Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-x+9}{2x-1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1/2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(4x-1)(2x-1)-2(2x^2-x+9)}{(2x-1{)}^2}=\frac{4x^2-4x-17}{(2x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=\frac{1\pm 3\sqrt{2}}{2}$. Xét dấu $y^{\prime }$: tại $x=\frac{1-3\sqrt{2}}{2}$ hàm số đạt cực đại. Thay vào: $2x^2-x+9=18-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ và $2x-1=-3\sqrt{2}$, nên $y_{CD}=\frac{18-\frac{3\sqrt{2}}{2}}{-3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}-3\sqrt{2}\approx -3,74$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x+2)(x^2+x-2)(x-1{)}^4=x^2(x+2{)}^2(x-1{)}^5$. Các nhân tử $x^2$ và $(x+2{)}^2$ luôn không âm, chỉ nhân tử $(x-1{)}^5$ đổi dấu qua $x=1$. Xét dấu: với $x<1$, $f^{\prime }(x)\le 0$ (bằng 0 tại $x=-2,0$ nhưng không đổi dấu qua các điểm này); với $x>1$, $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số chỉ có một điểm cực trị là $x=1$ (cực tiểu). Đáp án D.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y=2ax+b$. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(-3;-5)$ và $B(1;3)$. Phương trình đường thẳng $AB:y=2x+1$. Suy ra $\{\begin{array}{l}2a=2\\ b=1\end{array}\Rightarrow a+2b=3$.

Ta có $g(x)=h(x)\iff f(x)-x+2=f(x)+4x-8\iff x=2$.
Vậy đồ thị hàm số $y=g(x)$ và $y=h(x)$ cắt nhau tại điểm có hoành độ $x=2$.
Lại có $\{\begin{array}{l}g(0)=f(0)+2\\ h(0)=f(0)-8\end{array}\Rightarrow g(0)>h(0)$.
Vậy trên khoảng $(-\infty ;2)$, đồ thị hàm số $y=g(x)$ là đường nằm bên trên.
Suy ra hàm số $y=g(x)$ đạt cực trị tại $x=2$.
Do đó $g^{\prime }(2)=0$ hay $f^{\prime }(2)-1=0\iff f^{\prime }(2)=1$.

Đồ thị hàm số đi qua $A(0;-3)⟹c=-3$.
Ta có: $y^{\prime }=4a{x}^3+2bx=2x(2a{x}^2+b)$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=-1⟹2a(-1{)}^2+b=0\iff 2a+b=0⟹b=-2a$.
Đồ thị đi qua $B(-1;-5)⟹a(-1{)}^4+b(-1{)}^2+c=-5\iff a+b-3=-5\iff a+b=-2$.
Thay $b=-2a$ vào: $a-2a=-2⟹-a=-2⟹a=2$.
Suy ra $b=-4$.
Vậy $P=a+2b+3c=2+2(-4)+3(-3)=2-8-9=-15$.

Tập xác định $D=(-1;+\infty )$.
- a) Đúng: $f(3)=3\cdot 3-{\log }_4(3+1)=9-1=8$.
- d) Sai: $f^{\prime }(x)=3-\frac{1}{(x+1)\ln 4},\forall x\in (-1;+\infty )$.
- b) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x=x_0=\frac{1}{3\ln 4}-1\in (-1;0)$ là nghiệm đơn duy nhất nên hàm số có đúng một điểm cực trị.
- c) Sai: Trên $(-1;x_0)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;0)$.

Tập xác định $D=(-1;+\infty )$.
- c) Sai: $f^{\prime }(x)=2-\frac{1}{(x+1)\ln 5},\forall x\in (-1;+\infty )$.
- b) Sai: $f(4)=2\cdot 4-{\log }_{5}5=8-1=7$.
- a) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{1}{2\ln 5}-1\in (-1;0)$, qua đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số có một điểm cực tiểu.
- d) Đúng: Với mọi $x>0$, $x+1>1>\frac{1}{2\ln 5}$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Tập xác định $D=(-1;+\infty )$.
- c) Đúng: $f^{\prime }(x)=5-\frac{1}{(x+1)\ln 3},\forall x\in (-1;+\infty )$.
- d) Đúng: $f(2)=5\cdot 2-{\log }_3(2+1)=10-1=9$.
- a), b) Sai: Giải $f^{\prime }(x)=0\iff x+1=\frac{1}{5\ln 3}\iff x=x_0=\frac{1}{5\ln 3}-1\in (-1;0)$. Bảng biến thiên cho thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x_0$ nên $f(x)$ có một điểm cực tiểu tại $x_0\in (-1;0)$ (không có cực đại và không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;0)$).

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6(m+1)x+3(m-1{)}^2$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì điều kiện cần là $y^{\prime }(1)=0$:
$3(1{)}^2-6(m+1)(1)+3(m-1{)}^2=0⟺1-2m-2+m^2-2m+1=0⟺m^2-4m=0⟺m=0$ hoặc $m=4$.
Thử lại:
- Với $m=0$: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, do đó $y^{\prime }$ không đổi dấu khi qua $x=1$, hàm số không đạt cực trị tại $x=1$.
- Với $m=4$: $y^{\prime }=3x^2-30x+27=3(x-1)(x-9)$, đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=1$, hàm số đạt cực đại tại $x=1$.
Vậy chỉ có $m=4$ thỏa mãn. Chọn C.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+27=3(x^2-2mx+9)$.

Hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ khi phương trình $x^2-2mx+9=0$ có hai nghiệm phân biệt:
${\Delta }^{\prime }=m^2-9>0\iff m>3(\text{do }m>0)$

Theo định lí Vi-ét, ta có:
$\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=2m\\ & x_1{x}_2=9\end{array}$

Điều kiện $|x_1-x_2|\le 5\iff (x_1-x_2{)}^2\le 25$:
$(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2\le 25\iff 4m^2-36\le 25\iff 4m^2\le 61\iff m^2\le \frac{61}{4}\iff m\le \frac{\sqrt{61}}{2}$

Kết hợp $m>3$, ta được tập giá trị dương của $m$ là:
$S=\left(3;\frac{\sqrt{61}}{2}\right]$

Suy ra $a=3$ và $b=\frac{\sqrt{61}}{2}$.

Khi đó:
$T=2b-a=2\cdot \frac{\sqrt{61}}{2}-3=\sqrt{61}-3$

* Với $m=-2$, hàm số trở thành $y=3x^2-2x-5$.
$y^{\prime }=6x-2$, $y^{\prime }=0⟹x=\frac{1}{3}$. Vì $y^{\prime }=0$ có nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm nên với $m=-2$ hàm số có cực trị.
* Với $m\ne -2$, $y^{\prime }=3(m+2)x^2+6x+m$. Để hàm số có cực trị thì ${\Delta }^{\prime }>0⟹9-3m(m+2)>0⟺m^2+2m-3<0⟺-3<m<1$.
Kết hợp cả hai trường hợp suy ra $-3<m<1$. Chọn B.

Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta thấy:
- Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}>0\Rightarrow c,d$ trái dấu.
- Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0\Rightarrow a,c$ cùng dấu.
- Giao điểm với trục tung $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ có tung độ âm: $\frac{b}{d}<0\Rightarrow b,d$ trái dấu.
- Giao điểm với trục hoành $\left(-\frac{b}{a};0\right)$ có hoành độ âm: $-\frac{b}{a}<0\Rightarrow \frac{b}{a}>0\Rightarrow a,b$ cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, chọn $c>0\Rightarrow a>0,d<0,b>0$.
Xét hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$.
Vì $a>0$ và $c>0$ nên $3a\cdot c>0$, suy ra phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$? Khoan, xét dấu: giao điểm với trục tung và hoành:
Đồ thị cắt $Oy$ ở phía dưới gốc $O$, cắt $Ox$ ở bên trái gốc $O$, hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có $3a\cdot c<0$ khi xét chuẩn các hệ số của hình vẽ, do đó hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị trái dấu.

Ta có đạo hàm:
$y^{\prime }=3(x+2{)}^2(x-4{)}^4+4(x+2{)}^3(x-4{)}^3=(x+2{)}^2(x-4{)}^3[3(x-4)+4(x+2)]=(x+2{)}^2(x-4{)}^3(7x-4)$.
Phương trình $y^{\prime }=0$ có nghiệm $x=-2$ (nghiệm bội chẵn, bậc 2), $x=4$ (nghiệm bội lẻ, bậc 3) và $x=\frac{4}{7}$ (nghiệm đơn).
Do đó $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu khi qua 2 nghiệm $x=4$ và $x=\frac{4}{7}$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $ab<0$:
$(m+1)(-m)<0⟺m(m+1)>0⟺[\begin{array}{rl}& m>0\\ & m<-1.\end{array}$
Vậy $m\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.

Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y^{\prime }=3x^2-3$:
$x^3-3x+1=\frac{x}{3}(3x^2-3)-2x+1$
Phần dư của phép chia chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$: $y=-2x+1$.

Xét hàm số $g(x)=f(x-2018)-2019x+1$.
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2018)-2019$.
$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x-2018)=2019$.
Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, đường thẳng $y=2019$ nằm phía trên và cắt đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ tại duy nhất 1 điểm (hoặc giá trị cực đại của $f^{\prime }$ nhỏ hơn 2019 và $f^{\prime }(x)\to +\infty$ ở 1 nhánh).
Do đó phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có đúng 1 nghiệm đơn, hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Hàm số $y=f(x)$ đổi dấu đạo hàm tại $x=-3$ và $x=m$. Để $g(x)=f(|x|)$ có $3$ điểm cực trị thì $f(x)$ có đúng $1$ điểm cực trị dương, tức là $m>0$. Với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-5;5]$, ta có $m\in \{1;2;3;4;5\}$, có $5$ giá trị nguyên.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, qua điểm $x=1$ thì $f^{\prime }(x)+1$ đổi dấu từ âm sang dương nên $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

Xét hàm số $y=-x^3+m{x}^2+(m^2-12)x+2$:
- $y^{\prime }=-3x^2+2mx+m^2-12$.
- Để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì:
$y^{\prime }(-1)=0⟺-3(-1{)}^2+2m(-1)+m^2-12=0⟺m^2-2m-15=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=-3</td></tr><tr><td>m=5</td></tr></tbody></table>$.
Kiểm tra lại:
- Với $m=-3$: $y^{\prime }=-3x^2-6x-3=-3(x+1{)}^2\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị. Loại $m=-3$.
- Với $m=5$: $y^{\prime }=-3x^2+10x+13=-(x+1)(3x-13)$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Thỏa mãn $m=5$.
Giá trị $m=5$ thuộc khoảng $(3;6)$. Chọn D.

Chọn D.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm phân thức $y=\frac{u(x)}{v(x)}$ là $y=\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}=\frac{2x-m}{1}=2x-m$.
Để ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì điểm $C(4;2)$ phải thuộc đường thẳng này:
$2=2(4)-m\iff m=6$.
Với $m=6$, kiểm tra điều kiện hàm số có hai điểm cực trị và $A,B,C$ phân biệt, không tồn tại giá trị thỏa mãn bài toán. Do đó số phần tử của $S$ là $0$.