Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất toàn phần (Toán học Lớp 12)

Một nhà bán hàng A vì lợi nhuận của bản thân nên đã nhập về một lô hàng bánh kẹo giả kém chất lượng và giống y hệt bên ngoài với các loại bánh kẹo chính hãng. Mỗi thùng bánh kẹo được đóng gói với số lượng giống nhau ($24$ gói bánh kẹo/thùng). Sau đó, để qua mắt lực lượng chức năng nhà bán hàng trộn lẫn kẹo giả vào mỗi thùng kẹo chính hãng và chia làm $3$ loại:
+ loại I để lẫn vào mỗi thùng $3$ gói bánh kẹo hàng giả.
+ loại II để lẫn vào mỗi thùng $2$ gói bánh kẹo hàng giả.
+ loại III để lẫn vào mỗi thùng có $4$ gói bánh kẹo hàng giả.
Biết số lượng thùng loại I gấp $2$ lần số lượng thùng loại II và số thùng loại II gấp $3$ lần thùng loại III.
Sau đó nhà bán hàng A nhằm kiểm tra thử xem khi lực lượng chức năng vào kiểm tra có thể qua mắt được hay không? Bằng cách chọn ngẫu nhiên $1$ thùng từ trong kho, từ đó chọn ngẫu nhiên $10$ gói bánh kẹo bất kì. Tính xác suất để lấy được $2$ gói bánh kẹo giả kém chất lượng (làm tròn đến kết quả phần trăm).

Giả sử tỉ lệ người dân của một tỉnh nghiện thuốc lá là $30\%$; tỉ lệ người mắc bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $75\%$, tỉ lệ người không mắc bệnh phổi trong số người không nghiện thuốc lá là $88\%$. Ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh đó, tính xác suất người đó không mắc bệnh phổi (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong một chiến dịch chống không kích của đơn vị A, được thông báo máy bay đối phương có xác suất $0,65$ xuất hiện ở khu vực $A$. Nếu máy bay không ở $A$, thì chắc chắn nó sẽ ở $B$. Để đối phó, quân đội quyết định nếu máy bay xuất hiện ở $A$ thì sẽ bắn $1$ quả tên lửa, còn ở $B$ thì bắn $2$ quả tên lửa. Mỗi quả tên lửa có xác suất trúng mục tiêu là $0,8$. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất $1$ quả tên lửa. Tính xác suất thành công trong việc bắn hạ máy bay đối phương (kết quả được tính theo $\%$)?

Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$. Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt.
Gọi $A$ là biến cố: “Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy” và $B$ là biến cố: “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy”.
Mệnh đề nào sau đây đúng hay sai?

Một người môi giới bất động sản có 8 chìa khóa để mở 8 ngôi nhà mới. Mỗi chìa khóa chỉ mở được đúng 1 ngôi nhà. Biết có 3 ngôi nhà thường không khóa cửa, người môi giới chọn ngẫu nhiên 3 chìa khóa mang theo. Hỏi nếu người môi giới chọn ngẫu nhiên một nhà để vào thì xác suất để người môi giới này có thể vào được là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong kỳ kiểm tra môn Toán của một trường THPT có $400$ học sinh tham gia, trong đó có $180$ học sinh nam và $220$ học sinh nữ. Khi công bố kết quả kỳ kiểm tra đó, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi tương ứng với nam và nữ lần lượt là $30\%$ và $15\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số $400$ học sinh đó.
Gọi $A$ là biến cố "Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi".
Gọi $B$ là biến cố "Học sinh được chọn ra là học sinh nữ".

Câu 2. An và Bình là bạn thân ngồi cùng bàn. Cả hai đều có thói quen chuẩn bị sẵn nhiều bút bi mực xanh và bút bi mực đen (tất cả đều còn mực) trong hộp bút của mình. Cả hai bạn cùng dùng loại bút bi E178 giống nhau.
Trong hộp bút của An chỉ có $10$ chiếc bút bi E178 gồm: $5$ bút bi mực xanh và $5$ bút bi mực đen.
Trong hộp bút của Bình chỉ có $10$ chiếc bút bi E178 gồm: $6$ bút bi mực xanh và $4$ bút bi mực đen.
An lấy ngẫu nhiên $1$ chiếc bút bi từ hộp của mình bỏ vào hộp của Bình. Sau đó, Bình lấy ngẫu nhiên từ hộp của mình ra $1$ chiếc bút bi để làm bài tập.

Câu 3: Trước khi tham gia thi trung học phổ thông (THPT) quốc gia 2026, trường THPT X khảo sát 500 thí sinh về việc tham gia xét tuyển đại học bằng học bạ. Kết quả thống kê như sau: chỉ có 360 học sinh trả lời "sẽ xét học bạ", số còn lại trả lời "không xét học bạ". Kinh nghiệm mỗi năm của trường THPT X cho thấy tỉ lệ học sinh tham gia xét tuyển học bạ tương ứng với những cách trả lời "sẽ xét học bạ" và "không xét học bạ" lần lượt là 70% và 20%.

Gọi $A$ là biến cố "Học sinh thực sự xét học bạ".
Gọi $B$ là biến cố "Học sinh trả lời xét học bạ".

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có 20 hộp sữa chất lượng và 10 hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng mua 2 hộp sữa từ lô hàng này (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại) thì một đoàn kiểm tra liên ngành đến kiểm tra chất lượng sữa của cửa hàng. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ số hộp sữa còn lại trong lô hàng để xét nghiệm. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một bệnh viện sử dụng hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Có $60\%$ bệnh nhân được chỉ định điều trị bằng phác đồ A và $40\%$ bệnh nhân điều trị bằng phác đồ B. Tỉ lệ bệnh nhân gặp tác dụng phụ khi sử dụng phác đồ A và phác đồ B lần lượt là $5\%$ và $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân đang điều trị căn bệnh này tại bệnh viện.

Câu 2. Trong một sảnh lớn của một công ty, có một lối đi vào khu làm việc. Công ty đang thử nghiệm tại lối đi này một hệ thống cửa tự động có sử dụng công nghệ nhận diện gương mặt. Khi nhận diện gương mặt là nhân viên thì hệ thống mới mở cửa để người đó vào.
- Đối với nhân viên công ty, hệ thống nhận diện đúng với xác suất $99\%$.
- Đối với khách, hệ thống nhận diện nhầm là nhân viên với xác suất $15\%$.
Biết rằng trong sảnh của công ty, tỉ lệ nhân viên công ty là $90\%$, còn lại là khách.

Gia đình bạn An chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ 7 và chủ nhật. Ở hòn đảo đó mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là $20\%$, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là $30\%$. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào ngày thứ 7 là $0,7$.
Gọi $A$ là biến cố "Ngày thứ 7 trời nắng" và $B$ là biến cố "Ngày chủ nhật trời mưa".

Bạn An làm $2$ bài tập kế tiếp. Xác suất An làm đúng bài thứ nhất là $0,7$. Nếu An làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là $0,8$. Nếu An làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là $0,2$.

Tại một cánh đồng mẫu lớn chuyên canh lúa, theo thống kê của trạm khuyến nông, có $20\%$ diện tích lúa đang trong giai đoạn ủ bệnh đạo ôn cổ bông. Để tầm soát và phun thuốc phòng ngừa kịp thời, cán bộ nông nghiệp sử dụng một thiết bị bay không người lái (drone) gắn cảm biến quang học để quét qua các cánh đồng. Qua thực nghiệm đánh giá độ chính xác, thiết bị có đặc tính: Nếu một khu vực lúa thực sự đang ủ bệnh, cảm biến sẽ phát tín hiệu cảnh báo đỏ với xác suất $90\%$. Nếu một khu vực lúa hoàn toàn khỏe mạnh, cảm biến vẫn bị nhiễu và phát tín hiệu cảnh báo đỏ (cảnh báo nhầm) với xác suất $5\%$. Cán bộ nông nghiệp cho drone quét ngẫu nhiên qua một khu vực lúa bất kỳ trong vùng. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Câu 5. Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 con từ chuồng II bỏ vào chuồng I, sau đó lấy ngẫu nhiên từ chuồng I ra 1 con. Tính xác suất lấy được thỏ trắng ở chuồng I. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tại một bệnh viện, người ta áp dụng một phương pháp xét nghiệm rà soát nhanh đối với một loại Virus X. Dữ liệu thống kê y tế cho thấy tỉ lệ người dân thực sự nhiễm loại Virus này trong cộng đồng là $2\%$. Khả năng của bộ xét nghiệm như sau: Nếu một người thực sự nhiễm Virus X, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất $95\%$; nhưng nếu một người không nhiễm bệnh, xét nghiệm vẫn có thể báo dương tính (dương tính giả) với xác suất $4\%$. Chọn ngẫu nhiên một người tham gia rà soát. Gọi $A$ là biến cố "Người đó thực sự nhiễm Virus X" và $B$ là biến cố "Người đó có kết quả xét nghiệm dương tính".

Câu 4: Bạn Bắc chuẩn bị đi dã ngoại tại Bùi Hui trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Biết rằng ở Bùi Hui, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng ngày hôm sau vẫn nắng là $80\%$, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là $30\%$. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là $70\%$.

Câu 2. Hộp A chứa 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Hộp B chứa 2 quả bóng đỏ và 4 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp A bỏ sang hộp B, sau đó lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp B.

Câu 4: Một chủ vườn tại Huyện Cầu Kè, Tỉnh Trà Vinh vừa thu hoạch $1000$ trái dừa và bán toàn bộ cho một cơ sở thu mua dừa. Theo thống kê của chủ vườn, có $40\%$ số dừa là dừa sáp đạt chuẩn. Mỗi trái dừa nếu được phân loại là dừa sáp sẽ được mua với giá $80000$ đồng/trái; còn nếu bị phân loại là dừa thường (không sáp) thì giá thu mua là $13000$ đồng/trái. Cơ sở thu mua tiến hành kiểm định lại để phân loại từng trái dừa bằng kinh nghiệm, do đó việc phân loại có thể cho kết quả không chính xác, cụ thể như sau:
- Nếu trái dừa thật sự là dừa sáp, xác suất được phân loại đúng là $90\%$.
- Nếu trái dừa không phải là dừa sáp, xác suất bị phân loại nhầm là dừa sáp là $5\%$.

Câu 4. Một hệ thống bán lẻ nhập khẩu điện thoại từ hai nhà máy A và B. Biết rằng nhà máy A cung cấp $60\%$ số lượng, nhà máy B cung cấp $40\%$ số lượng. Tỉ lệ điện thoại đạt chuẩn của nhà máy A là $95\%$, của nhà máy B là $90\%$. Khi có đơn đặt hàng online, hệ thống sẽ xuất ngẫu nhiên $1$ chiếc điện thoại để giao. Quy trình xuất kho như sau: Nếu đơn hàng là giao hoả tốc, hệ thống chỉ xuất điện thoại từ kho của nhà máy A. Còn nếu đơn hàng là giao tiêu chuẩn, hệ thống xuất ngẫu nhiên $1$ chiếc điện thoại bất kỳ trong kho chung của cả $2$ nhà máy (xác suất chọn các máy là như nhau). Biết $20\%$ đơn hàng của hệ thống là giao hoả tốc, $80\%$ đơn hàng là giao tiêu chuẩn.