Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) sin α = (√6+√2)/4 = sin75°, nhưng với α ∈ [0°;180°] thì sin α = sin(180°−α) nên α = 75° hoặc α = 105°, do đó khẳng định α = 75° là Sai. b) cot α = 1/2 ⇒ tan α = 2 ⇒ α ≈ 63,43° (không phải 26,57°), Sai. c) cot(180°−α) = cos(180°−α)/sin(180°−α) = (−cos α)/(sin α) = −cot α ≠ cot α, Sai. d) α = 36°26'16” = 36 + 26/60 + 16/3600 ≈ 36,4378°, tan(36,4378°) ≈ 0,7381 ≈ 0,738, Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin α = (√6+√2)/4 = sin75°. Vì 0° ≤ α ≤ 180° và sin(180°−α) = sin α nên α = 75° hoặc α = 105°. Do đó không kết luận được α = 75° → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cot α = 1/2 ⇒ tan α = 2 ⇒ α = arctan(2) ≈ 63,43°, không phải 26,57° → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cot(180°−α) = cos(180°−α)/sin(180°−α) = (−cos α)/sin α = −cot α ≠ cot α → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
α = 36°26'16” = 36° + (26/60)° + (16/3600)° ≈ 36,4378°. tan(36,4378°) ≈ 0,7381 ≈ 0,738 → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha +\beta =180^{\circ }$ nên $\beta =180^{\circ }-\alpha$. Theo công thức góc bù: $\sin \beta =\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$. Vậy $\sin \alpha =\sin \beta$, chọn B. Kiểm tra: với $\alpha =30^{\circ },\beta =150^{\circ }$ thì $\sin 30^{\circ }=\sin 150^{\circ }=0,5$ đúng; $\cos \beta =-\cos \alpha \ne \sin \alpha$ nói chung nên A, C sai; D sai vì $\sin \alpha =-\sin \beta$ chỉ đúng khi cả hai bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Với góc $120^{\circ }$ (góc phần tư thứ II): $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (đúng, D đúng); $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (đúng, B đúng); $\tan 120^{\circ }=\frac{\sin 120^{\circ }}{\cos 120^{\circ }}=-\sqrt{3}$ (đúng, A đúng); $\cot 120^{\circ }=\frac{\cos 120^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên khẳng định $\cot 120^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ là sai. Đáp án khớp với mã đề 102 (câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (đúng, D), $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (đúng, A), $\tan 120^{\circ }=\frac{\sin 120^{\circ }}{\cos 120^{\circ }}=-\sqrt{3}$ (đúng, B), còn $\cot 120^{\circ }=\frac{\cos 120^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$. Vậy đẳng thức sai là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (sin của góc bù bằng sin của góc). Ví dụ kiểm tra: với $\alpha =30^{\circ }$, $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1111: C).

Đáp án: 1. Giải thích: Ta có: $M=\sin \frac{\pi }{16}-\sin \frac{5\pi }{16}=2\cos \frac{\frac{\pi }{16}+\frac{5\pi }{16}}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{16}-\frac{5\pi }{16}}{2}=2\cos \frac{3\pi }{16}\sin \left(-\frac{\pi }{8}\right)$. Suy ra $a=-\frac{1}{8};b=\frac{3}{16}$. Vậy $4a+8b=4.\left(-\frac{1}{8}\right)+8.\frac{3}{16}=1$

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức cộng hai góc: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. Vậy biểu thức $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ bằng $\sin (a+b)$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án của đề (Mã đề 209, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức cộng hai góc: $\sin a\cos b+\cos a\sin b=\sin (a+b)$. Ví dụ kiểm tra với $a=b=30^{\circ }$: $\sin 30^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 30^{\circ }\sin 30^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^{\circ }=\sin (a+b)$. Đáp án khớp với bảng hướng dẫn chấm (Câu 10, Mã đề 132: A).

Đáp án: 1. Giải thích: Ta có: $M=\sin \frac{\pi }{16}-\sin \frac{5\pi }{16}=2\cos \frac{\frac{\pi }{16}+\frac{5\pi }{16}}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{16}-\frac{5\pi }{16}}{2}=2\cos \frac{3\pi }{16}\sin \left(-\frac{\pi }{8}\right)$. Suy ra $a=-\frac{1}{8};b=\frac{3}{16}$. Vậy $4a+8b=4.\left(-\frac{1}{8}\right)+8.\frac{3}{16}=1$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-4\sqrt{3}-3}{10}$. Suy ra $a=-4$, $b=-3$, do đó $T=2a-3b=2(-4)-3(-3)=-8+9=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 4: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Áp dụng công thức cộng: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$. Suy ra $a=-3$, $b=-4$, do đó $T=3a-2b=3(-3)-2(-4)=-9+8=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos x=\frac{1}{2\sqrt{5}}$ ta có ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{20}$. Theo hệ thức cơ bản ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$. Do đó $P=4{\sin }^{2}x+5{\cos }^{2}x=4\cdot \frac{19}{20}+5\cdot \frac{1}{20}=\frac{76+5}{20}=\frac{81}{20}=4,05$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,05.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ thì $\tan \alpha ,\cot \alpha$ xác định. Ta có $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ và $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, nên:
$$2\sin \alpha \cdot \cot \alpha -\cos \alpha \cdot \tan \alpha =2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }-\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\cos \alpha -\sin \alpha .$$
Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, ta có $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ và $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ (các biểu thức xác định vì $\sin \alpha >0,\cos \alpha >0$). Khi đó: $2\sin \alpha \cdot \cot \alpha =2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\cos \alpha$; $\cos \alpha \cdot \tan \alpha =\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sin \alpha$. Vậy $2\sin \alpha \cdot \cot \alpha -\cos \alpha \cdot \tan \alpha =2\cos \alpha -\sin \alpha$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}$ thì ${\cos }^{2}x=\frac{4}{5}$, suy ra ${\sin }^{2}x=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$. Do đó $P=2\cdot \frac{1}{5}+3\cdot \frac{4}{5}=\frac{2+12}{5}=\frac{14}{5}=2,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,8.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng thành tích: $\sin 9\alpha +\sin 3\alpha =2\sin 6\alpha \cos 3\alpha$ và $\cos 9\alpha +\cos 3\alpha =2\cos 6\alpha \cos 3\alpha$. Do đó $\frac{\sin 9\alpha +\sin 3\alpha }{\cos 9\alpha +\cos 3\alpha }=\frac{2\sin 6\alpha \cos 3\alpha }{2\cos 6\alpha \cos 3\alpha }=\tan 6\alpha$ (với điều kiện các mẫu khác 0). Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng thành tích: $\sin 9\alpha +\sin 3\alpha =2\sin 6\alpha \cos 3\alpha$ và $\cos 9\alpha +\cos 3\alpha =2\cos 6\alpha \cos 3\alpha$. Do đó biểu thức $=\frac{2\sin 6\alpha \cos 3\alpha }{2\cos 6\alpha \cos 3\alpha }=\tan 6\alpha$ (với $\cos 6\alpha \cos 3\alpha \ne 0$). Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a\Rightarrow 2{\sin }^{2}a=1-\cos 2a$. B sai vì công thức đúng là $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$, không phải $2\cos a-1$. C đúng (công thức nhân đôi). D đúng (công thức cộng). Vậy khẳng định SAI là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sin \frac{\pi }{6}}{\cos \frac{\pi }{6}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$. Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\cos \alpha <0$, nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{21}{25}}=-\frac{2}{5}$. Do đó $A=3\left(-\frac{2}{5}\right)-4{\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)}^3=-\frac{6}{5}-\frac{84\sqrt{21}}{125}\approx -1,2-3,078\approx -4,278\approx -4,3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-4,3$.