Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{6}-2x\right)\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$. Phương trình trở thành $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=x+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$. Trên $\left(\frac{\pi }{2};2\pi \right)$ chỉ có $x=\frac{5\pi }{3}$ (k=1): 1 nghiệm.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -x+k2\pi \Rightarrow 3x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Các giá trị: $\frac{2\pi }{9}\approx 0,70$ (loại), $\frac{8\pi }{9}\approx 2,79$ (nhận), $\frac{14\pi }{9}\approx 4,89$ (nhận), $\frac{20\pi }{9}>2\pi$ (loại): 2 nghiệm.

Tổng cộng $1+2=3$ nghiệm, thuộc khoảng $\left(\frac{\pi }{2};2\pi \right)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Giải các phương trình lượng giác.

1) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$.
$\iff \{\begin{array}{l}4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ 4x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn vì $\left|\frac{2}{3}\right|\le 1$).
$\iff x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (điều kiện: $x+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).
$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. (Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện.)

4) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1$ (điều kiện: $3x+1\ne k\pi$).
$\iff 3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

5) $(\sin 3x+1)(2\cos x-\sqrt{3})=0\iff \sin 3x=-1$ hoặc $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\sin 3x=-1\iff 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

6) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$.
$\iff \{\begin{array}{l}7x=2x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ 7x=\pi -\left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi \end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}\\ 9x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}\end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm lần lượt là:
1) $S=\left\{-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2};\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}\right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
2) $S=\left\{\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
3) $S=\{k\pi \}$, $k\in \mathbb{Z}$.
4) $S=\left\{-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
5) $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3};\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.
6) $S=\left\{-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5};\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{9}\right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số: $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

Câu 1. $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$. Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 của năm.

Câu 2. $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t-80=-91+364k\iff t=-11+364k$. Với $0<t\le 365$: $k=1\Rightarrow t=353$. Vậy ngày thứ 353 của năm thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

Câu 3. $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=171+364k$. Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=171$. Vậy ngày thứ 171 của năm thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số: $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

**Câu 1:** $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k$, $k\in \mathbb{Z}$.
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$.
Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 của năm.

**Câu 2:** $d(t)=9\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k$.
Với $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn $0<t\le 365$); $k=0$ cho $t=-11$ (loại).
Vậy ngày thứ 353 của năm thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

**Câu 3:** $d(t)=15\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k$.
Với $k=0$: $t=171$ (thỏa mãn); $k=1$ cho $t=535$ (loại).
Vậy ngày thứ 171 của năm thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff \left[<table><tbody><tr><td>x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi \text{ (voˆ nghiệm)}</td></tr><tr><td>x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi </td></tr></tbody></table>\right]\iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$: hai giao điểm, không phải ba → Sai. b) Đúng theo định nghĩa. c) Đúng như trên. d) Giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$ → Sai. Khớp bảng đáp án mã đề 2102: SĐĐS.
a) Giải phương trình hoành độ giao điểm $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$ ta được $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có hai giá trị $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$, tức hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm chứ không phải ba điểm. → Sai.
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$. → Đúng.
c) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi$ (trường hợp $x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ vô nghiệm) $\iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. → Đúng.
d) Với $x\in [0;2\pi ]$, từ $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$ ta được $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$, nên tọa độ giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8}$ và $\frac{7\pi }{8}$. → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $L(t)=10$: $2,83\sin \left(\frac{2\pi }{365}(t-80)\right)=-2\Rightarrow \sin \left(\frac{2\pi }{365}(t-80)\right)\approx -0,7067$. Nghiệm tổng quát: $\frac{2\pi }{365}(t-80)=-0,785+k2\pi$ hoặc $=\pi +0,785+k2\pi$. Với nhánh đầu, $k=0$: $t-80\approx -45,6\Rightarrow t\approx 34,4$, nên ngày nguyên đầu tiên thỏa mãn là $t=34$ (kiểm tra: $L(34)\approx 12+2,83\sin (-0,792)\approx 9,98\approx 10$ giờ). Nhánh kia cho $t\approx 308$ (xuất hiện sau). Vậy lần đầu thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng là ngày thứ 34, khớp đáp án nguồn.

+) $h(t)=45\Rightarrow 90\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=45\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$
+) $\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=1+6k(1)\\ t=-1+6k(2)\end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$.
Vì $0\le t\le 9$:
+) $(1)\Rightarrow 0\le 1+6k\le 9\iff -\frac{1}{6}\le k\le \frac{4}{3}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}k=0\Rightarrow t=1s\\ k=1\Rightarrow t=7s\end{array}\right]$
+) $(2)\Rightarrow 0\le -1+6k\le 9\iff \frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{3}\Rightarrow k=1\Rightarrow t=5s$
Vậy $t=1s$, $t=5s$, $t=7s$ là các thời điểm cần tìm

+) $h(t)=45\Rightarrow 90\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=45\iff \cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)=\frac{1}{2}$
+) $\iff \left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}t=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}t=1+6k(1)\\ t=-1+6k(2)\end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$
Vì $0\le t\le 9$:
+) $(1)\Rightarrow 0\le 1+6k\le 9\iff -\frac{1}{6}\le k\le \frac{4}{3}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}k=0\Rightarrow t=1s\\ k=1\Rightarrow t=7s\end{array}\right]$
+) $(2)\Rightarrow 0\le -1+6k\le 9\iff \frac{1}{6}\le k\le \frac{5}{3}\Rightarrow k=1\Rightarrow t=5s$
Vậy $t=1s$, $t=5s$, $t=7s$ là các thời điểm cần tìm

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16a: Điều kiện $\cos (3x)\ne 0$. Phương trình $\tan (3x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ cho $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với các giá trị này thì $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ không phải là $\frac{\pi }{2}+m\pi$, nên điều kiện thỏa mãn.

Câu 16b: $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{10}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{30}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{5}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{10}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình b) là $S=\left\{\frac{7\pi }{30}+\frac{2k\pi }{3};\frac{7\pi }{10}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{10}$, $2x-\frac{\pi }{5}=\frac{6\pi }{5}$, $\sin \frac{6\pi }{5}=-\sin \frac{\pi }{5}$ và $\cos \frac{7\pi }{10}=-\sin \frac{\pi }{5}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi $|s|=10$, tức $\sin \left(10t+\frac{\pi }{2}\right)=\pm 1$, suy ra $10t+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{k\pi }{10}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 8$: $0\le \frac{k\pi }{10}\le 8\Rightarrow 0\le k\le \frac{80}{\pi }\approx 25,46$, nên $k=0,1,\dots ,25$, tức có 26 thời điểm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (26).

(AI giải đề cho tôi)
Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi |s| = 10, tức sin(10t + π/2) = ±1, suy ra 10t + π/2 = π/2 + kπ (k ∈ ℤ), tức t = kπ/10. Với 0 ≤ t ≤ 5: 0 ≤ kπ/10 ≤ 5 ⟺ 0 ≤ k ≤ 50/π ≈ 15,9, nên k = 0, 1, ..., 15, cho 16 thời điểm. Kết quả khớp với đáp án nguồn 16.

(AI giải đề cho tôi)
Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi |s| = 10, tức sin(10t + π/2) = ±1, suy ra 10t + π/2 = π/2 + kπ ⟺ 10t = kπ ⟺ t = kπ/10, k ∈ ℤ. Với 0 ≤ t ≤ 8: 0 ≤ kπ/10 ≤ 8 ⟺ 0 ≤ k ≤ 80/π ≈ 25,46, nên k = 0, 1, ..., 25, tức có 26 thời điểm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (26).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s=10\sin \left(10t+\frac{\pi }{2}\right)=10\cos (10t)$. Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi $|s|=10$, tức $\cos (10t)=\pm 1\iff 10t=k\pi \iff t=\frac{k\pi }{10}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 5$: $0\le \frac{k\pi }{10}\le 5\iff 0\le k\le \frac{50}{\pi }\approx 15,9$, nên $k=0,1,2,\dots ,15$, tức có 16 thời điểm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (16).

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao mực nước 15 m nghĩa là $3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+12=15$, suy ra $\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Do đó $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=2k\pi$, tức $t=24k-4$. Với $0\le t<24$, chỉ có $k=1$ cho $t=20$. Vậy vào lúc 20 giờ mực nước đạt 15 m.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11. Giải từng phương trình:

a) $\sin 2x-\cos x=0\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0$.
- $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\sin x\cos 2x=\sin 2x\cos 3x$. Dùng công thức nhân đôi: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, phương trình trở thành $\sin x\cos 2x=2\sin x\cos x\cos 3x\iff \sin x(\cos 2x-2\cos x\cos 3x)=0$.
- $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Với $\cos 2x=2\cos x\cos 3x$: dùng $2\cos x\cos 3x=\cos 4x+\cos 2x$, suy ra $\cos 2x=\cos 4x+\cos 2x\iff \cos 4x=0\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra lại bằng tích thành tổng: $\sin x\cos 2x=\frac{1}{2}(\sin 3x-\sin x)$, $\sin 2x\cos 3x=\frac{1}{2}(\sin 5x-\sin x)$, nên phương trình tương đương $\sin 3x=\sin 5x\iff 2\cos 4x\sin x=0$ — cùng kết quả.

Vậy $x=k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

c) $\sin 2x=\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$. Khi đó
$$\sin 2x-\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)=0\iff 2\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=0.$$
- $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=0\iff \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (tương đương $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$).
- $\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: với $x=\frac{\pi }{10}$, $\sin \frac{\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{10}$ (đúng vì $\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$). Với $x=-\frac{\pi }{2}$: $\sin (-\pi )=0=\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)$ (đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=h$ với $0\le t<24$, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=\frac{h-12}{3}$.

a) $h=15$: $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=1\Rightarrow \frac{\pi t}{6}+1=2k\pi \Rightarrow t=12k-\frac{6}{\pi }$.
Với $0\le t<24$: $k=1$ cho $t=12-\frac{6}{\pi }\approx 10,09$; $k=2$ cho $t=24-\frac{6}{\pi }\approx 22,09$.

b) $h=9$: $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1\Rightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\pi +2k\pi \Rightarrow t=6+12k-\frac{6}{\pi }$.
Với $0\le t<24$: $k=0$ cho $t=6-\frac{6}{\pi }\approx 4,09$; $k=1$ cho $t=18-\frac{6}{\pi }\approx 16,09$.

c) $h=10,5$: $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=\pm 4+12k-\frac{6}{\pi }$.
Với $0\le t<24$:
- Dấu $+$: $k=0$ cho $t=4-\frac{6}{\pi }\approx 2,09$; $k=1$ cho $t=16-\frac{6}{\pi }\approx 14,09$.
- Dấu $-$: $k=1$ cho $t=8-\frac{6}{\pi }\approx 6,09$; $k=2$ cho $t=20-\frac{6}{\pi }\approx 18,09$.

Vậy các giá trị $t$ (làm tròn đến hàng phần trăm) là:
a) $t=12-\frac{6}{\pi }\approx 10,09$ hoặc $t=24-\frac{6}{\pi }\approx 22,09$;
b) $t=6-\frac{6}{\pi }\approx 4,09$ hoặc $t=18-\frac{6}{\pi }\approx 16,09$;
c) $t\in \left\{4-\frac{6}{\pi };8-\frac{6}{\pi };16-\frac{6}{\pi };20-\frac{6}{\pi }\right\}\approx \{2,09;6,09;14,09;18,09\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Con lắc qua vị trí cân bằng khi $s=0$, tức $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0$, nên $7t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}$. Với $0\le t\le 30$: $\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}\le 30\iff k\le \frac{210}{\pi }-\frac{1}{6}\approx 66,68$. Vậy $k=0,1,\dots ,66$, tức con lắc đi qua vị trí cân bằng $67$ lần trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây. (Kiểm tra: chu kỳ $T=\frac{2\pi }{7}\approx 0,8976$ s, mỗi chu kỳ qua vị trí cân bằng 2 lần; $30/0,8976\approx 33,42$ chu kỳ, xấp xỉ $2\times 33,42\approx 66,8$, khớp với 67 lần.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $8,6\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=4,3$ với $0<t<2$, tức $\sin \left(8t+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Trường hợp 1: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$. Với $0<t<2$: $k=1$ cho $t\approx 0,654$; $k=2$ cho $t\approx 1,440$; $k=3$ cho $t\approx 2,225>2$ (loại). Vậy 2 nghiệm.

Trường hợp 2: $8t+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}$. Với $0<t<2$: $k=0$ cho $t\approx 0,131$; $k=1$ cho $t\approx 0,916$; $k=2$ cho $t\approx 1,702$; $k=3$ cho $t\approx 2,487>2$ (loại). Vậy 3 nghiệm.

Tổng cộng có $2+3=5$ thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên mà $s=4,3$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, với $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

a) $d(t)=12\iff \sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=0$
$$\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi \iff t=80+182k,k\in \mathbb{Z}.$$
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=80$; $k=1\Rightarrow t=262$. Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262.

b) $d(t)=9\iff \sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=-1$
$$\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=-11+364k.$$
Với $0<t\le 365$: $k=1\Rightarrow t=353$. Vậy ngày thứ 353 thành phố $A$ có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời.

c) $d(t)=15\iff \sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)=1$
$$\iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff t=171+364k.$$
Với $0<t\le 365$: $k=0\Rightarrow t=171$. Vậy ngày thứ 171 thành phố $A$ có đúng 15 giờ ánh sáng mặt trời.

Kiểm tra: $t=171$: $\frac{\pi }{182}\cdot 91=\frac{\pi }{2}$, $\sin =1$, $d=15$ ✓; $t=353$: $\frac{\pi }{182}\cdot 273=\frac{3\pi }{2}$, $\sin =-1$, $d=9$ ✓; $t=80,262$: $\sin =0$, $d=12$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình: $3-\sqrt{3}\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

a) Sai: họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$, không phải $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ (thử $x=\frac{\pi }{6}$: $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\ne \sqrt{3}$).

b) Sai: nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{\pi }{3}$.

c) Sai: trên $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{2\pi }{3}\right)$, xét $-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}\iff -\frac{7}{6}<k<\frac{2}{3}$, nên $k\in \{-1,0\}$: chỉ có 2 nghiệm $x=-\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{\pi }{3}$, không phải ba nghiệm.

d) Đúng: tổng hai nghiệm là $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$, không phải $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{6}$ (k=-1), không phải $-\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng chỉ có 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$.