Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Xét các số phức thỏa mãn $|z^2-6z-i(3+5i)|=4|z-3|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z-3|$. Giá trị của biểu thức $3M^2-4m^2$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z^2-2iz|=8$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|iz+1|$ bằng

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $(x^2+y^2+5)+{\log }_2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)={\left(\frac{xy}{2}-2\right)}^2$. Khi $x+4y$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức $\frac{x}{y}$ bằng

Câu 6. Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng $2\text{ m}$. Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ (mét) với $0<x<\frac{2}{3}$. Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối (${\text{dm}}^3$) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z|=1$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+1|+|z^2-z+1|$. Tính $M\cdot m$.

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-mz+10=0$ (với $m$ là tham số). Biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$. Các điểm biểu diễn các số phức $z_1,z_2,\frac{1}{z_1},\frac{1}{z_2}$ tạo thành một đa giác lồi có diện tích lớn nhất bằng

Câu 4. Một khối gỗ có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $2\text{ dm}$, mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều. Nghệ nhân muốn chế tác khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình hộp chữ nhật với $4$ đỉnh nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$ và bốn đỉnh còn lại nằm trong mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối trang trí này bằng bao nhiêu ${\text{dm}}^3$? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Xét các số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) thỏa mãn $|z-3-2i|=2$. Tính $|z-2i|$ khi $|z+1-2i|+2|z-2-5i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=|x^3+x+b+1|$ với $b$ là tham số. Gọi $M={\max }_{[-1;1]}y$. Giá trị nhỏ nhất của $M$ thuộc khoảng nào sau?

Cho các số phức $z,z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $|z-2-2i|=|\bar{z}|$, $|z_1+1+i|=1$ và $|z_2+2-i|=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=|z-3z_1|+|z-2z_2|$ bằng

Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $(x+y{)}^3+2xy+{\log }_2\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)=8(1-xy{)}^3-x-y+3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+3y$.

Các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $(x^2+y^2){\log }_2\frac{x^2+y^2+1}{x+2y}=2x+4y-1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x-y-1}{y+4}$. Biểu thức $M-m$ có giá trị bằng

Cho số phức z thỏa mãn 3 z − 3i = z 2 + 3iz + z 2 + 9 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z − 1 + 5i . Khi đó, tổng M 2 + m 2 bằng

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( 0 )  0 và
 f ( x ) + 6 x3 − 2 f ( x ) + 9 x6 = 4 x 4 + 6 x3 + 12 x 2 + 8, x  . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

( )
trị nhỏ nhất của hàm số y = f x + 1 − x 2 trên đoạn  −1;1 . Khi đó, tổng M + m bằng

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z^2-6z+5-3i|=4|z-3|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z-3|$. Giá trị của $3M+2m$ bằng

Xét các số phức z1 và z2 thỏa mãn z=
1 z=
2 1 , z1 + z2 =2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
P 3i ( z1 + z2 ) + 9 - z1 z2 . Tổng M + m thuộc khoảng nào dưới đây?
nhất và nhỏ nhất của biểu thức =

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x-m$. Tìm $m$ để mọi bộ ba số phân biệt $a,b,c$ thuộc đoạn $[-1;3]$ thì $f(a),f(b),f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;6]$ và có bảng biến thiên như hình sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $m{f}^2(x)+m+15\sqrt{x}\le 2024f^2(x)-5\sqrt{40-6x}+3f(x)+2023$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;6]$.

Cho hàm số $y=(x^2+x+m{)}^2$. Tổng tất cả các giá trị thực tham số $m$ sao cho ${\min }_{[-2;2]}y=4$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|2z^2-4iz-2|=|z^2+1|$. Gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $|z|$. Giá trị của $9(m^2+M^2)$ bằng