Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{b}a$ (với $a,b>0$, $ab\ne 1$, $x\ne 0$, $x\ne -1$). Khi đó ${\log }_{a}b=\frac{1}{x}$ và ${\log }_{ab}b=\frac{1}{{\log }_b(ab)}=\frac{1}{1+x}$.

Suy ra ${\log }_{a}b-{\log }_{ab}b=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x(1+x)}$.

Tử thứ nhất: ${\log }_b^{3}a+2{\log }_b^{2}a+{\log }_{b}a=x^3+2x^2+x=x(x+1{)}^2$.

Do đó:
$$A=x(x+1{)}^2\cdot \frac{1}{x(x+1)}-x=(x+1)-x=1.$$

Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+9y^2=6xy$, chia hai vế cho $y^2>0$ với $t=x/y$ được $t^2-6t+9=0$, tức $(t-3{)}^2=0$, suy ra $x=3y$ (thỏa mãn $x>1$, $y>1$). Khi đó $xy=3y^2$ và $x+3y=6y$.
Tử số: $1+{\log }_{12}x+{\log }_{12}y=1+{\log }_{12}(xy)={\log }_{12}(12\cdot 3y^2)={\log }_{12}(36y^2)$.
Mẫu số: $2{\log }_{12}(x+3y)=2{\log }_{12}(6y)={\log }_{12}(36y^2)$.
Vì $y>1$ nên $36y^2\ne 1$, do đó ${\log }_{12}(36y^2)\ne 0$ và $M=\frac{{\log }_{12}(36y^2)}{{\log }_{12}(36y^2)}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{45}175=\frac{{\log }_{3}175}{{\log }_{3}45}$. Với ${\log }_{3}5=a$ và ${\log }_{3}7={\log }_{3}5\cdot {\log }_{5}7=ab$, suy ra ${\log }_{3}175={\log }_3(25\cdot 7)=2a+ab$ và ${\log }_{3}45={\log }_3(9\cdot 5)=2+a$. Vậy ${\log }_{45}175=\frac{2a+ab}{2+a}$, tức $n=2,k=1,m=2$. Do đó $S=m+n+k=2+2+1=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (blankAnswers = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\log }_{3}4=\frac{2\ln 2}{\ln 3}$ và $b={\log }_{5}4=\frac{2\ln 2}{\ln 5}$, suy ra $\ln 2=\frac{a\ln 3}{2}$ và $\ln 5=\frac{\ln 2}{b}=\frac{a\ln 3}{2b}$.

Tính ${\log }_{12}80=\frac{\ln 80}{\ln 12}=\frac{4\ln 2+\ln 5}{2\ln 2+\ln 3}$.

Tử số: $4\ln 2+\ln 5=\ln 2\left(4+\frac{1}{b}\right)=\frac{a\ln 3}{2}\cdot \frac{4b+1}{b}=\frac{a\ln 3(4b+1)}{2b}$.

Mẫu số: $2\ln 2+\ln 3=\ln 3(a+1)$.

Vậy ${\log }_{12}80=\frac{a(4b+1)}{2b(a+1)}=\frac{4ab+a}{2ab+2b}$, tức $m=4,n=2,k=2$.

Suy ra $S=m+n-k=4+2-2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút, nên sau $t$ phút số lượng là $u_t=u_0\cdot 2^t$. Theo đề, sau 8 phút có 128000 con: $u_0\cdot 2^8=128000$. Cần tìm $t$ sao cho $u_t=4096000$. Ta có $\frac{4096000}{128000}=32=2^5$, tức cần thêm 5 phút nữa (số lần nhân đôi từ 128000 lên 4096000). Vậy $t=8+5=13$ phút. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Phương trình ${\log }_5(2x-1)=1\iff 2x-1=5\iff x=3$, thỏa điều kiện. Vậy đáp án C.

Chọn A

Điều kiện $x\in (0;+\infty )\setminus \left\{32,\frac{1}{2}\right\}$.

Đặt $t={\log }_{2}x\Rightarrow t\ne 5;t\ne -1$, phương trình có dạng

$$\frac{1}{5-t}+\frac{2}{1+t}=1\Rightarrow t^2-5t+6=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=2</td></tr><tr><td>t=3</td></tr></tbody></table>\Rightarrow [<table><tbody><tr><td>{\log }_{2}x=2</td></tr><tr><td>{\log }_{2}x=3</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=4</td></tr><tr><td>x=8</td></tr></tbody></table>$$

$$\Rightarrow \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{8}$$

(Lưu ý: trang lời giải in lại (trang 12) in phương án C là 5 và D là 66, khác với đề gốc ở trang 3 là C. 12 và D. 60; đáp án A nhất quán.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2450=2\cdot 5^2\cdot 7^2$. Do đó ${\log }_{5}2450=\frac{{\log }_{2}2450}{{\log }_{2}5}=\frac{{\log }_{2}2+2{\log }_{2}5+2{\log }_{2}7}{a}=\frac{1+2a+2b}{a}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)={\log }_2\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}$, điều kiện xác định: $\sqrt{2x^2+mx+1}>0$ và $x+2>0$ (vì mẫu phải cùng dấu với tử dương), tức $x>-2$ và $2x^2+mx+1>0$.

a) Sai. Với $m=-1$: $f(x)=1\iff \frac{\sqrt{2x^2-x+1}}{x+2}=2\iff \sqrt{2x^2-x+1}=2x+4$ với $x>-2$. Bình phương: $2x^2-x+1=4x^2+16x+16\iff 2x^2+17x+15=0\iff x=-1$ hoặc $x=-\frac{15}{2}$. Chỉ $x=-1>-2$ thỏa mãn (với $x=-\frac{15}{2}$ thì $2x+4<0$ loại). Vậy phương trình chỉ có một nghiệm, không có hai nghiệm phân biệt.

b) Đúng. $y=f(2-x^2)$ xác định khi $\frac{\sqrt{2(2-x^2{)}^2+m(2-x^2)+1}}{4-x^2}>0$. Đặt $g(t)=2t^2+mt+1$ với $t=2-x^2$: khi $0<m<2\sqrt{2}$ thì $\Delta =m^2-8<0$ nên $g(t)>0$ với mọi $t$. Do đó chỉ cần $4-x^2>0\iff x\in (-2;2)$, tức $D=(-2;2)$.

c) Đúng. Với $m=0$: $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2(2x^2+1)-{\log }_2(x+2)$, nên trên $(-2;+\infty )$: $y^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{4x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}=\frac{2x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}$.

d) Đúng. Phương trình $f(x)+\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2$ với điều kiện $x>-2$, $2x^2+mx+1>0$. Đặt $A=\sqrt{2x^2+mx+1}$, xét $F(x)={\log }_2\frac{A}{x+2}+A-x-2$ trên các khoảng xác định.
- Khi $m\ge \frac{9}{2}$: tam thức $2x^2+mx+1$ có hai nghiệm $x_{1,2}=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-8}}{4}$; khoảng xác định bên trái $(x_1;x_2)$ với $x_1\le -2$ (tại $m=\frac{9}{2}$, $x_1=-2$) nên bị loại do $x>-2$; chỉ còn khoảng $(x_2;+\infty )$, trên đó $F\to -\infty$ khi $x\to x_2^{+}$ và $F\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, và $F^{\prime }>0$ (vì $\frac{(8-m)x+2m-2}{2A^2(x+2)\ln 2}>0$ và $A^{\prime }=\frac{2x+m}{2A}\ge 1$ trên khoảng này), cho đúng một nghiệm. Vậy $m\ge \frac{9}{2}$ không thỏa.
- Khi $m<\frac{9}{2}$: nếu $m^2\le 8$ thì tập xác định là $(-2;+\infty )$, có $F\to +\infty$ khi $x\to -2^{+}$, $F(0)=-2<0$, $F\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ nên có hai nghiệm; nếu $m^2>8$ (khi đó $m<-2\sqrt{2}$ hoặc $2\sqrt{2}<m<\frac{9}{2}$) thì có hai khoảng xác định, trên mỗi khoảng $F$ đơn điệu (trên khoảng trái $A^{\prime }<0$ nên $F^{\prime }<0$; trên khoảng phải $A^{\prime }\ge 1$ và $\frac{(8-m)x+2m-2}{2A^2(x+2)\ln 2}>0$ nên $F^{\prime }>0$) và $F$ đổi dấu ở hai đầu nên mỗi khoảng cho đúng một nghiệm: tổng hai nghiệm phân biệt.
Vậy tập $m$ là $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$, mệnh đề đúng.
a) Với $m=-1$, $f(x)=1\iff \sqrt{2x^2-x+1}=2x+4$ ($x>-2$) $\iff 2x^2+17x+15=0\iff x=-1$ hoặc $x=-\frac{15}{2}$. Chỉ $x=-1$ thỏa mãn điều kiện $x>-2$, nên phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt.
b) $f(2-x^2)$ xác định khi $\frac{\sqrt{2(2-x^2{)}^2+m(2-x^2)+1}}{4-x^2}>0$. Vì $0<m<2\sqrt{2}$ nên $\Delta =m^2-8<0$, do đó $2(2-x^2{)}^2+m(2-x^2)+1>0$ với mọi $x$. Chỉ cần $4-x^2>0\iff x\in (-2;2)$.
c) Với $m=0$: $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2(2x^2+1)-{\log }_2(x+2)$, suy ra $y^{\prime }=\frac{2x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}$ trên $(-2;+\infty )$.
d) Với điều kiện $x>-2$, $2x^2+mx+1>0$. Xét $F(x)={\log }_2\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}+\sqrt{2x^2+mx+1}-x-2$. Khi $m\ge \frac{9}{2}$, khoảng xác định bên trái bị mất (chứa $x\le -2$) nên chỉ còn đúng một nghiệm. Khi $m<\frac{9}{2}$, trên mỗi khoảng xác định $F$ đơn điệu và đổi dấu hai đầu (do $F\to +\infty$ tại một đầu và $F\to -\infty$ tại đầu kia, với $F(0)=-2<0$ khi miền là $(-2;+\infty )$), cho đúng hai nghiệm phân biệt. Vậy tập $m$ là $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_3(x+1)$ với điều kiện $x>-1$, khi đó $x=3^t-1$. Phương trình trở thành $4(3^t-1)t=1+mt$, tức $m=4\cdot 3^t-4-\frac{1}{t}$ với $t\ne 0$ (với $t=0$, tức $x=0$: vế trái bằng 0, vế phải bằng 1, không thỏa). Xét $f(t)=4\cdot 3^t-4-\frac{1}{t}$, có $f^{\prime }(t)=4\cdot 3^t\ln 3+\frac{1}{t^2}>0$ trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$. Với $t>0$: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$ nên với mọi $m$ có đúng 1 nghiệm $t>0$. Với $t<0$: $f$ tăng từ ${\lim }_{t\to -\infty }f(t)=-4$ (không đạt) đến $+\infty$, nên có 1 nghiệm $t<0$ khi và chỉ khi $m>-4$. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt $⟺m>-4$. Các giá trị nguyên $m\in (-10;20)$ thỏa: $m\in \{-3,-2,\dots ,19\}$, gồm $19-(-3)+1=23$ giá trị.

Vì $a,b>1$ nên phương trình ${\log }_a(ax){\log }_b(bx)=2025$ có điều kiện xác định là $x>0$.

Ta có: ${\log }_a(ax){\log }_b(bx)=2025$

$$\iff \left({\log }_{a}x+1\right)\left({\log }_{b}a{\log }_{a}x+1\right)=2025$$

$$\iff {\log }_{b}a{\log }_a^{2}x+\left(1+{\log }_{b}a\right){\log }_{a}x-2024=0.$$

Đặt $t={\log }_{a}x$ ta được phương trình: $\left({\log }_{b}a\right)t^2+\left(1+{\log }_{b}a\right)t-2024=0(\ast )$.

Vì $a,b>1$ nên $-2024{\log }_{b}a<0$.

Suy ra phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$.

Theo Vi-ét: $t_1+t_2=-\frac{1+{\log }_{b}a}{{\log }_{b}a}$

$$\iff {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2=-\frac{{\log }_b(ab)}{{\log }_{b}a}$$

$$\iff {\log }_a\left(x_1{x}_2\right)=-{\log }_a(ab)$$

$$\iff x_1{x}_2=\frac{1}{ab}.$$

Từ đó: $P=x_1{x}_2\left(4a^2+9b^2\right)=\frac{1}{ab}\left(4a^2+9b^2\right)\ge \frac{1}{ab}.2.6ab=12$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2a=3b$.

Chọn B. Đk: $2.5^x-1>0$. ${\log }_5(2.5^x-1)+1=2x\iff (2.5^x-1)5=5^{2x}\iff 5^{2x}-10.5^x+5=0$ $\iff \{\begin{array}{l}{5}^{x_1}=5+2\sqrt{5}\\ 5^{x_2}=5-2\sqrt{5}\end{array}$ $5^{x_1}.5^{x_2}=5^{x_1+x_2}=(5+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})=5$ $\Rightarrow x_1+x_2=1$.

Có $1<a,b$, $0<x\ne 1$. Có $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a{x}^2}\iff a^{{\log }_{b}a.{\log }_{a}x}=b^{2{\log }_{a}x}\iff a^{{\log }_{a}x.{\log }_{b}a}=b^{2{\log }_{a}x}$. $\iff x^{{\log }_{b}a}=x^{2{\log }_{a}b}\iff {\log }_{b}a=2{\log }_{a}b\iff {\log }_{b}a=2\frac{1}{{\log }_{b}a}$. $\iff {\left({\log }_{b}a\right)}^2=2\iff {\log }_{b}a=\sqrt{2}$ (do $1<a,b$, nên ${\log }_{b}a>0$) $\iff a=b^{\sqrt{2}}$. Có $P={\ln }^{2}a+{\ln }^{2}b-\ln (ab)={\left(\ln b^{\sqrt{2}}\right)}^2+{\ln }^{2}b-\ln \left(b^{\sqrt{2}}b\right)$ $=2{\ln }^{2}b+{\ln }^{2}b-\left(\sqrt{2}+1\right)\ln b=3{\ln }^{2}b-\left(\sqrt{2}+1\right)\ln b$. Đặt $t=\ln b,t>0$ (do $b>1$). Xét hàm số $y=f(t)=3t^2-\left(\sqrt{2}+1\right)t$, với $t>0$. Có $f^{\prime }(t)=6t-\left(\sqrt{2}+1\right)$, $f^{\prime }(t)=0\iff 6t-\left(\sqrt{2}+1\right)=0\iff t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}>0$.



Dựa vào bảng biến thiên có $\underset{(0;+\infty )}{\min }P=\underset{(0;+\infty )}{\min }f(t)=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}\approx -0,5$ khi $t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}$. Vậy đáp số: $-0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_4\left(\frac{a^2}{b^4}\right)=1$ suy ra $\frac{a^2}{b^4}=4$, tức $a^2=4b^4$ (với $a,b\ne 0$). Khi đó $a=\pm 2b^2$, nên các mệnh đề B, C chỉ đúng khi $a>0$, không chắc chắn. Bình phương hai vế: $a^4=16b^8$, luôn đúng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{12}\frac{1}{6}=-{\log }_{12}6=-{\log }_{12}(2\cdot 3)=-{\log }_{12}2-{\log }_{12}3$. Vậy $m=n=-1$, do đó $m.n=(-1)(-1)=1$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+1>0\iff x>-1$. Từ $\ln (x+1)=2$ suy ra $x+1={\mathrm{e}}^2$, tức $x={\mathrm{e}}^2-1$ (thỏa điều kiện). Vậy $S=\{{\mathrm{e}}^2-1\}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $h=6$ vào công thức $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$, ta được $\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{6}{7}$. Suy ra $\frac{p}{100}=e^{-6/7}$, tức $p=100e^{-6/7}\approx 100\cdot 0,424373\approx 42,44kPa$. Vậy áp suất khí quyển ở độ cao $6km$ khoảng $42,44kPa$, chọn đáp án D. Lưu ý áp suất luôn dương nên đáp án B bị loại.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_2(3x-y)=3$ ta có $3x-y=8$, tức $y=3x-8$. Từ $5^x\cdot 125^y=15625$ ta có $5^{x+3y}=5^6$, suy ra $x+3y=6$. Thay $y=3x-8$: $x+3(3x-8)=6\Rightarrow 10x=30\Rightarrow x=3$, $y=1$ (thỏa điều kiện $3x-y>0$). Khi đó $8x+y=24+1=25$, nên ${\log }_5(8x+y)={\log }_{5}25=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{3}3+{\log }_{3}9+{\log }_{3}27+\dots +{\log }_3{3}^n=1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n+1)}{2}=36\Rightarrow n(n+1)=72\Rightarrow n^2+n-72=0\Rightarrow (n-8)(n+9)=0\Rightarrow n=8$ (vì $n>3$). Vậy $n=8$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29.

a) Ta có $0,001\cdot \sqrt{10}=10^{-3}\cdot 10^{1/2}=10^{-5/2}$. Do đó
$$P=\log \left(\frac{10^{2024}}{10^{-5/2}}\right)=\log 10^{2024+5/2}=2024+\frac{5}{2}=2026,5.$$

b) Với $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{2}5$, ta có $45=9\cdot 5=3^2\cdot 5$ và $6=2\cdot 3$. Áp dụng công thức đổi cơ số:
$$P={\log }_{6}45=\frac{{\log }_{2}45}{{\log }_{2}6}=\frac{{\log }_2(3^2\cdot 5)}{{\log }_2(2\cdot 3)}=\frac{2{\log }_{2}3+{\log }_{2}5}{1+{\log }_{2}3}=\frac{2a+b}{1+a}.$$