Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 5$: $2x^2-7x-15=(2x+3)(x-5)$, nên $f(x)=2x+3$. Khi đó ${\lim }_{x\to 5}f(x)={\lim }_{x\to 5}(2x+3)=13$. Trong khi $f(5)=-3$. Vì ${\lim }_{x\to 5}f(x)=13\ne -3=f(5)$, hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x_0=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: với $x\le 2$ thì $f(x)=2x-3$, nên $f(2)=2\cdot 2-3=1$. b) Đúng: với $x>2$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$, do đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=2-1=1$. c) Sai: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=f(2)=1$ (với $x\to 2^{-}$, $f(x)=2x-3\to 1$), nên hàm số liên tục tại $x_0=2$, không gián đoạn. d) Đúng: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(2x-3)-1}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2(x-2)}{x-2}=2$. Kết quả Đ Đ S Đ khớp bảng đáp án mã đề 1202, Phần II câu 2 (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 2$, $f(x)=2x-3$ nên $f(2)=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>2$, $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=1$, hàm số liên tục tại $x_0=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(2x-3)-1}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2(x-2)}{x-2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+4}{x-1}& x<1\\ 3x-6& x\ge 1\end{array}$.

a) Với $x=1$ thì dùng nhánh $x\ge 1$: $f(1)=3(1)-6=-3$. Đúng.

b) Với $x<1$: $\frac{x^2-5x+4}{x-1}=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1-4=-3$. Đúng.

c) Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-3$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3(1)-6=-3=f(1)$, nên hàm số liên tục tại $x_0=1$. Khẳng định 'gián đoạn tại $x_0=1$' là Sai.

d) ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(3x-6)-(-3)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{3x-3}{x-1}=3\ne 1$. Sai.

Kết quả a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp với đáp án nguồn (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ dùng nhánh $x\ge 1$: $f(1)=3(1)-6=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-3$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$, không gián đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{3x-3}{x-1}=3\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (trên các khoảng còn lại biểu thức $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}$ liên tục vì mẫu khác 0 với $x\ne 1$, $x\in [0;2]$). Ta có:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(\sqrt{x}+1)(x+1)=(1+1)(1+1)=4.$$
Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì $f(1)=m$ phải bằng giới hạn trên, tức $m=4$. Vậy $m=4$ thì hàm số liên tục trên đoạn $[0;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}& x>1\\ m{x}^{2025}-2024& x\le 1\end{array}$.

a) Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ liên tục; với $x<1$: $m{x}^{2025}-2024$ liên tục với mọi $m$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+1)=2$, còn $f(1)=m-2024$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $m-2024=2⟺m=2026$. Vậy hàm số KHÔNG liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$ → khẳng định a) Sai.

b) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+1)=2$ → Đúng.

c) Theo a), hàm liên tục tại $x=1$ khi $m=2026$ → Đúng.

d) Với $x\to 0$ (nằm trong miền $x\le 1$): ${\lim }_{x\to 0}f(x)=m\cdot 0^{2025}-2024=-2024\ne 1$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp với đáp án mã đề 1102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$ còn $f(1)=m-2024$; hàm chỉ liên tục tại $x=1$ khi $m=2026$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$ khi $f(1)=m-2024=2⟺m=2026$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le 1$ nên ${\lim }_{x\to 0}f(x)=m\cdot 0-2024=-2024\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=2x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\sqrt{x^2-x+1}$ có $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x$ nên xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Riêng $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$. Mặt khác $f(2)=2\cdot 2-1=3$. Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$, hàm số liên tục tại $x=2$. a) Sai vì hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn. b) Sai vì hàm số liên tục trên toàn $\mathbb{R}$ (với $x\ne 2$ là hàm đa thức $x+1$, tại $x=2$ liên tục như trên). c) Sai vì hàm đã cho xác định tại mọi $x$, kể cả $x=2$ (có công thức riêng $2x-1$), nên $D=\mathbb{R}$. d) Đúng, theo định nghĩa liên tục tại một điểm. Kết quả khớp đáp án nguồn SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3=f(2)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ và liên tục với mọi $x\ne 2$ (đa thức $x+1$), nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số được định nghĩa tại cả $x=2$ với $f(2)=2x-1=3$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa liên tục tại một điểm: hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với x≠2: f(x)=(x²−x−2)/(x−2)=((x−2)(x+1))/(x−2)=x+1. Do đó lim_{x→2}f(x)=3 và f(2)=2·2−1=3, nên hàm số liên tục tại x=2, tức liên tục trên ℝ. a) Sai vì f(2)=2x−1 được xác định nên D=ℝ. b) Sai vì hàm liên tục trên ℝ. c) Đúng theo định nghĩa liên tục tại một điểm. d) Sai vì hàm liên tục tại x=2. Đối chiếu đáp án mã đề 1246 câu 15: S-S-D-S, khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(2)=2·2−1=3 được xác định nên tập xác định là D=ℝ, không phải ℝ\{2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x≠2, f(x)=x+1 liên tục; tại x=2, lim_{x→2}f(x)=3=f(2) nên hàm liên tục trên ℝ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hàm số liên tục tại x=2 khi và chỉ khi lim_{x→2}f(x)=f(2); thực tế lim_{x→2}(x+1)=3=f(2) nên hàm liên tục tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì lim_{x→2}f(x)=3=f(2) nên hàm liên tục, không gián đoạn tại x=2.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng miền: với $x<0$, $f(x)=x+1$ là hàm đa thức nên liên tục; với $x>0$, $f(x)=\left|x^2-3x+2\right|$ liên tục (hàm liên tục của hàm liên tục). Chỉ cần xét tại $x=0$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}(x+1)=1$; $f(0)=\left|0^2-3\cdot 0+2\right|=2$. Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=1\ne 2=f(0)$ nên $f$ gián đoạn tại $x=0$. Vậy hàm số gián đoạn tại đúng 1 điểm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, Câu 18 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=-2$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=f(-2)=m$. Với $x\ne -2$: $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$, nên $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+5x+2}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }(2x+1)=2(-2)+1=-3$. Vậy $m=-3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III Câu 1: $-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x}{x+1}$ có mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$, nên hàm số không xác định tại $x=-1$ và không liên tục trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=x^2+6x+20$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x}{x^2+x+2}$ có $x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =1-8<0$) nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với mã đề 1101: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$, nên ${\lim }_{x\to 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(2x+1)=5$. Vậy $m=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3 = 5).

Nguồn HD chấm (trang 15) chỉ đưa lời giải chi tiết cho mã 1101 (dạng tương tự với $x_0=3$): Ta có $f(3)=6$; ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$; vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$. Thang điểm: 0,25 cho $f(x_0)$, 0,25 cho giới hạn, 0,25 cho kết luận (tổng 0,5đ cho câu này theo bảng điểm). Cột mã 1104 ở trang 14 chỉ lặp lại đề bài (giống hệt đề của câu này) mà không có lời giải riêng; do đó lời giải cho mã 1104 không được in đầy đủ trong nguồn, chỉ có thể suy ra tương tự theo cách giải mã 1101 ở trên.

Nguồn HD chấm (trang 14–15) chỉ đưa lời giải chi tiết cho mã 1101 (cùng dạng, tại $x_0=3$); cột mã 1103 để trống và ghi các mã khác làm tương tự. Lời giải mẫu theo nguồn (mã 1101): Ta có $f(3)=6$. ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$. Vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$. Áp dụng cùng phương pháp cho mã 1103 (bài đã cho): $f(5)=2\cdot 5=10$; ${\lim }_{x\to 5}f(x)={\lim }_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}={\lim }_{x\to 5}(x+5)=10$. Vì ${\lim }_{x\to 5}f(x)=f(5)=10$ nên hàm số liên tục tại $x_0=5$. (Phần áp dụng cho 1103 là suy ra trực tiếp từ phương pháp nguồn; nguồn không in riêng lời giải chi tiết cho mã 1103.)

Nguồn HD chấm (trang 14-15) chỉ đưa lời giải chi tiết cho mã 1101 (câu tương tự với $x_0=3$); cột mã 1102 (chính là đề này) không có lời giải riêng. Lời giải chi tiết của nguồn cho mã 1101: Ta có $f(3)=6$; ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$; vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$. Áp dụng cùng cách giải cho đề này (mã 1102): $f(4)=2\cdot 4=8$; ${\lim }_{x\to 4}f(x)={\lim }_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}={\lim }_{x\to 4}(x+4)=8$; vì ${\lim }_{x\to 4}f(x)=f(4)=8$ nên hàm số liên tục tại $x_0=4$.

Ta có: $f(3)=6$. ${\lim }_{x\to 3}f(x)={\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=6$. Vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=f(3)$ nên hàm số liên tục tại $x_0=3$.

a) Với $x=2$ thì ta có $f(2)=2m+1$. b) Khi $x\ne 2$ thì ta có hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-2}$. c) Ta có ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x+1)=3$. d) Ta có $f(2)=2m+1$ và ${\lim }_{x\to 2}f(x)=3$. Hàm số liên tục trên $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)\iff 3=2m+1\iff m=1$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d sai]. (Lưu ý: kết luận tổng hợp của nguồn ghi "a đúng" trong khi lập luận a) cho $f(2)=2m+1\ne 2m-1$; giữ nguyên theo nguồn.)
a) Với $x=2$ thì ta có $f(2)=2m+1$.
b) Khi $x\ne 2$ thì ta có hàm số $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-2}$ (lời giải gốc ghi $x^2-x-6$, có thể là lỗi chính tả trong tài liệu gốc so với đề bài $x^2-x-2$; giữ nguyên theo nguồn).
c) Ta có ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x+1)=3$.
d) Ta có $f(2)=2m+1$ và ${\lim }_{x\to 2}f(x)=3$. Hàm số liên tục trên $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)\iff 3=2m+1\iff m=1$.

Câu 2 (1 điểm):
$f(-3)=5$ (0.25)
${\lim }_{x\to -3}f(x)={\lim }_{x\to -3}\frac{x^2+x-6}{x+3}={\lim }_{x\to -3}\frac{(x+3)(x-2)}{x+3}$ (0.25)
$={\lim }_{x\to -3}(x-2)=-5$ (0.25)
${\lim }_{x\to -3}f(x)\ne f(-3)$ (0.125)
Vậy hàm số không liên tục tại $x_0=-3$ (0.125)

Câu 2 (1 điểm):
$f(-2)=5$ — 0.25
${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-x-6}{x+2}={\lim }_{x\to -2}\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}$ — 0.25
$={\lim }_{x\to -2}(x-3)=-5$ — 0.25
${\lim }_{x\to -2}f(x)\ne f(-2)$
Vậy hàm số không liên tục tại $x_0=-2$ — 0.125 + 0.125

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$.
b) Sai. Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$.
c) Sai. Với $x\to 0^{+}$ (x dương) thì $f(x)=x^2+1$, do đó ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1$ (giá trị $-1$ là giới hạn bên trái ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=2\cdot 0-1=-1$).
d) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)$, giới hạn trái khác giới hạn phải nên $f$ gián đoạn tại $x=0$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 209: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 0^{+}$ thì $f(x)=x^2+1$ nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1\ne -1={\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)$ nên $f$ gián đoạn tại $x=0$.