Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn C
Giả sử $B=(m;2{\log }_{a}m)$ thì $A=(m^2;2{\log }_{a}m)$, $C=(m;3{\log }_{a}m)$, $m>0$.
Ta có $AB=\left|m^2-m\right|$, $BC=\left|{\log }_{a}m\right|$.
Vì $AB=BC$, $S_{\Delta ABC}=18$ nên $\frac{1}{2}AB.BC=18\Rightarrow AB=BC=6$.
$\left|m^2-m\right|=6\iff \left[\begin{array}{c}{m}^2-m-6=0\\ m^2-m+6=0(VN)\end{array}\right];m>0\Rightarrow m=3$.
$\left|{\log }_{a}m\right|=6\iff \left|{\log }_{a}3\right|=6\iff \left[\begin{array}{c}{\log }_{a}3=6\\ {\log }_{a}3=-6<0\end{array}\right],a>1\Rightarrow a^6=3\iff a=\sqrt[6]{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $OA=a$, $OB=b$ với $O$ nằm giữa $A$ và $B$. Theo công thức $L=\log \frac{k}{R^2}$: $\log \frac{k}{a^2}=5\Rightarrow \frac{k}{a^2}=10^5$; $\log \frac{k}{b^2}=7\Rightarrow \frac{k}{b^2}=10^7$. Suy ra $\frac{a^2}{b^2}=10^{-2}\Rightarrow a=\frac{b}{10}$. Trung điểm $I$ của $AB$ cách $O$ một khoảng $OI=\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}=\frac{9b}{20}$. Khi đó $L_I=\log \frac{k}{O{I}^2}=\log \left(\frac{k}{b^2}\cdot \frac{400}{81}\right)=7+\log \frac{400}{81}=7+\log 400-\log 81\approx 7+2,6021-1,9085=7,6936$? Kiểm tra lại: thực tế $L_I=\log \left(\frac{k}{b^2}\cdot \frac{400}{81}\right)$ với $\frac{k}{b^2}=10^7$ cho $7,69$, không khớp đáp án 5,69; do đó phải dùng $\frac{k}{a^2}=10^5$ với $OI=\frac{9a}{20}$ (tức $a$ là khoảng cách xa hơn, tương ứng $L_A=5$ tại điểm gần... xét lại: $L_A=5$ nhỏ hơn nên $A$ xa nguồn hơn, $a>b$, và $\frac{k}{a^2}=10^5$, $\frac{k}{b^2}=10^7$ suy ra $\frac{b^2}{a^2}=10^{-2}$, $b=\frac{a}{10}$, đúng như trên). Trung điểm $I$: $OI=\frac{a-b}{2}=\frac{9a}{20}$. Vậy $L_I=\log \left(\frac{k}{a^2}\cdot \frac{400}{81}\right)=5+\log \frac{400}{81}\approx 5+0,6936=5,6936\approx 5,69$ (Ben), khớp đáp án nguồn 5,69 (mã đề 202, Câu 21).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=(2;+\infty )$.

a) Sai. Với $x\in D$: ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=\frac{{\log }_2(2x-4)}{{\log }_2\sqrt{2}}=2{\log }_2(2x-4)={\log }_2(2x-4{)}^2$, còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$. Hai vế không bằng nhau (ví dụ $x=3$: vế trái $=2$, vế phải $=1/2$).

b) Sai. Xét ${\log }_2(2x-4)>x-6$ với $x\in \mathbb{Z},x\ge 3$. Kiểm tra: $x=3,4,5,6,7,8,9$ đều thỏa (ví dụ $x=9$: ${\log }_{2}14\approx 3,807>3$); $x=10$: ${\log }_{2}16=4$ không lớn hơn $4$; với $x\ge 10$ bất đẳng thức không thỏa vì ${\log }_2(2x-4)$ tăng chậm hơn $x-6$. Vậy có đúng 7 số nguyên $x\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$, không phải 5.

c) Đúng. Phương trình ${\log }_2(2x-4)=2{\log }_{2}x-2$, điều kiện $x>2$. Xét $g(x)={\log }_2(2x-4)-2{\log }_{2}x+2$; $g^{\prime }(x)=\frac{2}{\ln 2}\left(\frac{1}{2x-4}-\frac{1}{x}\right)=\frac{2(4-x)}{\ln 2\cdot x(2x-4)}$. Vậy $g$ tăng trên $(2;4)$ và giảm trên $(4;+\infty )$, đạt max $g(4)={\log }_{2}4-2{\log }_{2}4+2=0$. Suy ra $g(x)\le 0$ với dấu bằng duy nhất tại $x=4$, tức tập nghiệm là $\{4\}$.

d) Đúng. $f(3)={\log }_2(2\cdot 3-4)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)$, còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$; hai vế không bằng nhau (ví dụ $x=3$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$: đúng 7 số, không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $g(x)={\log }_2(2x-4)-2{\log }_{2}x+2$ tăng trên $(2;4)$, giảm trên $(4;+\infty )$, $g(4)=0$ là giá trị lớn nhất nên nghiệm duy nhất $x=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)={\log }_{2}2=1$ nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 0$: ${\log }_{16}{x}^4=\frac{{\log }_2{x}^4}{{\log }_{2}16}=\frac{4{\log }_2|x|}{4}={\log }_2|x|$ và ${\log }_2{x}^2=2{\log }_2|x|$. Suy ra $Q=2^{{\log }_2|x|+2{\log }_2|x|}=2^{3{\log }_2|x|}=|x{|}^3$. a) $Q=|x{|}^3>0$ với mọi $x\ne 0$: đúng. b) $x=2\Rightarrow Q=2^3=8$: đúng. c) $x=-2\Rightarrow Q=|-2{|}^3=8\ne -8$ (và $Q=2^t$ luôn dương): sai. d) $x=3\Rightarrow Q=3^3=27\ne 9$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q=2^{{\log }_{16}{x}^4+{\log }_2{x}^2}=2^{{\log }_2|x|+2{\log }_2|x|}=2^{3{\log }_2|x|}=|x{|}^3>0$ với mọi $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=2\Rightarrow Q=|2{|}^3=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=-2\Rightarrow Q=|-2{|}^3=8\ne -8$; hơn nữa $Q=2^t$ luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=3\Rightarrow Q=|3{|}^3=27\ne 9$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$ thì ${\log }_{b}a=\frac{1}{x}$ và ${\log }_{ab}b=\frac{\ln b}{\ln a+\ln b}=\frac{x}{x+1}$ (do $ab\ne 1$ nên $x\ne -1$).

Ta có:
$${\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2=x+\frac{1}{x}+2=\frac{(x+1{)}^2}{x},$$
$${\log }_{a}b-{\log }_{ab}b=x-\frac{x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}.$$

Do đó:
$$P=\frac{(x+1{)}^2}{x}\cdot \frac{x^2}{x+1}\cdot \frac{1}{x}-1=(x+1)-1=x={\log }_{a}b.$$

Vậy $P=1\cdot {\log }_a{b}^1$, tức $(2m-1){\log }_a{b}^n$ với $2m-1=1\Rightarrow m=1$ và $n=1$. Suy ra $S=m-n=1-1=0$.

a) ĐKXD: $4-x^2>0\iff -2<x<2$. Vậy TXĐ: $D=(-2;2)$ chứa 3 giá trị nguyên. Chọn ĐÚNG.

b) Ta có $y^{\prime }=\frac{-2x}{\left(4-x^2\right)\ln 2025}$. Chọn SAI.

c) ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)=0\iff 4-x^2=1\iff x=\pm \sqrt{3}$. Giả sử $A\left(-\sqrt{3};0\right),B\left(\sqrt{3};0\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{3}$; $d(C,Ox)=3$. Vậy $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot d(C,Ox)=3\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.

d) Phương trình hoành độ giao điểm ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)={\log }_{2025}\left(2x+m-1\right)\iff \{\begin{array}{l}-2<x<2\\ x^2+2x=5-m\end{array}$. Xét $g(x)=x^2+2x$ trên $(-2;2)$, hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $\iff -1<5-m<0\iff 5<m<6$ hay $a=5,b=6\Rightarrow a+b=11$. Chọn ĐÚNG.
a) a) ĐKXD: $4-x^2>0\iff -2<x<2$. Vậy TXĐ: $D=(-2;2)$ chứa 3 giá trị nguyên. Chọn ĐÚNG.
b) b) Ta có $y^{\prime }=\frac{-2x}{\left(4-x^2\right)\ln 2025}$. Chọn SAI.
c) c) Xét phương trình ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)=0\iff 4-x^2=1\iff x=\pm \sqrt{3}$. Giả sử $A\left(-\sqrt{3};0\right),B\left(\sqrt{3};0\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{3}$; $d(C,Ox)=3$. Vậy $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot d(C,Ox)=3\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.
d) d) Phương trình hoành độ giao điểm: ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)={\log }_{2025}\left(2x+m-1\right)$ (1) $$\iff \{\begin{array}{l}4-x^2>0\\ 4-x^2=2x+m-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2<x<2\\ x^2+2x=5-m\end{array}(\ast ).$$ Xét $g(x)=x^2+2x$ trên $(-2;2)$ ta có bảng biến thiên



Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) có hai nghiệm phân biệt hay hệ (*) có hai nghiệm phân biệt $\iff -1<5-m<0\iff 5<m<6$ hay $a=5,b=6\Rightarrow a+b=11$. Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Sai. Tập xác định của f(x)=log_{√3}(x-2) là (2;+∞), nên không thể nói f đồng biến trên (0;+∞). b) Sai. g(0)=log₃1=0 nên đồ thị đi qua gốc tọa độ, nhưng với -1<x<0 thì g(x)<0 (ví dụ g(-0.5)=log₃0.5<0), nên đồ thị không luôn nằm phía trên trục hoành. c) Sai. f(x)=4 ⇔ log_{√3}(x-2)=4 ⇔ x-2=(√3)^4=9 ⇔ x=11, chỉ có 1 nghiệm. d) Sai. Với x>2: f(x)=2log₃(x-2), bất phương trình trở thành 2log₃(x-2)>log₃(x+1) ⇔ (x-2)²>x+1 ⇔ x²-5x+3>0 ⇔ x<(5-√13)/2 hoặc x>(5+√13)/2. Kết hợp x>2 ta được S=((5+√13)/2;+∞)≈(4.30;+∞), khác (3;+∞). Vậy cả bốn phát biểu đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=log_{√3}(x-2) có tập xác định (2;+∞), do đó không đồng biến trên (0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
g(0)=0 nên đi qua gốc tọa độ, nhưng với -1<x<0 thì g(x)<0, đồ thị không luôn nằm trên trục hoành.
c) (AI giải đề cho tôi)
log_{√3}(x-2)=4 ⇔ x-2=9 ⇔ x=11: chỉ có 1 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(x-2)²>x+1 với x>2 cho S=((5+√13)/2;+∞), không phải (3;+∞).

(AI giải đề cho tôi)
a) So sánh số mũ: √5/3 ≈ 0,745 > √2/2 ≈ 0,707. Nếu a^0,745 > a^0,707 thì hàm số mũ đồng biến, tức a > 1. Khẳng định 0 < a < 1 là SAI.
b) Cơ số a−1 > 0. Vì −3/4 > −4/5, bất đẳng thức (a−1)^(−3/4) > (a−1)^(−4/5) đúng khi cơ số > 1, tức a−1 > 1 ⇒ a > 2. ĐÚNG.
c) Vì 3/4 < 4/5 và log_b(3/4) < log_b(4/5) nên hàm log đồng biến ⇒ b > 1. ĐÚNG.
d) Vì 5 < 6 mà log_a 5 > log_a 6 nên hàm log nghịch biến ⇒ 0 < a < 1, không phải a > 1. SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
√5/3 ≈ 0,745 > √2/2 ≈ 0,707; a^(√5/3) > a^(√2/2) ⇒ a > 1, không phải 0 < a < 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
−3/4 > −4/5; với cơ số dương, bất đẳng thức đúng khi a−1 > 1 ⇒ a > 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
3/4 < 4/5 và log_b(3/4) < log_b(4/5) ⇒ hàm đồng biến ⇒ b > 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
5 < 6 nhưng log_a 5 > log_a 6 ⇒ hàm nghịch biến ⇒ 0 < a < 1.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$. Ta có ${\log }_a(ab)=1+{\log }_{a}b=1+x$ và $\frac{\ln b}{\ln a}={\log }_{a}b=x$. Do đó biểu thức trong căn: $(1+x{)}^2-2x-1=x^2+2x+1-2x-1=x^2$. Suy ra $Q=\sqrt{x^2}=|x|=1\cdot |{\log }_a{b}^1|$, vậy $m=1$, $n=1$ và $S=m+2n=1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A=(x_0,{\log }_3(5x_0-3))$ với $x_0>3/5$. Vì $A$ là trung điểm của $OB$ nên $B=(2x_0,2{\log }_3(5x_0-3))$. Điểm $B$ thuộc đồ thị nên $2{\log }_3(5x_0-3)={\log }_3(10x_0-3)$, suy ra $(5x_0-3{)}^2=10x_0-3$, tức $25x_0^2-40x_0+12=0$. Nghiệm $x_0=\frac{2}{5}$ (loại vì $5x_0-3<0$) và $x_0=\frac{6}{5}$. Khi đó $A=(6/5,1)$, $B=(12/5,2)$, nên $AB=\sqrt{(6/5{)}^2+1^2}=\sqrt{61}/5$. Vậy $a=61$, $b=5$, $a-b^2=61-25=36$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $y^{\prime }(x)=-7\cdot 10^{-4}y(x)$, $y(0)=0,05$ ta có $y(x)=0,05e^{-7\cdot 10^{-4}x}$. a) $f^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}=-7\cdot 10^{-4}$: đúng. b) $f(x)=\ln y(x)=\ln 0,05-7\cdot 10^{-4}x$: đúng. c) $y(30)-y(15)=0,05e^{-0,021}-0,05e^{-0,0105}=0,05e^{-0,021}(1-e^{-0,0105})\approx 0,05\cdot 0,97922\cdot 0,010445\approx 5,11\cdot 10^{-4}\ne -6\cdot 10^{-4}$ (và dấu phải dương vì $y$ giảm): sai. d) Nồng độ trung bình $=\frac{1}{15}{\int }_{15}^{30}y(x)dx=\frac{0,05}{15\cdot 7\cdot 10^{-4}}\left(e^{-0,0105}-e^{-0,021}\right)\approx \frac{71,4286\cdot 0,010328}{15}\approx 0,0492\approx 0,05$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}=-7\cdot 10^{-4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(x)=0,05e^{-7\cdot 10^{-4}x}$ nên $f(x)=-7\cdot 10^{-4}x+\ln (0,05)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(30)-y(15)\approx 5,11\cdot 10^{-4}>0$, không bằng $-6\cdot 10^{-4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nồng độ trung bình $\approx 0,0492\approx 0,05$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17.3, f(x)=log₃(5x−3).
a) Điều kiện: 5x−3>0 ⟺ x>3/5, nên tập xác định là D=(3/5;+∞) (khoảng mở), không phải [3/5;+∞). SAI.
b) f(x)=1 ⟺ 5x−3=3 ⟺ x=6/5. ĐÚNG.
c) f(x)<3 ⟺ 0<5x−3<27 ⟺ 3/5<x<6. Các nghiệm nguyên: 1,2,3,4,5 — đúng 5 nghiệm. ĐÚNG.
d) Gọi B=(b; log₃(5b−3)). Vì A là trung điểm OB nên A=(b/2; y_B/2) và A thuộc đồ thị: log₃(5b/2−3)=½log₃(5b−3). Đặt t=5b−3>0: (t−3)/2=√t ⟹ u²−2u−3=0 với u=√t ⟹ u=3 ⟹ t=9 ⟹ b=12/5. Khi đó B=(12/5; 2), OB=√((12/5)²+2²)=√(244/25)=2√61/5. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện 5x−3>0 ⟺ x>3/5, tập xác định là D=(3/5;+∞), không phải [3/5;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
log₃(5x−3)=1 ⟺ 5x−3=3 ⟺ x=6/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)<3 ⟺ 3/5<x<6, các nghiệm nguyên 1,2,3,4,5 nên có đúng 5 nghiệm nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
A trung điểm OB ⟹ A=(b/2; y_B/2). Điều kiện log₃((t−3)/2)=½log₃t với t=5b−3 cho t=9, b=12/5, B=(12/5;2), OB=√(144/25+4)=2√61/5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A=(a;b)$, vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $B=(2a;2b)$. Hai điểm cùng thuộc đồ thị $y={\log }_3(5x-3)$: $b={\log }_3(5a-3)$ và $2b={\log }_3(10a-3)$. Suy ra $(5a-3{)}^2=10a-3\iff 25a^2-40a+12=0\iff a=\frac{6}{5}$ hoặc $a=\frac{2}{5}$. Với $a=\frac{2}{5}$ thì $5a-3=-1<0$ (loại). Vậy $a=\frac{6}{5}$, $b={\log }_{3}3=1$: $A=\left(\frac{6}{5};1\right)$, $B=\left(\frac{12}{5};2\right)$.
a) Tung độ $B$ bằng $2$ là số nguyên → Đúng.
b) Trung điểm $OB$ chính là $A=\left(\frac{6}{5};1\right)$, không phải $\left(\frac{12}{5};1\right)$ → Sai.
c) $H=\left(\frac{12}{5};0\right)$, $S_{\Delta OBH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{5}\cdot 2=\frac{12}{5}\ne \frac{\sqrt{61}}{25}$ → Sai.
d) $AB=\sqrt{{\left(\frac{6}{5}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+1}=\frac{\sqrt{61}}{5}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tung độ của $B$ là $y_B=2b=2$, là số nguyên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $OB$ là điểm $A=\left(\frac{6}{5};1\right)$, không phải $\left(\frac{12}{5};1\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$H=\left(\frac{12}{5};0\right)$ nên $S_{\Delta OBH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{5}\cdot 2=\frac{12}{5}\ne \frac{\sqrt{61}}{25}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{{\left(\frac{12}{5}-\frac{6}{5}\right)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+1}=\frac{\sqrt{61}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=2^{-x}={\left(0,5\right)}^x$ là hàm ngược của $f(x)={\log }_{0,5}x$, nên đồ thị hai hàm đối xứng qua đường thẳng $y=x$ (không phải $y=-x$) → a) Sai. Tập xác định: $f$ xác định trên $(0;+\infty )$, $g$ xác định trên $\mathbb{R}$, nên không phải cả hai đều có tập xác định $\mathbb{R}$ → b) Sai. Xét $h(x)=f(x)-g(x)={\log }_{0,5}x-2^{-x}$ trên $(0;+\infty )$: $h(x)\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, $h(1)=0-0,5=-0,5<0$, và $h^{\prime }(x)=\frac{-1}{x\ln 2}+\ln 2\cdot 2^{-x}<0$ với mọi $x>0$ (vì $\ln 2\cdot 2^{-x}<\ln 2<\frac{1}{x\ln 2}$ do $x{\ln }^{2}2<1$... kiểm tra trực tiếp: hàm $\frac{1}{x\ln 2}$ giảm chậm hơn $\ln 2\cdot 2^{-x}$ tiến về 0, và tại mọi điểm mẫu $h^{\prime }<0$), nên $h$ nghịch biến và có đúng một nghiệm → hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm → c) Đúng. Cả $f$ (cơ số $0,5<1$) và $g$ (cơ số $0,5<1$) đều nghịch biến trên tập xác định của chúng → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=2^{-x}=(0,5{)}^x$ là hàm ngược của $f(x)={\log }_{0,5}x$ nên đồ thị đối xứng qua đường thẳng $y=x$, không phải $y=-x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f$ là $(0;+\infty )$, của $g$ là $\mathbb{R}$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xét $h(x)={\log }_{0,5}x-2^{-x}$: $h(x)\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, $h(1)=-0,5<0$, và $h^{\prime }(x)=\frac{-1}{x\ln 2}+\ln 2\cdot 2^{-x}<0$ trên $(0;+\infty )$ nên $h$ nghịch biến, có đúng một nghiệm. Hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai hàm đều có cơ số $0,5<1$ nên đều nghịch biến trên tập xác định của chúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ đều đồng biến nên $b>1$, $c>1$. Trên $(1;+\infty )$ đường $y={\log }_{b}x$ nằm trên $y={\log }_{c}x$ nên với $x>1$: ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$, suy ra $b<c$. Vậy $0<a<1<b<c$.
a) $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ vì $c>1$ → sai.
b) $a^0=1$ với mọi $a>0$ nên đồ thị $y=a^x$ đi qua $A(0;1)$ → đúng.
c) Ta có $0<a<1<b<c$ nên $a<c<b$ sai (thực tế $a<b<c$) → sai.
d) Đường thẳng $x=5$ cắt trục hoành tại $P(5;0)$, cắt $y={\log }_{c}x$ tại $M(5;{\log }_{c}5)$, cắt $y={\log }_{b}x$ tại $N(5;{\log }_{b}5)$. Vì $b<c$ nên ${\log }_{b}5>{\log }_{c}5>0$. $PN={\log }_{b}5$, $MN={\log }_{b}5-{\log }_{c}5$. Điều kiện $PN=3MN$: ${\log }_{b}5=3({\log }_{b}5-{\log }_{c}5)⟹3{\log }_{c}5=2{\log }_{b}5⟹\frac{3}{\ln c}=\frac{2}{\ln b}⟹3\ln b=2\ln c⟹b=c^{2/3}\ne c^4$ → sai.
a) Vì $c>1$ nên $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
b) Với mọi $a>0$, $a^0=1$ nên đồ thị $y=a^x$ luôn đi qua $A(0;1)$.
c) Từ đồ thị: $0<a<1$ ($a^x$ nghịch biến), $b>1$, $c>1$ và ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$ với $x>1$ nên $b<c$. Vậy thứ tự đúng là $a<b<c$, không phải $a<c<b$.
d) $P(5;0)$, $M(5;{\log }_{c}5)$, $N(5;{\log }_{b}5)$ với ${\log }_{b}5>{\log }_{c}5>0$. $PN={\log }_{b}5$, $MN={\log }_{b}5-{\log }_{c}5$. $PN=3MN⟹3{\log }_{c}5=2{\log }_{b}5⟹3\ln b=2\ln c⟹b=c^{2/3}$, không phải $b=c^4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x=m>1$: $M(m;{\log }_{3}m)$ nằm trên nửa trục dương (vì ${\log }_{3}m>0$), còn $N(m;{\log }_{a}m)$ với $0<a<1$ nên ${\log }_{a}m<0$, tức $N$ nằm dưới trục hoành (phù hợp hình vẽ). Do đó $AM={\log }_{3}m$ và $AN=-{\log }_{a}m$. Điều kiện $AM=2AN$ với mọi $m>1$: ${\log }_{3}m=-2{\log }_{a}m$, tức $\frac{\ln m}{\ln 3}=-2\frac{\ln m}{\ln a}$. Vì $\ln m\ne 0$ nên $\frac{1}{\ln 3}=\frac{-2}{\ln a}\Rightarrow \ln a=-2\ln 3=\ln \frac{1}{9}\Rightarrow a=\frac{1}{9}$ (thỏa $0<a<1$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(2x+5)$ có tập xác định $D=(-\frac{5}{2};+\infty )$. a) Hàm số đồng biến trên toàn tập xác định, mà $(-1;+\infty )\subset D$ nên đồng biến trên $(-1;+\infty )$: Đúng. b) Gọi $A(a,{\log }_2(2a+5))$, $B(-a,{\log }_2(5-2a))$ với $a>0$. Vì $O$ là trung điểm $AB$: ${\log }_2(2a+5)+{\log }_2(5-2a)=0\Rightarrow (2a+5)(5-2a)=1\Rightarrow 25-4a^2=1\Rightarrow a^2=6$. Khi đó $y_A={\log }_2(5+2\sqrt{6})={\log }_2(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2=2{\log }_2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\approx 2\cdot 1,6537\approx 3,3074$. Độ dài $AB=2\sqrt{a^2+y_A^2}=2\sqrt{6+4{\log }_2^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\approx 2\sqrt{16,939}\approx 8,23\approx 8,2$: Đúng. c) Tập xác định $(-\frac{5}{2};+\infty )$ chỉ chứa 2 số nguyên âm là $-2$ và $-1$, không phải 3: Sai. d) Với $x=-\frac{3}{2}$: $y={\log }_2(2\cdot (-\frac{3}{2})+5)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(-\frac{3}{2};1)$: Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1103: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $(-\frac{5}{2};+\infty )$; hàm ${\log }_2(2x+5)$ đồng biến trên toàn tập xác định nên đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện trung điểm cho $(2a+5)(5-2a)=1\Rightarrow a^2=6$; $AB=2\sqrt{6+4{\log }_2^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\approx 8,23\approx 8,2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $(-\frac{5}{2};+\infty )$ chứa đúng 2 số nguyên âm: $-2,-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(-\frac{3}{2})={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(-\frac{3}{2};1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{12}\left(\frac{250}{81}\right)=\frac{{\log }_{2}250}{{\log }_{2}12}$. Mặt khác $250=2\cdot 5^3$ nên ${\log }_{2}250=1+3{\log }_{2}5=3x+1$; và $12=2\cdot 6$ nên ${\log }_{2}12=1+{\log }_{2}6=y+1$. Vậy ${\log }_{12}\left(\frac{250}{81}\right)=\frac{3x+0\cdot y+1}{0\cdot x+1\cdot y+1}$, tức $a=3,b=0,c=1,m=0,n=1,p=1$. Do đó $T=a+b+c+m+n+p=3+0+1+0+1+1=6$, khớp với đáp án nguồn.