Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$.
a) $v(2)=3\cdot 4-12+7=7$ (m/s) → đúng.
b) $a(2)=12-6=6$ (m/s²) → đúng.
c) $v(t)=16\iff 3t^2-6t+7=16\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (nhận, $t>0$). Khi đó $a(3)=18-6=12\ne 10$ (m/s²) → sai.
d) $v^{\prime }(t)=6t-6=0\iff t=1$; $v^{\prime }(t)<0$ với $t<1$, $v^{\prime }(t)>0$ với $t>1$ nên $v$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=1$ ($v(1)=4$ m/s) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-6t+7$, nên $v(2)=12-12+7=7$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-6$, nên $a(2)=6$ (m/s²).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=16\iff t=3$ (với $t>0$), khi đó $a(3)=12$ (m/s²), không phải 10.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=6t-6$ đổi dấu từ âm sang dương tại $t=1$, nên $v$ đạt nhỏ nhất tại $t=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+2t+1$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+2$. Gia tốc triệt tiêu: $-6t+2=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$ (giây). Khi đó $k=v\left(\frac{1}{3}\right)=-3\cdot \frac{1}{9}+2\cdot \frac{1}{3}+1=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+1=\frac{4}{3}$ (m/s), thỏa $k>0$. Vậy $P=\frac{4}{k}=\frac{4}{4/3}=3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1145, Phần III câu 3 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+2$. Cho $v(t)=17$: $3t^2-4t+2=17\iff 3t^2-4t-15=0\iff t=3$ (nhận, $t>0$) hoặc $t=-5/3$ (loại). Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-4$, nên $a(3)=6\cdot 3-4=14$ (m/s${}^2$).

(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-2t+5$, $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-2$. a) $v(2)=12-4+5=13\ne 9$ → sai. b) $a(3)=18-2=16$ → đúng. c) $3t^2-2t+5=45\iff 3t^2-2t-40=0\iff t=4$ (nhận), $s(4)=64-16+20+2=70$ m → đúng. d) $6t-2=34\iff t=6$, $v(6)=108-12+5=101$ m/s → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-2t+5$ nên $v(2)=12-4+5=13\ne 9$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-2$ nên $a(3)=18-2=16$ m/s².
c) (AI giải đề cho tôi)
$3t^2-2t+5=45\iff 3t^2-2t-40=0\iff t=4$; $s(4)=64-16+20+2=70$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$6t-2=34\iff t=6$; $v(6)=108-12+5=101$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+2$. Giải $3t^2-4t+2=17\iff 3t^2-4t-15=0\iff t=3$ (nhận) hoặc $t=-5/3$ (loại vì $t\ge 0$). Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-4$, nên $a(3)=6\cdot 3-4=14(m/s^2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: v(t) là parabol nhánh hướng xuống, đi qua (0;3), đạt cực đại 9 tại t=2. Viết v(t)=a(t-2)²+9. Vì v(0)=3 nên 4a+9=3 ⇒ a=-1,5. Vậy v(t)=-1,5t²+6t+3 (kiểm tra: v(3)=-13,5+18+3=7,5, đồ thị cắt trục hoành gần t=3, khớp hình vẽ). Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: a(t)=v'(t)=-3t+6. Tại t=1: a(1)=-3+6=3 (m/s²).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t=-3t(t-4)$, với $t\in [0;4]$. Xét $v(t)=-3t^2+12t$ trên $[0;4]$: $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\iff t=2$. Vì $v^{\prime }(t)>0$ khi $t<2$ và $v^{\prime }(t)<0$ khi $t>2$ nên $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ giây, với $v(2)=-12+24=12$ (m/s). Gia tốc là $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+12$. Tại $t=2$: $a(2)=-6\cdot 2+12=0(m/s^2)$. Vậy khi chất điểm có vận tốc lớn nhất (tại $t=2$ giây), gia tốc của chất điểm bằng $0m/s^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y={\sin }^{3}x$, ta có $y^{\prime }=3{\sin }^{2}x\cos x$. Do đó $y^{\prime \prime }=3(2\sin x\cos x\cdot \cos x+{\sin }^{2}x\cdot (-\sin x))=6\sin x{\cos }^{2}x-3{\sin }^{3}x=6\sin x(1-{\sin }^{2}x)-3{\sin }^{3}x=6\sin x-9{\sin }^{3}x=6\sin x-9y$. Suy ra $y^{\prime \prime }+9y-6\sin x=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{2x-x^2}$, ta có $y^2=2x-x^2$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{y}$. Do đó $y^{\prime \prime }=\frac{-y-(1-x)y^{\prime }}{y^2}=\frac{-y^2-(1-x{)}^2}{y^3}=\frac{-(2x-x^2)-(1-2x+x^2)}{y^3}=\frac{-1}{y^3}$. Vậy $A=y^3\cdot y^{\prime \prime }=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+2$. Cho $v(t)=7$: $t^2-4t+2=7\iff t^2-4t-5=0\iff t=5$ (nhận, vì $t>0$; $t=-1$ loại). Gia tốc tức thời: $a(t)=v^{\prime }(t)=2t-4$. Tại $t=5$: $a(5)=2\cdot 5-4=6m/s^2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=-0,01t^3+1,1t^2-30t+250$.

a) $h^{\prime }(t)=-0,03t^2+2,2t-30$, không phải $-0,01t^2+2,2t-30$ (đạo hàm của $-0,01t^3$ là $-0,03t^2$). → Sai.

b) $h^{\prime \prime }(t)=-0,06t+2,2$. → Đúng.

c) $a(t)=1,6\Rightarrow -0,06t+2,2=1,6\Rightarrow t=10$. Khi đó $h(10)=-0,01(1000)+1,1(100)-300+250=-10+110-300+250=50$ km. → Đúng.

d) $v(t)=-0,03t^2+2,2t-30$ có đỉnh tại $t=\frac{2,2}{0,06}\approx 36,7>30$, nên trên $[0;30]$ hàm $v$ đồng lòng tăng và đạt max tại $t=30$: $v(30)=-27+66-30=9$ km/s, không phải $10,3$ km/s. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(t)=-0,03t^2+2,2t-30$, không phải $-0,01t^2+2,2t-30$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime \prime }(t)=-0,06t+2,2$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-0,06t+2,2=1,6\Rightarrow t=10$; $h(10)=-10+110-300+250=50$ km.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-0,03t^2+2,2t-30$ đồng lòng tăng trên $[0;30]$ (đỉnh tại $t\approx 36,7$), max tại $t=30$: $v(30)=9$ km/s, không phải $10,3$ km/s.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $s(t)=6\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$ ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$ và $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=-54\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$. a) Sai vì $v(t)=s^{\prime }(t)$ chứ không phải $s^{\prime \prime }(t)$. b) Đúng vì gia tốc là đạo hàm của vận tốc. c) Tại $t=\frac{\pi }{12}$: $3t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ nên $v=18\cos \frac{\pi }{2}=0$, chất điểm đứng yên → Đúng. d) $|a(t)|\le 54$, đạt max $54$ khi $\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=\pm 1$, tức $3t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$; khi đó $\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=0$ nên $v=0$, chất điểm đứng yên → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, không phải $s^{\prime \prime }(t)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=-54\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=\frac{\pi }{12}$, $3t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ nên $v=18\cos \frac{\pi }{2}=0$: chất điểm đứng yên.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|a(t)|\le 54$ với max $54$ khi $\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=\pm 1$, khi đó $\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=0$ nên $v=0$: đúng tại các thời điểm chất điểm đứng yên.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$.
a) $v(2)=3\cdot 4-12+7=7m/s$ → đúng.
b) $a(2)=12-6=6m/{\mathrm{s}}^2$ → đúng.
c) $v(t)=16\iff 3t^2-6t+7=16\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (vì $t>0$). Khi đó $a(3)=18-6=12m/{\mathrm{s}}^2\ne 10$ → sai.
d) $v(t)=3(t-1{)}^2+4\ge 4$, đạt giá trị nhỏ nhất $4m/s$ tại $t=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-6t+7$, nên $v(2)=12-12+7=7m/s$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-6$, nên $a(2)=6m/{\mathrm{s}}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=16\Rightarrow t=3$, khi đó $a(3)=12m/{\mathrm{s}}^2\ne 10m/{\mathrm{s}}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3(t-1{)}^2+4$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4m/s$ tại $t=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s(t)=\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$. a) Đạo hàm: $s^{\prime }(t)=\sqrt{2}\cdot 4\pi \cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, khẳng định a thiếu hệ số $4\pi$ nên SAI. b) $s^{\prime }(0)=4\pi \sqrt{2}\cos \frac{\pi }{6}=4\pi \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\pi \sqrt{6}$ → ĐÚNG. c) Gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$; tại $t=3$: $4\pi \cdot 3+\frac{\pi }{6}=12\pi +\frac{\pi }{6}$ nên $\sin =\frac{1}{2}$, $a=-8{\pi }^2\sqrt{2}\approx -111,7cm/s^2$ → ĐÚNG. d) $v(t)=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$ nên $\frac{v^2(t)}{16{\pi }^2}=2{\cos }^2\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$ và $s^2(t)=2{\sin }^2\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, cộng lại bằng $2$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $s^{\prime }(t)=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, khẳng định thiếu hệ số $4\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(0)=4\pi \sqrt{2}\cos \frac{\pi }{6}=4\pi \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\pi \sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime \prime }(t)=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$; tại $t=3$, sin $=\frac{1}{2}$ nên $a=-8{\pi }^2\sqrt{2}\approx -111,7cm/s^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^2(t)=2{\sin }^2\phi$, $\frac{v^2(t)}{16{\pi }^2}=2{\cos }^2\phi$ với $\phi =4\pi t+\frac{\pi }{6}$, tổng bằng $2$.

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=S'(t)=-3t^2+30t+60, gia tốc a(t)=-6t+30. Vận tốc đạt max khi a=0, tức t=5 (s), v_max=v(5)=135 m/s; từ đó tàu chuyển động đều.
a) S(0,5)=-0,125+3,75+30=33,625 m → Đúng.
b) v(1)=-3+30+60=87 m/s ≠ 86,9 → Sai.
c) v=108: -3t^2+30t+60=108 ⇔ t^2-10t+16=0 ⇔ t=2 (lần đầu). a(2)=-12+30=18 m/s^2 ≠ 17 → Sai.
d) Giai đoạn 1 (0→5s): S(5)=-125+375+300=550 m. Giai đoạn 2 (55s tiếp theo): 135·55=7425 m. Tổng: 550+7425=7975 m → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S(0,5)=-0,125+3,75+30=33,625 m, đúng bằng 33,625 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(1)=-3(1)^2+30(1)+60=87 m/s, không phải 86,9 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải -3t^2+30t+60=108 cho t=2 (lần đầu). Khi đó a(2)=-6(2)+30=18 m/s^2, không phải 17 m/s^2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường 0→5s: S(5)=550 m; sau đó chuyển động đều 135 m/s trong 55s: 7425 m. Tổng 7975 m.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{1}{2}{x}^2{e}^x$, ta có $y^{\prime }=\frac{1}{2}(2x+x^2)e^x=\frac{1}{2}(x^2+2x)e^x$ và $y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}(2x+2)e^x+\frac{1}{2}(x^2+2x)e^x=\frac{1}{2}(x^2+4x+2)e^x$. Khi đó $y^{\prime \prime }-y^{\prime }=\frac{1}{2}(x^2+4x+2-x^2-2x)e^x=(x+1)e^x$. Vậy $y^{\prime \prime }-y^{\prime }=e^x(x+1)$, đáp án C. (Kiểm tra thêm: $y^{\prime \prime }+y^{\prime }=(x^2+3x+1)e^x$, không khớp A, B.)

Ta có: Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là $v(t)=x^{\prime }(t)=-4\pi \sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Gia tốc $a(t)=x^{\prime \prime }(t)=-\frac{8{\pi }^2}{5}\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Gia tốc bằng 0 tức là $-\frac{8{\pi }^2}{5}\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff t=\frac{5}{12}+\frac{5}{2}k,k\in \mathbb{Z}$. Do $t\ge 0$ nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc bằng 0 tương ứng với $k=1$, tức là tại thời điểm $t=\frac{5}{12}+\frac{5}{2}=\frac{35}{12}$ (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{3}{2}{t}^2-6t$. Xét $v^{\prime }(t)=3t-6=0\iff t=2$. Vì $v^{\prime }(t)<0$ khi $t<2$ và $v^{\prime }(t)>0$ khi $t>2$ nên $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=2$ (khi đó $v(2)=-6$ m/s). Gia tốc tức thời $a(t)=v^{\prime }(t)=3t-6$, suy ra $a(2)=3\cdot 2-6=0$ m/s${}^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III, câu 4: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$. Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-6}{2\cdot (-3/2)}=2$, nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ (giây). Gia tốc tức thời: $a(t)=v^{\prime }(t)=-3t+6$. Tại $t=2$: $a(2)=-3\cdot 2+6=0$ (m/s${}^2$). Kết quả trùng với đáp án nguồn (0).

(AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], đồ thị là parabol $v(t)=a(t-2{)}^2+9$ (đỉnh $I(2;9)$). Vì $v(0)=4$ nên $4a+9=4\Rightarrow a=-\frac{5}{4}$, tức $v(t)=-\frac{5}{4}(t-2{)}^2+9$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=-\frac{5}{2}(t-2)=\frac{5}{2}(2-t)$, là hàm giảm theo $t$, nên trên $\left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]$ gia tốc lớn nhất tại $t=\frac{1}{4}$: $a_{\max }=\frac{5}{2}\cdot \frac{7}{4}=\frac{35}{8}=4,375\approx 4,38$ (km/h²). Khớp với đáp án nguồn 4,38.