Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Gọi $P_t$ là dân số TP Hà Nội vào năm thứ $t$ sau năm 2019 thì dân số năm thứ $t+1$ sau năm 2019 $P_{t+1}=P_t+P_t.0,0228=1,0228.P_t$.

Vậy theo đầu bài dân số TP Hà Nội tăng trưởng theo cấp số nhân với công bội $q=1,0228$ tính từ năm 2019. Công thức tính dân số TP Hà Nội: $P_t=P_0.(1,0228{)}^t$ Trong đó:

$P_t$ là dân số sau t năm tính từ năm 2019

$P_0$ là dân số ban đầu tính mốc là năm 2019.

Thay số vào công thức: $P_{30}=8,06.(1,0228{)}^{30}\approx 15,89$ triệu người.

Làm tròn đến hàng phần mười triệu người: 15,9 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $q^3=\frac{u_6}{u_3}=\frac{486}{18}=27$ nên $q=3$ (mệnh đề a đúng). Suy ra $u_1=\frac{u_3}{q^2}=\frac{18}{9}=2$ (mệnh đề c sai vì $u_1=2\ne -2$). Tổng 5 số hạng đầu: $S_5=u_1\frac{q^5-1}{q-1}=2\cdot \frac{243-1}{2}=242$ (mệnh đề b đúng). Số hạng thứ 5: $u_5=u_3{q}^2=18\cdot 9=162\ne 54$ (mệnh đề d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$q^3=\frac{u_6}{u_3}=\frac{486}{18}=27\Rightarrow q=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=2$, $S_5=2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=242$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_3}{q^2}=\frac{18}{9}=2\ne -2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_3{q}^2=18\cdot 9=162\ne 54$.

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{9}{3}=3$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{16}{4}=4$. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 4: C).

$$\{\begin{array}{l}{u}_3+u_5=90\\ u_2-u_6=240\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.q^2+u_1.q^4=90\\ u_1.q-u_1.q^5=240\end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}{u}_1.q^2\left(1+q^2\right)=90(1)\\ u_1.q\left(1-q^4\right)=240(2)\end{array}$$
Lấy (1) chia (2), ta được:
$$\frac{q}{1-q^2}=\frac{3}{8}\iff 3q^2+8q-3=0\iff \left[\begin{array}{c}q=-3(TM)\\ q=\frac{1}{3}(KTM)\end{array}\right].$$
Với $q=-3$, thay vào (1), ta có: $u_1.(-3{)}^2.\left[1+(-3{)}^2\right]=90\iff u_1=1$.
Vậy số hạng thứ 7 là $u_7=u_1.q^6=1.(-3{)}^6=729$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=5$, nên $u_n=3\cdot 5^{n-1}$. Giải $3\cdot 5^{n-1}=29296875\Rightarrow 5^{n-1}=9765625=5^{10}\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=11$. Vậy 29296875 là số hạng thứ 11, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 17: 11).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=\frac{3}{2}$, $q=4$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_3=u_1\cdot q^{3-1}=\frac{3}{2}\cdot 4^2=\frac{3}{2}\cdot 16=24$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=5$, nên $u_n=3\cdot 5^{n-1}$. Giải $3\cdot 5^{n-1}=29296875\Rightarrow 5^{n-1}=9765625=5^{10}\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=11$. Vậy 29296875 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án nguồn (11).

Diện tích hình vuông ban đầu có cạnh bằng 4 là $S=4^2=16$. Diện tích hình vuông thứ nhất được tô màu khi chia hình vuông ban đầu thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau là $S_1=\frac{S}{4}$. Diện tích hình vuông thứ hai được tô màu là $S_2=\frac{1}{4}{S}_1=\frac{S}{4^2}$. Cứ tiếp tục như thế, ta được: $S_3=\frac{S}{4^3};S_4=\frac{S}{4^4};\dots ;S_n=\frac{S}{4^n};\dots$ Vậy tổng $T=S.\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots \right)$ (0,25 điểm)

Dãy số $(u_n)$: $\frac{1}{4};\frac{1}{4^2};\frac{1}{4^3};\dots ;\frac{1}{4^n};\dots$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có số hàng đầu $\frac{1}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$. (0,25 điểm)

Khi đó $\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots =\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$ (0,25 điểm)

Vậy tổng $T=16.\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=\frac{3}{2}$, công bội $q=4$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_3=u_1\cdot q^{3-1}=\frac{3}{2}\cdot 4^2=\frac{3}{2}\cdot 16=24$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-3$, $q=-2$. a) $u_7=u_1{q}^6=-3\cdot 64=-192\ne 192$ nên sai. b) $u_n=u_1{q}^{n-1}=-3\cdot (-2{)}^{n-1}$ đúng. c) $u_2=-3\cdot (-2)=6$ đúng. d) $S_{10}=u_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=-3\cdot \frac{1-1024}{3}=1023$ đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_7=u_1{q}^6=-3\cdot (-2{)}^6=-3\cdot 64=-192\ne 192$, nên số 192 không phải số hạng thứ 7.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1{q}^{n-1}=-3\cdot (-2{)}^{n-1}$, đúng với $u_1=-3$, $q=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_{1}q=-3\cdot (-2)=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=u_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=-3\cdot \frac{1-(-2{)}^{10}}{1-(-2)}=-3\cdot \frac{1-1024}{3}=1023$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=-2$ nên $u_n=u_1{q}^{n-1}=3\cdot (-2{)}^{n-1}$. Ta có $3072=3\cdot 1024=3\cdot 2^{10}=3\cdot (-2{)}^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 3072 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2103, câu 18 = 11).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=2$ nên $u_n=u_1\cdot q^{n-1}=2^{n-1}$. Ta có $2^{n-1}=1024=2^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 1024 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 2103, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có u1=-3, q=-2. a) u_n=u_1 q^{n-1}=-3·(-2)^{n-1} đúng. b) S_10=u_1(1-q^{10})/(1-q)=-3(1-1024)/3=1023 đúng. c) u_2=-3·(-2)=6 đúng. d) u_7=-3·(-2)^6=-3·64=-192≠192 nên số 192 không phải số hạng thứ 7, ý d sai. Kết quả khớp đáp án ĐĐĐS của mã đề 1246.
a) (AI giải đề cho tôi)
u_n=u_1 q^{n-1}=-3·(-2)^{n-1}.
b) (AI giải đề cho tôi)
S_10=-3·(1-(-2)^{10})/(1-(-2))=-3·(-1023)/3=1023.
c) (AI giải đề cho tôi)
u_2=u_1 q=-3·(-2)=6.
d) (AI giải đề cho tôi)
u_7=-3·(-2)^6=-192, khác 192 nên ý d sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, công bội $q=-2$, nên $u_n=3\cdot (-2{)}^{n-1}$. Ta có $3072=3\cdot 1024=3\cdot 2^{10}=3\cdot (-2{)}^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 3072 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 22 = 11).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=2$ nên $u_n=u_1\cdot q^{n-1}=2^{n-1}$. Ta có $2^{n-1}=1024=2^{10}$, suy ra $n-1=10$, tức $n=11$. Vậy 1024 là số hạng thứ 11, khớp với đáp án D trong bảng đáp án mã đề 1246.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=-4$. Áp dụng công thức tổng: $S_5=u_1\cdot \frac{1-q^5}{1-q}=2\cdot \frac{1-(-4{)}^5}{1-(-4)}=2\cdot \frac{1+1024}{5}=2\cdot \frac{1025}{5}=2\cdot 205=410$. Vậy $S_5=410$, khớp với đáp án C trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_3=u_1{q}^2$ và $u_7=u_5{q}^2$, nên $u_3+u_7=q^2(u_1+u_5)=9q^2=144\Rightarrow q^2=16$. Vì $q>0$ nên $q=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III câu 3: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: Xét từng dãy số.
- Dãy A: $1;2;3;4;5$ có $\frac{2}{1}=2$ nhưng $\frac{3}{2}\ne 2$, nên không phải cấp số nhân.
- Dãy B: $1;2;4;8;16$ có công bội $q=2$, là cấp số nhân.
- Dãy C: $1;-1;1;-1;1$ có công bội $q=-1$, là cấp số nhân.
- Dãy D: $1;-2;4;-8;16$ có công bội $q=-2$, là cấp số nhân.
Vậy dãy không phải cấp số nhân là dãy A, khớp đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q$, ta có $u_3=q^2{u}_1$ và $u_6=q^2{u}_4$. Do đó $u_3+u_6=q^2(u_1+u_4)=99$. Thay $u_1+u_4=11$ ta được $11q^2=99\Rightarrow q^2=9\Rightarrow q=\pm 3$. Vì $q>0$ nên $q=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Phần III Câu 4: 3).