Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$. b) Sai. Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$. c) Sai. Khi $x\to 0^{+}$ thì $x\ge 0$ nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+1)=1\ne -1$. d) Đúng. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(2x-1)=-1$ còn ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$ và $f(0)=1$. Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại $x=0$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 132: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2>0$, $f(x)=x^2+1$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\ge 0$ nên $f(0)=0^2+1=1\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+1)=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-1\ne {\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$ nên hàm số gián đoạn tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $x=2\le 2$ nên $f(2)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$: đúng.
b) ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}=\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}\ne \frac{33}{100}$: sai.
c) ${\lim }_{x\to 2^{-}}\left(1-\frac{x}{3}\right)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$: đúng.
d) Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=\frac{1}{3}$ nên hàm số liên tục tại $x=2$, không gián đoạn: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}=\frac{1}{3}\ne \frac{33}{100}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{-}}\left(1-\frac{x}{3}\right)=\frac{1}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các giới hạn trái, phải đều bằng $f(2)=\frac{1}{3}$ nên hàm liên tục tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x_0=3$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(3)$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{2x-6}$. Nhân liên hợp: $\sqrt{x+1}-2=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}$, nên giới hạn bằng ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x-3}{2(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{2(2+2)}=\frac{1}{8}$.

Giới hạn trái và giá trị tại $x=3$: $f(3)=\frac{m}{4}-\frac{3}{2}$.

Để hàm liên tục tại $x=3$: $\frac{m}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{m}{4}=\frac{13}{8}\Rightarrow m=\frac{13}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đồ thị trên khoảng $(0;3)$:
- Hình A: đồ thị gồm các nét liền liên tục, không bị đứt hay nhảy tại bất kỳ điểm nào trong $(0;3)$ (nét cong liên tục từ gần $x=0$ đến $x=3$), nên hàm số liên tục trên $(0;3)$.
- Hình B: tại $x=1$ đồ thị bị đứt, nhảy từ giá trị khoảng $3$ xuống $1,5$, nên không liên tục trên $(0;3)$.
- Hình C: tại $x=1$ đồ thị bị đứt (đoạn hằng bằng $2$ không nối với hai nhánh còn lại), không liên tục trên $(0;3)$.
- Hình D: tại $x=2$ đồ thị bị đứt, nhảy từ giá trị $2$ lên $3$, không liên tục trên $(0;3)$.
Vậy đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng $(0;3)$ là hình A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=m+2$. Với $x\ne 3$: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(x+1)-4}=\underset{x\to 3}{\lim }(\sqrt{x+1}+2)=\sqrt{4}+2=4$. Do đó $m+2=4\Rightarrow m=2$. Chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$ và $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}\frac{2x+1}{x^2+2x+4}=\frac{5}{12}$... kiểm tra lại: $\frac{2\cdot 2+1}{4+4+4}=\frac{5}{12}$? Thực hiện đúng: $\frac{2(2)+1}{2^2+2(2)+4}=\frac{5}{12}$. Tuy nhiên tính lại: ${\lim }_{x\to 2}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2(2)+1}{4+4+4}=\frac{5}{12}$. Vậy giới hạn bằng $\frac{5}{12}$, còn $f(2)=2+2025=2027$. Vì ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{5}{12}\ne 2027=f(2)$, hàm số không liên tục tại $x=2$. Tại các điểm $x\ne 2$ hàm số là hàm phân thức liên tục (mẫu $x^3-8=0$ chỉ tại $x=2$), nên hàm liên tục tại $x=-2$, $x=1$. Do đó mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-\infty ;2)$ hàm số liên tục (nhánh parabol), trên $(2;+\infty )$ hàm liên tục (nhánh hằng). Tại $x=2$, đồ thị có điểm chấm trống (giá trị bên trái tiến tới nhưng không đạt) và nhánh bên phải bắt đầu ở mức thấp hơn, tức tồn tại bước nhảy: giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=2$ khác nhau nên $f$ không liên tục tại $x=2$. Tại $x=-1$, $x=0$ (điểm (0,3) được vẽ chấm đầy) và $x=3$ đồ thị liên tục. Vậy đáp án là $x=2$, khớp với đáp án nguồn B.

a) Với $0<x\le 600$. Ta có: giá mỗi kg đá là $\frac{P(x)}{x}=\frac{5x}{x}=5$ (nghìn đồng). Nửa tấn bằng 500 kg. Vì $0<500<600$ nên ta có giá mỗi kg đá là 5 nghìn đồng. b) Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ thì hàm số phải liên tục tại $x_0=600$ hay $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)=P(600)$. Ta có: $\underset{x\to 600^{-}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{-}}{\lim }5x=5\cdot 600=3000$; $\underset{x\to 600^{+}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{+}}{\lim }(4,5x+a)=4,5\cdot 600+a=2700+a$. Để tồn tại $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)$ thì $3000=2700+a$. Suy ra $a=300$. Khi đó mua một tấn đá thạch anh bằng 1000 kg thì mỗi kg đá thạch anh có giá: $\frac{P(1000)}{1000}=\frac{4,5\cdot 1000+300}{1000}=4,8$ (nghìn đồng).

a) Với $0<x\le 600$. Ta có: giá mỗi kg đá là $\frac{P(x)}{x}=\frac{5x}{x}=5$ (nghìn đồng). Nửa tấn bằng 500 kg. Vì $0<500<600$ nên ta có giá mỗi kg đá là 5 nghìn đồng. b) Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ thì hàm số phải liên tục tại $x_0=600$ hay $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)=P(600)$. Ta có: $\underset{x\to 600^{-}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{-}}{\lim }5x=5.600=3000$; $\underset{x\to 600^{+}}{\lim }P(x)=\underset{x\to 600^{+}}{\lim }(4,5x+a)=4,5.600+=2700+a$. Để tồn tại $\underset{x\to 600}{\lim }P(x)$ thì $3000=2700+a$. Suy ra $a=300$. Khi đó mua một tấn đá thạch anh bằng 1000 kg thì mỗi kg đá thạch anh có giá: $\frac{P(1000)}{1000}=\frac{4,5.1000+300}{1000}=4,8$ (Nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên R nên liên tục tại x=4. Giá trị bên trái: f(4)=4m+1. Giới hạn bên phải: lim_{x→4+} (x²−16)/(x−4)=lim_{x→4+}(x+4)=8. Do đó 4m+1=8 ⟹ m=7/4, với a=7, b=4 (phân số tối giản). Vậy 2a+b=2·7+4=18.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=-2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to -2}f(x)=f(-2)=m$. Với $x\ne -2$: $f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$. Do đó ${\lim }_{x\to -2}f(x)=-2-2=-4$. Vậy $m=-4$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 7115: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi $f(1)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$. Ta có $f(1)=\frac{4+a}{2}$. Với $x>1$: $\frac{x^3-x^2+3x-3}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+3)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+3}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{1+3}{2}=2$. Do đó $\frac{4+a}{2}=2\Rightarrow a=0$. Kết quả khớp với đáp án 0 ở Phần 3 Câu 2, Mã đề 316 (trang 6); nhãn 'Phần III Câu 1' chỉ là vấn đề đánh số nguồn, không ảnh hưởng kết quả toán học.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $T(x)$ liên tục: tại $x=1$: $a=15000$ (c đúng). Tại $x=20$: $b+(20-20)\cdot 12000=a+19\cdot 14000=15000+266000=281000$, nên $b=281000$. a) $T(1/3)=15000\ne 5000$ → Sai. b) $a/b=15000/281000=15/281\ne 15/266$ → Sai. c) Đúng. d) $T(5)=15000+4\cdot 14000=71000$ đồng → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<1/3\le 1$ nên $T(1/3)=15000\ne 5000$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=20$: $b=a+19\cdot 14000=281000$, nên $a/b=15000/281000=15/281\ne 15/266$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$: $a=15000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T(5)=15000+(5-1)\cdot 14000=71000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $T(x)$ liên tục: tại $x=1$, giới hạn trái là $15000$, giới hạn phải là $a+(1-1)\cdot 14000=a$, suy ra $a=15000$ (ý c đúng). Tại $x=20$: $a+(20-1)\cdot 14000=b+(20-20)\cdot 12000$, nên $b=15000+19\cdot 14000=15000+266000=281000$. Do đó $\frac{b}{a}=\frac{281000}{15000}=\frac{281}{15}$ (ý a đúng). Với $0<x\le 1$ thì $T(x)=15000$, nên $T\left(\frac{1}{2}\right)=15000$ (ý b đúng). Với $x=10$: $T(10)=15000+(10-1)\cdot 14000=15000+126000=141000$ đồng $\ne 150000$ đồng (ý d sai). Khớp đáp án chính thức ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=20$: $b=a+19\cdot 14000=15000+266000=281000$, nên $\frac{b}{a}=\frac{281000}{15000}=\frac{281}{15}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\frac{1}{2}\le 1$ nên $T\left(\frac{1}{2}\right)=15000$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x=1$: $a=15000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T(10)=15000+9\cdot 14000=141000$ đồng, không phải $150000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề. Với $x>-1$, $f(x)=\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}$ liên tục trên $(-1,\infty )$ (mẫu khác 0), nên hàm liên tục tại $x=1$ và $x=0$; do đó A đúng, C sai. Với $x\le -1$, $f(x)=2025x+2026$ là hàm đa thức liên tục, nên liên tục tại $x=-5$; B đúng. Tại $x=-1$: giới hạn trái $f(-1^{-})=2025(-1)+2026=1$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}={\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2}{\sqrt{3+2x}+1}=\frac{2}{\sqrt{1}+1}=1$ (nhân liên hợp). Vì $f(-1)=2025(-1)+2026=1$ bằng hai giới hạn nên hàm liên tục tại $x=-1$; D đúng. Vậy mệnh đề sai là C.

Chọn A. Hàm số $v(t)$ liên tục trên đoạn $[0;10]$ nên hàm số liên tục tại $t=5$. Suy ra ${\lim }_{x\to 5^{+}}v(t)={\lim }_{x\to 5^{-}}v(t)=v(5)\iff {\lim }_{x\to 5^{+}}(at-3)={\lim }_{x\to 5^{-}}\left(-t^2+4t+12\right)=7$ $\iff 5a-3=-5^2+4.5+12\iff a=2$.

Khi đó $v(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+4t+12& \text{khi }0\le t\le 5\\ 2t-3& \text{khi }5<t\le 10\end{array}$.

Vật đạt vận tốc $10m/s$ nên ta có $v(t)=10\iff \left[\begin{array}{c}-t^2+4t+12=10(0\le t\le 5)\\ 2t-3=10(5<t<10)\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=2+\sqrt{6}\\ t=\frac{13}{2}\end{array}\right]$.

Như vậy ta có $t_1=2+\sqrt{6}$ và $t_2=\frac{13}{2}$, suy ra $t_1+t_2=\frac{17}{2}+\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{|x+1|}$ xác định khi $|x+1|\ne 0$, tức $x\ne -1$. Trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, hàm số là hàm phân thức hữu tỉ với mẫu khác 0 nên liên tục. Tại $x=-1$ hàm không xác định nên không liên tục tại đó. Do đó hàm số liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị: tại $x=2$, nhánh bên trái tiến tới giới hạn bằng $3$ (đường nét đứt ứng với $y=3$), còn giá trị của hàm số tại $x=2$ (điểm được vẽ) bằng $1$. Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=3\ne f(2)=1$, hàm số gián đoạn tại điểm có hoành độ $x=2$. Tại $x=0,1,3$ đồ thị liền mạch, không gián đoạn. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $T(t)=\{\begin{array}{ll}30+3t& 0\le t\le 60\\ 210-2t& 60<t\le 100\end{array}$.
a) Vì $60$ thuộc nhánh $0\le t\le 60$ nên $T(60)=30+3\cdot 60=210$. Khẳng định đúng.
b) Với $t\to 60^{+}$, $t$ thuộc nhánh $210-2t$ nên ${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=210-2\cdot 60=90$. Khẳng định đúng.
c) Với $t\to 60^{-}$, $t$ thuộc nhánh $30+3t$ nên ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=30+3\cdot 60=210\ne 90$. Khẳng định sai.
d) Vì ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=210\ne 90={\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)$, hàm số không liên tục tại $t=60$, do đó không liên tục trên $[0;100]$. Khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(60)=30+3\cdot 60=210$ (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=210-2\cdot 60=90$ (đúng).
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=30+3\cdot 60=210\ne 90$ (sai).
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $210$ khác giới hạn phải $90$ tại $t=60$ nên hàm không liên tục trên $[0;100]$ (sai).