Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng cách không gian (Toán học Lớp 11)

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là $x$.
Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $AC\subset (D^{\prime }AC)$.
Kẻ $DH\perp D^{\prime }O$ tại $H$, suy ra $DH\perp (D^{\prime }AC)$ nên $d(D,(D^{\prime }AC))=DH=\frac{D{D}^{\prime }\cdot DO}{\sqrt{D{D}^{\prime 2}+D{O}^2}}=\frac{x\cdot \frac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{x^2+\frac{x^2}{2}}}=\frac{x}{\sqrt{3}}$.
Đường thẳng $B^{\prime }D$ cắt $D^{\prime }O$ tại trọng tâm $M$ của tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }D$, suy ra $\frac{d(B^{\prime },(D^{\prime }AC))}{d(D,(D^{\prime }AC))}=2\Rightarrow d(B^{\prime },(D^{\prime }AC))=\frac{2x}{\sqrt{3}}$.
Theo giả thiết: $d(D,(D^{\prime }AC))\cdot d(B^{\prime },(D^{\prime }AC))=\frac{x}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2x}{\sqrt{3}}=\frac{2x^2}{3}=6a^2\iff x^2=9a^2\Rightarrow x=3a$.
Thể tích khối lập phương là $V=x^3=(3a{)}^3=27a^3$, do đó $k=27\in (20;30)$.

Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có $BO\perp (SAC)$ nên $d(B,(SAC))=BO=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $BO\perp AC$ và $BO\perp SA$ nên $BO\perp (SAC)$, suy ra $d(B,(SAC))=BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ mà $A{A}^{\prime }\subset (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
Đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là:
$d(B{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime })=d(B{B}^{\prime },(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BO\perp AC$, lại có $BO\perp A{A}^{\prime }$ nên $BO\perp (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
Do đó $d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Gọi hệ trục tọa độ hoặc dùng hình học thuần túy: $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$.
Gọi $N$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$, khi đó mặt phẳng $(BMN)$ chứa $MB$ và song song với $B{C}^{\prime }$.
Khoảng cách giữa $MB$ và $B{C}^{\prime }$ được tính chính xác bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Theo lời giải chi tiết, tính được khoảng cách từ $H$ đến $(SCD)$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\perp (ABCD)$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $CB\parallel (SAD)$ nên $d(C,(SAD))=d(B,(SAD))=2d(H,(SAD))$. Kẻ $HK\perp SA$ tại $K$, vì $AD\perp (SAB)$ nên $AD\perp HK\Rightarrow HK\perp (SAD)$. Trong tam giác vuông $SHA$: $HK=\frac{SH\cdot HA}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Vậy $d(C,(SAD))=2HK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Chọn đáp án B.

Vì $AB\parallel CD$ và $CD\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$.
Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $CM$ bằng khoảng cách từ đường thẳng $AB$ đến mặt phẳng $(SCD)$:
$d(AB,CM)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)).$
Kẻ $AH\perp SD$ tại $H$. Ta có $CD\perp AD$ và $CD\perp SA⟹CD\perp (SAD)⟹CD\perp AH$.
Suy ra $AH\perp (SCD)$, do đó $d(A,(SCD))=AH$.
Trong tam giác vuông $SAD$ tại $A$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}⟹AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Vì $\widehat{ABC}=120^{\circ }$ nên điểm $B$ nằm giữa $C$ và $H$, góc $\widehat{ABH}=60^{\circ }$.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có $AH=AB\cdot \sin 60^{\circ }=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Vì $BC\perp AH$ và $BC\perp SA⟹BC\perp (SAH)$.
Kẻ $AK\perp SH$ tại $K$, suy ra $AK\perp (SBC)$, do đó $d(A,(SBC))=AK$.
Trong tam giác vuông $SAH$:
$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{(3a{)}^2}+\frac{1}{(a\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{9a^2}⟹AK=\frac{3a}{2}.$

Ta có $AC\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\parallel ABCD$. Đường thẳng $D{C}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$.
Sử dụng hệ tọa độ hoặc vectơ, khoảng cách giữa hai đường chéo chéo nhau trên hai mặt vuông góc của hình lập phương là $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Gọi $H$ là trung điểm $AB\Rightarrow SH\perp (ABCD)$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$.
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{4a^3}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}\cdot 4a^2\cdot SH=\frac{4a^3}{3}\Rightarrow SH=a$.
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)\Rightarrow d(A,(SCD))=d(H,(SCD))$.
Kẻ $HM\perp CD$ tại trung điểm $M$ của $CD\Rightarrow HM=2a$. Kẻ $HK\perp SM\Rightarrow HK=d(H,(SCD))$.
Trong tam giác vuông $SHM$:
$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{M}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}\Rightarrow HK=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=2d(O,(SCD))$.
Kẻ $OK\perp CD$ tại trung điểm $K$ của $CD$, kẻ $OH\perp SK$.
Khi đó $d(O,(SCD))=OH$.
Ta có $SO=a,OK=\frac{a}{2}$. Trong tam giác vuông $SOK$:
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
Khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ là $d=2OH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $A^{\prime }B$ lên đáy là $AB$, góc giữa $A^{\prime }B$ và đáy là $\widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }$.
Chiều cao $A^{\prime }A=AB\tan 60^{\circ }=a\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=a\sqrt{15}$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$. Lại có $A^{\prime }A\perp BC\Rightarrow BC\perp (A^{\prime }AB)$.
Kẻ $AH\perp A^{\prime }B$ tại $H$, suy ra $AH\perp (A^{\prime }BC)$.
Do đó khoảng cách từ $A$ đến $(A^{\prime }BC)$ là $AH$.
Tam giác $A^{\prime }AB$ vuông tại $A$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A^{\prime }{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{15a^2}+\frac{1}{5a^2}=\frac{4}{15a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.

Ta có $HA=\frac{2a}{3},HB=\frac{a}{3}$.
Áp dụng định lí cos trong tam giác $HBC$: $H{C}^2=H{B}^2+B{C}^2-2HB\cdot BC\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{9}+a^2-2\cdot \frac{a}{3}\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow HC=\frac{a\sqrt{7}}{3}$.
Vì góc giữa $SC$ và đáy là $45^{\circ }$ nên tam giác $SHC$ vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HC=\frac{a\sqrt{7}}{3}$.
Dựng hình bình hành $ABCD$, khi đó $BC\parallel AD\Rightarrow BC\parallel (SAD)$.
$d(BC,SA)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=\frac{1}{2}d(H,(SAD))$.
Tính khoảng cách từ $H$ đến $(SAD)$ qua tứ diện vuông hoặc thể tích: $d(SA,BC)=\frac{a\sqrt{210}}{20}$.

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
Vì $\Delta ACD$ và $\Delta BCD$ là các tam giác đều cạnh 3 nên $MC=MD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (hoặc ở đây $AC=BC=AD=BD=CD=3$).
Tam giác $ABC$ cân tại $C$ có $AC=BC=3,AB=5\Rightarrow MC=\sqrt{3^2-(5/2{)}^2}=\sqrt{9-25/4}=\frac{\sqrt{11}}{2}$.
Tam giác $MCD$ cân tại $M$ có $MC=MD=\frac{\sqrt{11}}{2},CD=3\Rightarrow MN\perp CD$ và:
$MN=\sqrt{M{C}^2-N{D}^2}=\sqrt{\frac{11}{4}-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{11}{4}-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Vì $MN\perp AB$ và $MN\perp CD$, đoạn $MN$ là đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng $MN=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vì $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $C{C}^{\prime }\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Do đó $d(A{B}^{\prime },C{C}^{\prime })=d(C{C}^{\prime },(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))=d(C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $CH\perp AB$.
Lại có $(ABC)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ theo giao tuyến $AB$ nên $CH\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Vậy $d(A{B}^{\prime },C{C}^{\prime })=CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ có $AD=a,AB=2a⟹d(A,BD)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $d(I,BD)=\frac{1}{2}d(A,BD)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 201: Chọn C ($d=\frac{a\sqrt{2}}{4}$).

Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $AB\subset (AB{C}^{\prime })$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (AB{C}^{\prime })$.
Do đó:
$d(A^{\prime }{B}^{\prime },B{C}^{\prime })=d(A^{\prime }{B}^{\prime },(AB{C}^{\prime }))=d(A^{\prime },(AB{C}^{\prime }))$
Ta tính khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $(AB{C}^{\prime })$ qua thể tích tứ diện $A^{\prime }.AB{C}^{\prime }$:
- Ta có $V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }}=V_{C^{\prime }.A^{\prime }AB}$. Vì $C^{\prime }C\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $C$ đến $AB$ trong tam giác đều $ABC$, tức là $h_C=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- Diện tích hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là $a^2$, nên diện tích tam giác $A^{\prime }AB$ là $S_{A^{\prime }AB}=\frac{1}{2}{a}^2$.
- Suy ra thể tích:
$V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
- Mặt khác, tam giác $AB{C}^{\prime }$ có $AB=a$, $A{C}^{\prime }=B{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
Tam giác $AB{C}^{\prime }$ cân tại $C^{\prime }$, đường cao từ $C^{\prime }$ xuống $AB$ là:
$h_{C^{\prime }}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$
Diện tích tam giác $AB{C}^{\prime }$ là:
$S_{AB{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$
Vậy khoảng cách cần tìm là:
$d(A^{\prime },(AB{C}^{\prime }))=\frac{3V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }}}{S_{AB{C}^{\prime }}}=\frac{3\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{12}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Chọn C.

Vì các tam giác $ABC,ACD,ABD$ vuông tại $A$ nên $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc. Áp dụng công thức đường cao trong tứ diện vuông:
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{11}{6a^2}\Rightarrow d=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}$.

Vì các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là tâm $H$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Nửa chu vi tam giác $ABC$: $p=\frac{5+8+7}{2}=10$.
$S_{ABC}=\sqrt{10(10-5)(10-8)(10-7)}=\sqrt{10\cdot 5\cdot 2\cdot 3}=10\sqrt{3}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 8\cdot 7}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}$.
Chiều cao: $SH=R\tan 30^{\circ }=\frac{7}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{7}{3}$.
Thể tích chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot \frac{7}{3}=\frac{70\sqrt{3}}{9}$.
Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$: $d(A,(SBC))=\frac{3V}{S_{SBC}}=\frac{35\sqrt{39}}{52}$.