Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(0;2)$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{x-1}=4$. Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{f(x)+2}}{x^2-3x+2}$ bằng bao nhiêu?

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $c^2+a=18$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{a{x}^2+bx}-cx\right)=-2$. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 5c.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}& \text{khi }-1\le x<0\\ -2+\frac{1-x}{1+x}& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Tính $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.

Cho ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{x^2+2ax+1}+x\right)=1$ thì giá trị của $a$ thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2+ax+b}{x-3}=3$. Khi đó $a^2+b^2$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$, biết tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=0$ là đường thẳng $y=3x-3$. Giá trị của ${\lim }_{x\to 0}\frac{3x}{f(3x)-f(x)}$ là

Cho $b>0,2a+b=8$ và ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt{1-bx}}{x}=2$. Khẳng định nào dưới đây sai?

Cho hai đồ thị $y=\frac{1}{x}$ và $y=\sqrt{x}$ cắt nhau tại điểm $A(1,1)$. Cho $t>1$. Đường thẳng $y=t$ lần lượt cắt đồ thị $y=\frac{1}{x}$ và $y=\sqrt{x}$ tại các điểm $B$ và $C$.



Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với trục $Oy$, cắt đồ thị $y=\frac{1}{x}$ tại điểm $D$. Gọi $f(t)$ là diện tích tam giác $ACB$, và $g(t)$ là diện tích tam giác $ADC$. Tính $L={\lim }_{t\to 1^{+}}\frac{g(t)}{f(t)}$.

Cho ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)+1}{x-1}=-1$. Tính $I={\lim }_{x\to 1}\frac{xf(x)+1}{x-1}$.

Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên thuộc đoạn $[-20;20]$ để ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{4x^2-3x+2}+mx-1\right)=-\infty$?

Biết rằng $b>0,a+b=5$ và ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt{1-bx}}{x}=2$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Biết rằng ${\lim }_{x\to -\infty }(\sqrt{5x^2+2x}+x\sqrt{5})=a\sqrt{5}+b$. Tính $S=5a+b$.

Cho ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x^2+x+2}-\sqrt[3]{3x+5}}{x^2-3x+2}\right)=\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản; $a,b$ là số nguyên). Tính tổng $P=a^2+b^2$.

Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng $S$ (đơn vị: $\text{mg/l}$) thay đổi theo thời gian $t$ giờ ($t\ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số: $S(t)=\frac{10t+5}{t+1}$. Biết rằng tốc độ sinh trưởng $V$ của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số $V(S)=\frac{5S}{S+2}$. Khi thời gian $t$ kéo dài, tốc độ sinh trưởng $V$ tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng $K$ nhất định. Hỏi sau bao nhiêu **phút** thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt $90\%$ của ngưỡng $K$ đó?

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$), trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$ (giờ). Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có $24$ tế bào và tốc độ sinh trưởng là $8$ tế bào/giờ. Sau một thời gian về lâu dài thì số lượng tế bào của quần thể nấm men tiến về giá trị bao nhiêu?

Câu 5. Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng $S$ (đơn vị: $\text{mg/}\ell$) thay đổi theo thời gian $t$ giờ ($t\ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số: $S(t)=\frac{10t+5}{t+1}$. Biết tốc độ sinh trưởng $V$ của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số $V(S)=\frac{5S}{S+2}$. Khi thời gian $t$ kéo dài, tốc độ sinh trưởng $V$ tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng $K$ nhất định. Hỏi sau bao nhiêu phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt $90\%$ ngưỡng $K$?

Câu 3. Cho $a;b$ là các số thực thỏa mãn ${\lim }_{x\to -\infty }\left(ax+3+\sqrt{4x^2+bx+12}\right)=5$. Tính giá trị $2a-b$.

Một bể ban đầu chứa 150 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 50 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi $f(t)\text{ (gam/lıˊt)}$ là nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút ($t\ge 0$), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(t)$, ta thấy giá trị $f(t)$ tăng theo thời gian $t$ nhưng không vượt ngưỡng $p\text{ gam/lıˊt}$. Tìm số $p$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Câu 18. Cho $f(x)$ là đa thức thỏa mãn ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-27}{x-3}=9$. Tính giới hạn $L={\lim }_{x\to 3}\left[2f(x)-19x+3\right]\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}\right)$.

Câu 13. Gọi $a,b$ là các giá trị để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-4},& x<-2\\ x+1,& x\ge -2\end{array}$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $-2$. Tính $3a+b$?