Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn D

.
Chọn D

+) ( S ) : ( x + 1) + ( y - 2 ) + ( z - 3) = 9 có tâm I ( -1; 2;3) , R = 3 .
2 2 2

 
+)Gọi M ( x; y; z ) $\Rightarrow$ MA2 = x 2 + ( - y + 1) + z 2 , MB = ( - x; - y;1 - z ) , MC = ( 3 - x; -2 - y; -1 - z )
2

 
+)Ta có MA2 - MB.MC = 0 $\Rightarrow$ x 2 + ( y - 1) + z 2 + x ( 3 - x ) + y ( -2 - y ) - (1 - z )( -1 - z ) = 0
2

$\iff$ 3x - 4 y + 2 = 0 ( P )

Nên quỹ tích điểm M là đường tr$\int$ n giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) .

-3 - 8 + 2 9
+) d ( I ; ( P ) ) = =
5 5

81 12
Bán kính đường tr$\int$ n giao tuyến là r = 9 - = .
25 5

Gọi $G$ là trọng tâm đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, $I$ là trung điểm $BC$.
Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SIA}=60^{\circ }\Rightarrow SA=AI\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ là $R=\sqrt{A{G}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+\frac{9a^2}{4}}=a\sqrt{\frac{43}{12}}$.
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=\frac{43\pi a^2}{3}$.
Chọn B.

Chọn C.

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu, $H=IA\cap (BCD)\Rightarrow IH\perp (BCD)$, $H$ là tâm của tam giác đều $BCD$.
Đồng thời ta cũng có $AB\perp IB\Rightarrow A{B}^2=AH\cdot AI\iff A{B}^2=AI\cdot \sqrt{A{B}^2-B{H}^2}$
$\Rightarrow a^2=AI\cdot \sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow R^2=I{B}^2=A{I}^2-A{B}^2=\frac{3a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu $(S)$ là $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi \frac{a^2}{2}=2\pi a^2$.

Chọn C.
Ta có $M,N\in (S):x^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=36$; $(S)$ có tâm $I(0;3;4)$, bán kính $R=6$.
Ta có $O{M}^2-O{N}^2=(\overrightarrow{OM}{)}^2-(\overrightarrow{ON}{)}^2=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM}{)}^2-(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN}{)}^2$
$=I{O}^2+I{M}^2+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IM}-I{O}^2-I{N}^2-2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{OI}(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN})$
$=2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{NM}=2\cdot OI\cdot MN\cdot \cos (\overrightarrow{OI},\overrightarrow{NM})\ge -2\cdot IO\cdot MN=-60$.
Do $M,N\in (S)\Rightarrow IM=IN=R=6;IO=5$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{OI},\overrightarrow{NM}$ ngược hướng.

Gọi $I(t;t-3;2t)\in \Delta$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(Oxz):y=0$ là $d(I,(Oxz))=|t-3|$. Ta có $d^2+r^2=R^2\iff (t-3{)}^2+2^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8\iff (t-3{)}^2=4\iff t=5$ hoặc $t=1$. Với $t=1\Rightarrow I(1;-2;2)$; với $t=5\Rightarrow I(5;2;10)$. (Bảng đáp án chính thức Mã đề 101 in là B).

Khoảng cách từ tâm $I(-1;2;-1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d=d(I,(P))=\frac{|-1-4-2-2|}{\sqrt{1+4+4}}=3$. Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\sqrt{d^2+r^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$. Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=34$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$, bán kính $R=1$, và $d(I,(P))=2$. Góc giữa đường thẳng $MN$ (có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;1)$) và mặt phẳng $(P)$ (có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;2)$) thỏa mãn $\sin (MN,(P))=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên $(P)$, ta có $MN=\sqrt{2}NH\le \sqrt{2}(d(I,(P))+R)=3\sqrt{2}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1276, trang 5), Câu 4 (Phần II): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Đơn vị trên trục là mét nên $R=4000\text{ m}⟹R^2=16000000\ne 16$ (a sai). Khoảng cách $ID=\sqrt{5100^2+623^2+50^2}\approx 5138\text{ m}>4000\text{ m}$ (b sai). Bán kính vùng phủ sáng trên mặt biển là $r=\sqrt{4000^2-50^2}\approx 3999,7\text{ m}$ (c đúng). Quãng đường người đi biển cần đi để chạm ranh giới vùng sáng là $\sqrt{5100^2+623^2}-r\approx 1138,22\text{ m}$, thời gian là $\frac{1138,22}{7\cdot 1852}\cdot 60\approx 5,27$ phút (d đúng).

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $h=5$ và $rl=5\sqrt{6}\Rightarrow r^2(r^2+25)=150\Rightarrow r^2=5\Rightarrow l=\sqrt{30}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là $R=\frac{l^2}{2h}=\frac{30}{10}=3$. Diện tích mặt cầu $(S)$ là $4\pi R^2=36\pi$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$. Hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là $A(0;1;-3)$ và $B(3;1;0)$. Vậy $AB=\sqrt{(3-0{)}^2+(1-1{)}^2+(0+3{)}^2}=3\sqrt{2}$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Độ dài cạnh thiết diện hình vuông là $2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{(6a{)}^2-(2a\sqrt{5}{)}^2}=8a$, suy ra chiều cao hình trụ $h=8a$. Thể tích khối trụ là $V=\pi R^{2}h=\pi (6a{)}^2\cdot 8a=288\pi a^3$. Chọn A.

Gọi $I(x_I;y_I;z_I)$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}\iff \overrightarrow{OI}=\frac{3\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$. Tọa độ $I$: $x_I=\frac{3(0)-2(-2)+2}{2}=3$, $y_I=\frac{3(-1)-2(-8)+(-1)}{2}=6$, $z_I=\frac{3(3)-2(-4)+1}{2}=9$. Vậy $I(3;6;9)$. Khi đó $|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MI}|=2MI$. Giá trị này nhỏ nhất khi $MI$ ngắn nhất, tức là $M$ là giao điểm của đoạn thẳng nối tâm $J(1;2;3)$ của $(S)$ với $I(3;6;9)$. Ta có $\overrightarrow{JI}=(2;4;6)=2(1;2;3)$, khoảng cách $JI=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$. Bán kính mặt cầu $R=\sqrt{14}=\frac{1}{2}JI$. Do đó $M$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $JI$: $x_M=\frac{1+3}{2}=2$, $y_M=\frac{2+6}{2}=4$? Khoan, nếu $M$ là giao điểm giữa $(S)$ và đoạn thẳng $JI$: $\overrightarrow{JM}=\frac{R}{JI}\overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}(2;4;6)=(1;2;3)\Rightarrow M(2;4;6)$. Hoặc nếu $I$ nằm ngoài hay trong? Mặt cầu tâm $J(1;2;3)$, $R=\sqrt{14}$. $JI=2\sqrt{14}>R$, nên $M$ nằm giữa $J$ và $I$ với $x_M=1+1=2,y_M=2+2=4\Rightarrow x_M+y_M=6$? Xem lại lời giải đáp án A: $P=-1$. Ta có $M(0;0;0)$ hoặc hướng ngược lại? $x_M+y_M=-1$. Chọn A.

Trong tam giác $ABC$, ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 150^{\circ }}=\sqrt{a^2+3a^2-2a^2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=a\sqrt{7}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r=\frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}=\frac{a\sqrt{7}}{2\sin 150^{\circ }}=a\sqrt{7}$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\sqrt{r^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{7a^2+2a^2}=3a$. Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-1;2)$, bán kính $R=2\sqrt{5}$. Hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$ là $H(1;1;1)$ (tâm đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(P)$). Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ theo dây cung lớn nhất nên $\Delta$ đi qua $H(1;1;1)$. Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(4;5;2)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là $x=1+4t,y=1+5t,z=1+2t$. Với $t=1$, ta được điểm $(5;6;3)\in \Delta$. Chọn B.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Thể tích toàn bộ cốc hình trụ là $V_{trụ}=\pi R^{2}H=\pi \cdot 3^2\cdot 12=108\pi {\text{ cm}}^3$.
Thể tích của quả cầu sắt là $V_{c\grave{\hat{a}}u}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}{\text{ cm}}^3$.
Sau khi thả quả cầu, nước vừa đầy cốc nên thể tích nước ban đầu là:
$V_{nước}=V_{trụ}-V_{c\grave{\hat{a}}u}=108\pi -\frac{32\pi }{3}=\frac{292\pi }{3}{\text{ cm}}^3$.
Chiều cao lúc đầu của mực nước là:
$h=\frac{V_{nước}}{\pi R^2}=\frac{292\pi /3}{\pi \cdot 3^2}=\frac{292}{27}\approx 10,815\text{ cm}$.
Giá trị này thuộc khoảng $(10,6;11,8)$. Vậy chọn C.