Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x=0⟺x=0$ hoặc $x=4$, suy ra hai điểm cực trị là $A(0;2)$ và $B(4;-30)$. Khi đó diện tích tam giác $OAB$ là $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot |x_B|=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$ (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

- Ý a) Đúng: Vì $x^2+4>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
- Ý b) Đúng: Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x^2+4}=0$, nên trục hoành $y=0$ là đường tiệm cận ngang của $(C)$.
- Ý c) Sai: Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+4)-(2x-3)\cdot 2x}{(x^2+4{)}^2}=\frac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4{)}^2}=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$. Qua $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-1$ là điểm cực tiểu (còn $x=4$ là điểm cực đại).
- Ý d) Đúng: Trên $\mathbb{R}$, ${\min }_{\mathbb{R}}f(x)=f(-1)=-1$ và ${\max }_{\mathbb{R}}f(x)=f(4)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. Do đó tập giá trị của $f(x)$ là $[a;b]=\left[-1;\frac{1}{4}\right]$, suy ra $a+4b=-1+4\cdot \frac{1}{4}=0$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2+2x+2m-2}{(x+1{)}^2}$. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi $x^2+2x+2m-2=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1⟺{\Delta }^{\prime }=3-2m>0⟺m<\frac{3}{2}$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m=1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $158$.

Hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $d=0$.
Đồ thị cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$ và $B(3;0)$, nên phương trình có dạng:
$f(x)=ax(x-2)(x-3)=a(x^3-5x^2+6x).$

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$.
Điểm cực đại thuộc khoảng $(0;2)$ ứng với $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,785$.
Tại điểm cực đại, độ cao ngọn đồi là $528\text{ m}=0,528\text{ km}$, do đó:
$f(x_1)=0,528⟹a\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)=0,528⟹a\approx 0,25096.$

Điểm cực tiểu thuộc khoảng $(2;3)$ ứng với $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,549$.
Giá trị cực tiểu của hàm số:
$y_{\text{CT}}=f(x_2)=a\cdot x_2(x_2-2)(x_2-3)\approx 0,25096\cdot 2,549\cdot 0,549\cdot (-0,451)\approx -0,1583\text{ km}=-158,3\text{ m}.$

Độ sâu của hồ tại vị trí sâu nhất là $|y_{\text{CT}}|\approx 158\text{ m}$.

Đáp số: 158.

Lời giải chi tiết:
Hàm số $f(x)=2\sin x-x\Rightarrow f^{\prime }(x)=2\cos x-1$. Do đó ý c) đúng.
Giải phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$. Trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, phương trình có đúng $2$ nghiệm là $x=\pm \frac{\pi }{3}$. Do đó ý a) đúng.
Lập bảng biến thiên trên $[-\pi ;\pi ]$, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x_1=\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_1=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$ và đạt cực tiểu tại $x_2=-\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_2=-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}$. Do đó ý d) sai (vì điểm cực đại là $x=\frac{\pi }{3}$).
Tọa độ hai điểm cực trị là $A\left(\frac{\pi }{3};\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)$ và $B\left(-\frac{\pi }{3};-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị:
$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}\right)}^2}\approx \sqrt{2,094^2+1,370^2}\approx 2,502\approx 2,5$. Do đó ý b) đúng.
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 221, trang 4), Câu 3 (Phần III, câu 15) có đáp số là $4$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{2}{3}=0⟺f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}$. Đường thẳng $y=\frac{2}{3}\in (0;2)$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại $4$ điểm phân biệt mà qua đó $f^{\prime }(x)-\frac{2}{3}$ đổi dấu, nên hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $4,47$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=0⟺x=0\text{ hoặc }x=-2$. Hai điểm cực trị là $M(0;0)$ và $N(-2;-4)$, nên $MN=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}\approx 4,47$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $3,33$.

Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2$. Với $f(0)=\frac{13}{6}$, ta có $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{13}{6}$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=\frac{10}{3}\approx 3,33$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 2 (Phần 3, câu 18) có đáp số là $4$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{2025}{2024}=0⟺f^{\prime }(x)=\frac{2025}{2024}\in (1;2)$. Đường thẳng $y=\frac{2025}{2024}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại $4$ điểm phân biệt mà qua đó $g^{\prime }(x)$ đều đổi dấu, nên $g(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 2 (Phần 1) chọn đáp án B.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=-\frac{1}{2}$ và đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$, nên hàm số có đúng $1$ điểm cực đại.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 9), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+m$; $y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x+m=0(\ast )$.
Hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2\iff$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }=9-3m>0\iff m<3$.
Theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=\frac{m}{3}\end{array}\Rightarrow x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=3\iff (x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2=3\iff 4-m=3\iff m=1$.
Vậy $m_0=1\in (0;2)$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 8): Chọn C. Với $m=0$, hàm số $y=4x^2-2023$ có đúng $1$ điểm cực trị ($m=0$ thỏa mãn). Với $m\ne 0$, hàm trùng phương có đúng $1$ điểm cực trị khi và chỉ khi $-2m(m-2)\ge 0\iff 0<m\le 2$. Vậy $m\in \{0;1;2\}$, có $3$ giá trị nguyên.

Ta có $y^{\prime }=4(m-1)x^3-2(m^2-2)x$. Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ thì $y^{\prime }(-1)=0\iff -4(m-1)+2(m^2-2)=0\iff 2m^2-4m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$. Thử lại với $m=2$, $y=x^4-2x^2+2024$ đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ (với $m=0$, $x=-1$ là điểm cực đại). Vậy $m=2$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2x-\frac{1}{3}m$. Theo định lý Vi-ét, $x_1+x_2=2$ và $x_1{x}_2=-\frac{m}{3}$. Thay vào $x_1+x_2+2x_1{x}_2=0\Rightarrow 2-\frac{2m}{3}=0\iff m=3$ (thỏa mãn ${\Delta }^{\prime }=1+\frac{m}{3}=2>0$).

Hàm số $f(x)=x^4-2x^2-3$ có $3$ điểm cực trị ($x=0,x=\pm 1$) và phương trình $x^4-2x^2-3=0\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$ có $2$ nghiệm đơn. Vậy hàm số $y=|f(x)|$ có $3+2=5$ điểm cực trị.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 34, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 42 (D), Mã đề 103 Câu 40 (B), Mã đề 104 Câu 41 (A); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn A
$y^{\prime }=x^3-3x^2+1-m$.
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0\iff x^3-3x^2+1=m$ phải có 3 nghiệm phân biệt.
Xét $f(x)=x^3-3x^2+1$: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0;x=2$.
$f(0)=1,f(2)=-3$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $-3<m<1$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0\}$. Có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Với $a=-3$: $y=3$ là hàm hằng nên không có cực trị.
Với $a=3$: $y=-6x^2+3$ đạt cực đại tại $x=0$.
Với $a\ne \pm 3$: $y^{\prime }=4(a^2-9)x^3-2(a+3)x=2x\left[2(a^2-9)x^2-(a+3)\right]=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x^2=\frac{1}{2(a-3)}(\ast )</td></tr></tbody></table>$.
- TH1: $a>3$, khi đó $(\ast )$ có $2$ nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{\frac{1}{2(a-3)}}$, hàm số có $3$ cực trị nên luôn có điểm cực đại.
- TH2: $-3<a<3$, khi đó $a^2-9<0$ và $-(a+3)<0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
- TH3: $a<-3$, khi đó $a^2-9>0$ và $-(a+3)>0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm, hàm số chỉ đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $a>-3$, kết hợp $a\in [-10;10]$ và $a\in \mathbb{Z}$ ta có $a\in \{-2;-1;0;1;\dots ;10\}$ gồm $13$ số nguyên. Chọn A.

Hàm số có $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=12x^3-18x^2+m=0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt $\iff m=-12x^3+18x^2$ có $3$ nghiệm phân biệt. Xét $g(x)=-12x^3+18x^2$ có $g^{\prime }(x)=-36x^2+36x=0\iff x=0$ hoặc $x=1$, $g(0)=0,g(1)=6$. Do đó $0<m<6$, suy ra $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (có $5$ giá trị nguyên). (Nguồn: đề trang 5, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).