Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x^2-8x-5\ge 0$ và $x+2\ge 0$ tức $x\ge -2$. Bình phương hai vế: $2x^2-8x-5=(x+2{)}^2=x^2+4x+4$, suy ra $x^2-12x-9=0$. Hai nghiệm $x=6\pm 3\sqrt{5}$. Kiểm tra điều kiện $x\ge -2$: $6-3\sqrt{5}\approx -0,71\ge -2$ (thỏa, vì $2(6-3\sqrt{5}{)}^2-8(6-3\sqrt{5})-5\approx 0,5>0$) và $6+3\sqrt{5}\approx 12,71$ (thỏa). Tổng các nghiệm $=(6-3\sqrt{5})+(6+3\sqrt{5})=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, Phần III Câu 1: 12).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục O(0;0), đường là trục Ox, A(0;6), B(10;0). Gọi C(x;0), 0≤x≤10, khi đó AC=√(x²+36), CB=10−x. Tổng thời gian: √(x²+36)/4 + (10−x)/12 = 2,5. Nhân 12: 3√(x²+36) + 10 − x = 30 ⟹ 3√(x²+36) = 20 + x. Bình phương: 9x²+324 = x²+40x+400 ⟹ 8x²−40x−76=0 ⟹ 2x²−10x−19=0 ⟹ x=(5±3√7)/2. Chỉ nhận x=(5+3√7)/2≈6,47 km (nghiệm còn lại âm). Vậy CB=10−x=(15−3√7)/2≈3,53≈3,5 km. Kiểm tra: AC≈8,78, thời gian ≈ 8,78/4 + 3,53/12 ≈ 2,5 giờ. Khớp đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $MC=x$ (km), $0\le x\le 5$. Khi đó $BM=5-x$. Tam giác $ACM$ vuông tại $C$ nên $AM=\sqrt{A{C}^2+M{C}^2}=\sqrt{9+x^2}$. Theo đề: $BM+AM=7$ suy ra $5-x+\sqrt{9+x^2}=7$, tức $\sqrt{9+x^2}=2+x$ (vế phải dương vì $x\ge 0$). Bình phương hai vế: $9+x^2=4+4x+x^2\Rightarrow 4x=5\Rightarrow x=1,25$. Thử lại: $BM=3,75$, $AM=\sqrt{9+1,5625}=\sqrt{10,5625}=3,25$, tổng $=7$ km thỏa mãn. Vậy $M$ cách $C$ một khoảng $1,25$ km, khớp đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 22: 1,25).

Gọi $x$ là chiều dài $HM(x>0,m)$
Ta có $\Delta AHM$ vuông tại $H$ nên $AM=\sqrt{144+x^2}$
Có $MB=20-x$. Do $AM+MB=28\Rightarrow \sqrt{144+x^2}+20-x=28\Rightarrow \sqrt{144+x^2}=x+8$
$\Rightarrow 144+x^2=x^2+16x+64\Rightarrow 16x=80\Rightarrow x=5$. Thử lại ta thấy $x=5$ thỏa. Kết quả 5

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện $3-x\ge 0$): $2x^2+x+3=(3-x{)}^2=9-6x+x^2\iff x^2+7x-6=0$. Hai nghiệm $x_1,x_2$ có tổng $x_1+x_2=-7$, tích $x_1{x}_2=-6$. Cả hai nghiệm $x=\frac{-7\pm \sqrt{73}}{2}$ đều thỏa $x\le 3$ nên đều là nghiệm của phương trình. Tổng bình phương: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=49+12=61$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ $A$ đến $B$ là $AB=x$ (km). Khi đó chiều dài dây điện kéo từ $B$ đến $C$ là $BC=\sqrt{1+(5-x{)}^2}=\sqrt{x^2-10x+26}$. Tổng tiền công là $3\sqrt{x^2-10x+26}+2x=13$. Giải ra $AB=x=\frac{13}{5}\Rightarrow BC=\frac{13}{5}$ (km). Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ $A$ đến $C$ là: $AB+BC=\frac{26}{5}=5,2$ (km).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $10-x^2\ge 0\iff x\in [-\sqrt{10};\sqrt{10}]$. Phương trình: $(x-1)\sqrt{10-x^2}=(x-1)(x-2)$. Với $x=1$: hai vế đều bằng $0$, nên $x=1$ là nghiệm. Với $x\ne 1$: chia hai vế cho $x-1$ được $\sqrt{10-x^2}=x-2$, đòi hỏi $x\ge 2$. Bình phương: $10-x^2=x^2-4x+4\iff 2x^2-4x-6=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Thử lại: $x=3$ thỏa ($\sqrt{1}=1=3-2$); $x=-1$ loại vì $x<2$. Vậy tập nghiệm $\{1;3\}$, tổng các nghiệm bằng $1+3=4$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2a)** $\sqrt{x^2-7x+10}=3x-1$

Điều kiện: $x^2-7x+10\ge 0$ và $3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$.

Bình phương hai vế: $x^2-7x+10=(3x-1{)}^2=9x^2-6x+1$

$\iff 8x^2+x-9=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{9}{8}$.

Vì $x\ge \frac{1}{3}$ nên chỉ nhận $x=1$ (thử lại: $\sqrt{1-7+10}=2=3(1)-1$, đúng).

Vậy $S=\{1\}$.

**Bài 2c)** $\sqrt{3x^2-4x-4}=\sqrt{2x+5}$

Điều kiện: $2x+5\ge 0\iff x\ge -\frac{5}{2}$ (khi đó vế trái cũng xác định do hai vế bằng nhau).

Bình phương hai vế: $3x^2-4x-4=2x+5\iff 3x^2-6x-9=0\iff x^2-2x-3=0$

$\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Cả hai đều thỏa $x\ge -\frac{5}{2}$.

Thử lại: $x=3$: $\sqrt{27-12-4}=\sqrt{11}=\sqrt{11}$ đúng; $x=-1$: $\sqrt{3+4-4}=\sqrt{3}=\sqrt{3}$ đúng.

Vậy $S=\{-1;3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ với $0<x<7$. Khi đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}$ và $MC=7-x$. Tổng thời gian: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{37}{15}$. Nhân với 15: $5\sqrt{16+x^2}+3(7-x)=37\Rightarrow 5\sqrt{16+x^2}=16+3x$. Bình phương: $25(16+x^2)=256+96x+9x^2\Rightarrow 16x^2-96x+144=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow x=3$ (thỏa $16+3x>0$ và $0<3<7$). Vậy $BM=3$ km, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 17 = 3).

Ta có 1h14 phút = 37/30 (h). Gọi AM=x(km)(x>6) Suy ra thời gian đi từ A đến M là x/10 (h). Khi đó BM=√(x²−36) và CM=15−√(x²−36).
Thời gian đi từ M đến C là (15−√(x²−36))/30.
Theo giả thiết ta có phương trình: x/10 + (15−√(x²−36))/30 = 37/30.
Biến đổi về được pt
$$\sqrt{x^2-36}=3x-22$$
Bình phương 2 vế
$$\Rightarrow 8x^2-132x+520=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=10\\ x=\frac{13}{2}\end{array}$$
Thử lại $x=10(tm)$; $x=\frac{13}{2}$ (ko tm)
Do đó tổng quãng đường phải đi là $AM+MC=10+\left(15-\sqrt{10^2-36}\right)=17(km)$

Gọi BM = $xkm$ $(0<x<7)$
$$\Rightarrow MC=7-x(km)$$
Ta có: $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+x^2}(km)$
Thời gian từ $A$ đến $M$ là: $\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}(h)$
Thời gian từ $M$ đến C là: $\frac{7-x}{5}(h)$
Tổng thời gian từ $A$ đến C là 148 phút nên ta có:
$$\frac{\sqrt{16+x^2}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{148}{60}$$
Biến đổi về được pt:
$$5\sqrt{16+x^2}=16+3x$$
Bình phương 2 về:
$$\Rightarrow 16x^2-96x+144=0$$
$$\iff x=3$$
Thử lại $x=3(tm)$
Vậy khoảng cách từ vị trí $B$ đến $M$ là 3 km.

(AI giải đề cho tôi)
Khuôn viên hình chữ nhật có đường chéo 25m, chu vi 70m. Gọi một cạnh là $x$ (mét).
a) Vì cạnh của hình chữ nhật nhỏ hơn đường chéo nên $0<x<25$: đúng.
b) Theo định lý Pythagoras, cạnh còn lại là $\sqrt{25^2-x^2}$: đúng.
c) Chu vi bằng 70m nên $2\left(\sqrt{25^2-x^2}+x\right)=70$, tức $\sqrt{25^2-x^2}+x=35$, không phải bằng 70: sai.
d) Giải $2\left(\sqrt{625-x^2}+x\right)=70\iff \sqrt{625-x^2}=35-x$ (điều kiện $x\le 35$ luôn đúng). Bình phương: $625-x^2=1225-70x+x^2\iff x^2-35x+300=0\iff x=15$ hoặc $x=20$, đều thỏa mãn. Diện tích $=15\cdot 20=300m^2$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình chữ nhật luôn nhỏ hơn đường chéo 25m và dương, nên $0<x<25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Pythagoras với đường chéo 25m: cạnh còn lại $=\sqrt{25^2-x^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi 70m nên $2\left(\sqrt{25^2-x^2}+x\right)=70$, suy ra $\sqrt{25^2-x^2}+x=35$, không phải 70.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\sqrt{625-x^2}=35-x$ được $x=15$ hoặc $x=20$; diện tích $=15\cdot 20=300m^2$.

Điều kiện xác định $-2\le x\le 2$

$(x+1)\sqrt{4-x^2}=x^2-x-2$

$$\iff (x+1)\sqrt{4-x^2}=(x+1)(x-2)$$

$$\iff \{\begin{array}{l}x=-1(TM)\\ \sqrt{4-x^2}=x-2(\ast )\end{array}$$

Giải (*):

$$\sqrt{4-x^2}=x-2\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ 4-x^2=(x-2{)}^2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ 2x^2-4x=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x\ge 2\\ x=2(TM)\\ x=0(L)\end{array}\right]$$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-2\le x\le 2$. Phương trình: $(x+1)\sqrt{4-x^2}=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.

Với $x=-1$: VT $=0$, VP $=0$ → $x=-1$ là nghiệm.

Với $x\ne -1$, chia hai vế cho $(x+1)$: $\sqrt{4-x^2}=x-2$. Vì vế trái $\ge 0$ nên cần $x-2\ge 0$, kết hợp $x\le 2$ suy ra $x=2$. Thử lại: VT $=0$, VP $=0$ → $x=2$ là nghiệm.

Tổng các nghiệm: $-1+2=1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4-x^2\ge 0\iff -2\le x\le 2$. Phương trình: $(x+1)\sqrt{4-x^2}=(x+1)(x-2)$, tức $(x+1)\left(\sqrt{4-x^2}-(x-2)\right)=0$.

TH1: $x=-1$ (thỏa mãn điều kiện): kiểm tra $0\cdot \sqrt{3}=0=(-1{)}^2-(-1)-2=0$, chấp nhận.

TH2: $\sqrt{4-x^2}=x-2$, yêu cầu $x\ge 2$, kết hợp điều kiện nên $x=2$. Kiểm tra: $3\cdot 0=0=4-2-2$, chấp nhận.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$, tổng bằng $-1+2=1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1354, Phần III câu 1 = 1).

Đáp số: 12.

Phương trình: $\frac{\sqrt{169-x^2}}{30}=\frac{x}{30}-\frac{14}{60}\iff \sqrt{169-x^2}=x-7$

Bình phương hai vế của phương trình trên và thu gọn, ta được:

$2x^2-14x-120=0$

Phương trình này có các nghiệm $x_1=12$, $x_2=-5$.

Chỉ có nghiệm $x=12$ thoả phương trình và thoả điều kiện thực tế $x>0$.

a) Bình phương hai vế của phương trình: $x^2+14x-23=(3x-5{)}^2$
$\iff x^2+14x-23=9x^2-30x+25$
$\iff 8x^2-44x+48=0\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ x=\frac{3}{2}\end{array}$
Thử lại ta thấy: $x=4$ là nghiệm của phương trình; $x=\frac{3}{2}$ không là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.
b) Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-3{)}^2+(m-5)=m^2-5m+4$
$-x^2+2(m-3)x+m-5<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a<0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1<0\\ m^2-5m+4<0\end{array}\iff m\in (1;4).$

a) Bình phương hai vế của phương trình: $x^2-x+2=(3x-4{)}^2$
$$\iff x^2-x+2=9x^2-24x+16$$
$$\iff 8x^2-23x+14=0\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{7}{8}\end{array}$$
Thử lại ta thấy: $x=2$ là nghiệm của phương trình; $x=\frac{7}{8}$ không là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$.
b) Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+3{)}^2-(m+5)=m^2+5m+4$
$x^2-2(m+3)x+m+5>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
$$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1>0\\ m^2+5m+4<0\end{array}\iff m\in (-4;-1).$$

Đk: $x-1\ge 0\iff x\ge 1$. Bình phương hai vế của phương trình ta được: $2x^2-9x+11=(x-1{)}^2\iff 2x^2-9x+11=x^2-2x+1\iff x^2-7x+10=0\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ x=5\end{array}$. Đối chiếu với điều kiện ban đầu $(x\ge 1)$, ta thấy cả hai nghiệm $x_1=2$ và $x_2=5$ đều thỏa mãn. Khi đó: $x_1-x_2=-3$.