 3j/4 nguyên, tức j chia hết cho 4: j ∈ {4,8,...,36} → 9 điểm.
- Hai tập hình chiếu này không giao nhau (k/90 = 1 − j/80 đòi hỏi k > 44).

Tổng số cách chọn 2 điểm phân biệt từ 83 điểm trên AC, BC là C(83,2) = 3403.
Số cách thuận lợi: cả hai từ AC: C(14,2)=91; cả hai từ BC: C(9,2)=36; mỗi cạnh một điểm: 14·9=126. Tổng = 91+36+126 = 253.

Vậy p = 253/3403, suy ra 3403p = 253, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án: 0,02

Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega |=A_{10}^8-A_9^7$.

Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho 45.

Gọi $B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5. Do $0+1+2+...+9=45⋮9$ nên ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 là: $B\setminus \{0,9\};B\setminus \{1,8\};B\setminus \{2,7\};B\setminus \{3,6\};B\setminus \{4,5\}$.

TH1: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{0,9\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên $a_8=5$, suy ra có $7!$ số

TH2: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{4,5\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên $a_8=0$, suy ra có $7!$ số

TH3: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{1,8\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên có 2 trường hợp:
* $a_8=0$ có $7!$ số.
* $a_8=5$ có $6.6!$ số.
Suy ra trong trường hợp này có $7!+6.6!$ số.

Tương tự các trường hợp $B\setminus \{2,7\},B\setminus \{3,6\}$ mỗi trường hợp có $7!+6.6!$ số.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $|{\Omega }_A|=2.7!+3.(7!+6.6!)=38160$.

Vậy xác suất biến cố $A$ là $p(A)=\frac{|{\Omega }_A|}{|\Omega |}=\frac{38160}{A_{10}^8-A_9^7}=\frac{53}{2268}\approx 0,02$.

Số phần tử của tập hợp $A$:
Số có 9 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $\{0,1,\dots ,9\}$ có $9\cdot A_9^8=9\cdot 9!$ số.
Chọn 4 chữ số còn lại từ $\{5,6,7,8,9\}$: có $C_5^4=5$ cách.
Nhóm chữ số đã chọn gồm $\{0,1,2,3,4\}$ và 4 chữ số khác.
Số cách sắp xếp 9 chữ số sao cho 1, 2, 3, 4 theo thứ tự tăng dần:
- Nếu chữ số 0 ở vị trí tùy ý: có $C_9^4$ cách xếp các vị trí cho 1, 2, 3, 4 (thứ tự cố định), còn lại 5 vị trí cho 5 chữ số có $5!$ cách $⟹C_9^4\cdot 5!=\frac{9!}{4!}$.
- Trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: khi đó 1, 2, 3, 4 chiếm 4 trong 8 vị trí còn lại có $C_8^4$ cách, 4 vị trí còn lại cho 4 chữ số có $4!$ cách $⟹C_8^4\cdot 4!=\frac{8!}{4!}$.
Số cách sắp xếp hợp lệ là: $\frac{9!-8!}{4!}=\frac{8\cdot 8!}{24}=\frac{8!}{3}$.
Tổng số kết quả thuận lợi là: $5\cdot \frac{8!}{3}$.
Xác suất cần tính là:
$P=\frac{5\cdot \frac{8!}{3}}{9\cdot 9!}=\frac{5\cdot 8!}{27\cdot 9\cdot 8!}=\frac{5}{243}$.