Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

Cho giới hạn $L=\lim \sqrt{3+\frac{a{n}^2-1}{3+n^2}-\frac{1}{2^n}}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho giới hạn $L=\lim \sqrt{3+\frac{a{n}^2-1}{3+n^2}-\frac{1}{2^n}}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Bạn Ngọc thả một quả bóng cao su từ độ cao $20m$ so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng hai phần ba độ cao lần rơi ngay trước đó. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển được từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Xét dãy vô hạn các hình vuông $V_1,V_2,V_3\dots$ được đặt kề nhau như hình vẽ. Trong đó, $V_1$ có cạnh bằng 1 và kể từ hình vuông thứ hai trở đi, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh hình vuông kề trước nó. Một con kiến xuất phát từ đỉnh $A$ của $V_1$, đi ngang sang phải và dọc xuống dưới theo các nét tô đậm của tất cả các hình vuông. Tính quãng đường đi được của con kiến.

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng $a$ ($a>0$). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành sáu phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Từ hình vuông $H_2$ lại làm như trên được hình vuông $H_3$; cứ tiếp tục như vậy ta nhận được dãy các hình vuông $H_1,H_2,H_3,...,H_n,...$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $H_i$ $(i\in \{1;2;3;...\})$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+...+S_n+...$. Biết $T=90$, tính $a$.

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao $10m$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao liền trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao $10m$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao liền trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Viêm gan siêu vi B là bệnh do virus HBV (Hepatitis B virus) tấn công trực tiếp trên tế bào gan, gây nhiễm trùng gan cấp tính và mạn tính, hậu quả có thể dẫn đến các biến chứng xơ gan, ung thư tế bào gan. Để điều trị bệnh viêm gan B mạn tính, biết được Tenofovir Disoproxil 300mg là một loại thuốc uống hằng ngày, với ít tác dụng phụ, dùng trong ít nhất một năm hoặc lâu hơn. Đây được xem là một điều trị đầu tay cho người bị viêm gan B mạn tính với tính kháng thuốc rất thấp. Bệnh nhân ngừng điều trị đến khi chỉ số HbsAg <1.0. Một bệnh nhân bị viêm gan siêu vi B mạn tính được chỉ định dùng Tenofovir Disoproxil 300mg với liều dùng 1 viên mỗi ngày. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống tiếp theo, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $2\%$. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài (làm tròn đến hàng đơn vị).

(1,0 điểm) Cho hình vuông cạnh bằng 4 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (tham khảo hình bên dưới). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần.



Gọi $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ lần lượt là diện tích các hình vuông được tô màu.

Tính tổng $T=S_1+S_2+\dots +S_n+\dots$

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ sao cho các đỉnh $A_1$, $B_1$, $C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM$, $MN$, $ON$. Trong tam giác $A_{1}M{B}_1$, vẽ hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ sao cho các đỉnh $A_2$, $B_2$, $C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M$, $M{B}_1$, $A_1{B}_1$. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn đến hàng phần trăm).

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ sao cho các đỉnh $A_1,B_1,C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM,MN,ON$. Trong tam giác $A_{1}M{B}_1$, vẽ hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ sao cho các đỉnh $A_2,B_2,C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M$, $M{B}_1$, $A_1{B}_1$. Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích các hình vuông này (làm tròn đến hàng phần trăm).

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 100 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5\%. Tuy nhiên, kể từ ngày thứ 11 trở đi, do khả năng đào thải của cơ thể thay đổi nên trước mỗi lần uống thuốc, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể chỉ còn 2\%. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 8 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để tạo hình vuông tiếp theo (như hình vẽ). Lặp lại thao tác với hình vuông nhỏ phía trong. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được vẽ.

(0,5 điểm) Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a = 100 mét. Với quy luật: mỗi cạnh của bước trước được chia làm 3, bỏ đoạn giữa và thay bằng 2 đoạn bằng nó ghép thành một tam giác đều (hướng ra ngoài). Cho biết chi phí để lắp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo có chi phí là 5 triệu đồng /m². Nếu quá trình xây dựng cứ tiếp diễn mãi mãi, hãy tính tổng chi phí lắp đất và trồng cỏ.

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]

Bạn An thả một quả bóng cao su theo phương thẳng đứng từ độ cao 8m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất bóng này lên độ cao bằng $\frac{2}{5}$ so với độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng độ dài hành trình quả bóng di chuyển từ lúc được An thả ra đến khi nằm yên trên mặt đất.

Bạn An thả một quả bóng cao su theo phương thẳng đứng từ độ cao 9m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất bóng này lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ so với độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng độ dài hành trình quả bóng di chuyển từ lúc được An thả ra đến khi nằm yên trên mặt đất.

Biết ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}\right)=\frac{a}{b}$; trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị của biểu thức $3a-4b$.

Biết $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+5n+1}\right)=\frac{a}{b}$; trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}$. Tính giá trị của biểu thức $3a-4b$.

Cho tam giác đều $\Delta A_1{B}_1{C}_1$. Với mỗi $n\ge 1$, từ tam giác đều $\Delta A_n{B}_n{C}_n$ ta dựng tam giác tiếp theo như sau:

- Trên cạnh $A_n{B}_n$ lấy điểm $A_{n+1}$ sao cho $A_n{A}_{n+1}=\frac{1}{3}{A}_n{B}_n$

- Trên cạnh $B_n{C}_n$ lấy $B_{n+1}$ sao cho $B_n{B}_{n+1}=\frac{1}{3}{B}_n{C}_n$

- Trên cạnh $C_n{A}_n$ lấy $C_{n+1}$ sao cho $C_n{C}_{n+1}=\frac{1}{3}{C}_n{A}_n$

Ba điểm $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1}$ là ba đỉnh của tam giác đều tiếp theo. Gọi diện tích của các tam giác đó lần lượt là $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$. Biết $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích bằng $9\sqrt{3}$.



Tổng $S_1+S_2+\dots +S_n+\dots =\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản, $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $a+b+c$.

Cho một hình vuông lớn có cạnh bằng 1. Từ hình vuông này, ta thực hiện quá trình tô màu như sau:
+ Bước 1: Tô màu tam giác vuông có 2 cạnh là cạnh của hình vuông ban đầu (như hình vẽ)
+ Bước 2: Ở tam giác vuông còn lại chưa được tô màu, ta dựng hình vuông mới có 3 trong 4 đỉnh là trung điểm của các cạnh của tam giác. Sau đó lặp lại như bước 1.
Bước 2 được lặp lại liên tục.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f2]

Tính tổng diện tích phần tô màu. (làm tròn đến hàng phần trăm)