Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Mặt phẳng qua $M(2;-1;1)$ và song song với $(P)$ có phương trình $1(x-2)-2(y+1)+3(z-1)=0\iff x-2y+3z-7=0$.
Do đó $a=1,b=-2,c=3\Rightarrow a+b+c=2$.

Gọi tọa độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c\ne 0$.
Vì $G(1;2;3)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:
$$\{\begin{array}{l}a=3x_G=3\\ b=3y_G=6\\ c=3z_G=9\end{array}$$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ theo đoạn chắn là:
$$\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\iff 6x+3y+2z-18=0$$
Chọn đáp án B.

Ta có $d(M,(P))=\frac{|2(-1)-2(2)+(-3)+5|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|-4|}{3}=\frac{4}{3}$.

a) Đúng: $3(1)-2(-1)+(-4)-1=0\Rightarrow A\in (\alpha )$.
b) Đúng: Mặt phẳng qua $M(1;2;1)$ song song với $(\alpha )$ là $3(x-1)-2(y-2)+1(z-1)=0\iff 3x-2y+z=0$.
c) Sai: $\cos ((\alpha ),(\beta ))=\frac{|3+2+2|}{\sqrt{14}\sqrt{6}}=\frac{7}{2\sqrt{21}}\Rightarrow ((\alpha ),(\beta ))\approx 40,2^{\circ }\ne 45^{\circ }$.
d) Sai: Hai vectơ pháp tuyến $(3;-2;1)$ và $(3;-2;-2)$ không cùng phương.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-2;0),\overrightarrow{AC}=(3;1;-4)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(8;12;9)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $8(x+1)+12(y-1)+9(z-3)=0\iff 8x+12y+9z-31=0$.
Do đó $a=8,b=12,c=9\Rightarrow a-c=8-9=-1$.

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$, ta có $\frac{x}{3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{7}=1\iff \frac{x}{3}-y+\frac{z}{7}=1$.

Chọn D.
Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$.
Mặt phẳng đi qua $A(1;2;0)$ có phương trình: $1(x-1)+1(y-2)-1(z-0)=0\iff x+y-z-3=0$.

Trung điểm của đoạn thẳng $OA$ là $I(1;0;-2)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\overrightarrow{OA}=(2;0;-4)=2(1;0;-2)$.
Phương trình mặt phẳng trung trực là:
$1(x-1)+0(y-0)-2(z+2)=0⟺x-2z-5=0$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-3;5;3)=-(3;-5;-3)$. Mặt phẳng đi qua $A(1;2;-3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-5;-3)$ là $3(x-1)-5(y-2)-3(z+3)=0\iff 3x-5y-3z-2=0$.

Chọn B.
Đặt $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$. Ta có $(1+2i)(a+bi)+3(a-bi)=4-2i⟺(4a-2b)+(2a-2b)i=4-2i$.
Suy ra $\{\begin{array}{l}4a-2b=4\\ 2a-2b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\end{array}⟹|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Chọn D.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;2)=2(1;1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(3;-1;3)$.
Khi đó $\left[\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(4;0;-4)=4(1;0;-1)$.
Vậy ${\vec{n}}_1=(1;0;-1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.

Chọn C
x y z
Mặt phẳng cần tìm có phương trình: + + = 1 $\iff$ 6 x + 4 y + 3 z - 12 = 0.
2 3 4
1+ 2x

Chọn A
Phương trình mặt phẳng ( P ) cần tìm là: 1( x - 1) + 1( y - 2 ) + 2 ( z + 1) = 0 $\iff$ x + y + 2 z - 1 = 0 .

Chọn A
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB $\Rightarrow$ I ( -1;1; -1) .
 
AB = ( -4; -2; 4 ) $\Rightarrow$ n = ( 2;1; -2 ) là vecto pháp tuyến.

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng trung trực đi qua I và nhận n = ( 2;1; -2 ) làm vecto pháp tuyến là:
2 ( x + 1) + 1( y - 1) - 2 ( z + 1) = 0 $\iff$ 2 x + y - 2 z - 1 = 0. .

Tọa độ các hình chiếu của điểm $M(2;3;4)$ lên các trục tọa độ là $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;4)$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-4;1-(-3);3-7)=(-2;4;-4)=-2(1;-2;2)$.
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, tọa độ của $M$ là:
$M\left(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}\right)=(3;-1;5).$
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua điểm $M(3;-1;5)$ và nhận véc-tơ $\vec{n}=(1;-2;2)$ làm véc-tơ pháp tuyến, có phương trình:
$1(x-3)-2(y+1)+2(z-5)=0\iff x-2y+2z-15=0.$

Chọn đáp án D.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_d=(1;-3;2)$. Vì $(\alpha )\perp d$ nên $(\alpha )$ nhận ${\vec{u}}_d$ làm vectơ pháp tuyến: $1(x+1)-3(y-0)+2(z-1)=0\iff x-3y+2z-1=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Do mặt phẳng $(P)$ đi qua $2$ điểm $M(-1;0;3),N(1;-1;-2)$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(Q):2x+y+z-2022=0$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\perp \overrightarrow{MN}(2;-1;-5)\\ \vec{n}\perp {\vec{n}}_Q(2;1;1)\end{array}⟹\vec{n}=[\overrightarrow{MN},{\vec{n}}_Q]=(4;-12;4).$

Chọn ${\vec{n}}_1=(1;-3;1)$ là VTPT của $(P)$.

Khi đó $(P)$ đi qua $M$ và có VTPT ${\vec{n}}_1$ nên có phương trình: $x-3y+z-2=0$.

Chọn A.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(P):x-2y+z-3=0$ là: $1(x-1)-2(y-2)+(z-3)=0\iff x-2y+z=0$.

Chọn A.
Phương trình đường thẳng $d$ có VTCP ${\vec{u}}_d=(2;-1;4)$. Do $(P)\perp d\Rightarrow {\vec{n}}_P={\vec{u}}_d=(2;-1;4)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ là $2(x+4)-1(y+2)+4(z-4)=0\iff 2x-y+4z-10=0$.