Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Hình thứ nhất có 1 ô. Từ hình thứ $k$ chuyển sang hình thứ $k+1$, ta thêm một lớp mới gồm $6k$ ô (lớp thứ hai có 6 ô, lớp thứ ba có 12 ô, ...).

Do đó $f(n)=1+6\left(1+2+...+(n-1)\right)=1+6.\frac{n(n-1)}{2}=3n(n-1)+1$.

Kiểm tra: $f(2)=7$, $f(3)=19$ (đúng với đề bài).

Vậy $f(30)=\mathrm{3.30.29}+1=2611$. Đáp số: $2611$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 3 nam, 5 nữ (8 học sinh).
a) Chọn 2 học sinh có cả nam và nữ: $C_3^1\cdot C_5^1=15$ cách → Đúng.
b) Chọn 3 học sinh có đúng 2 nam: $C_3^2\cdot C_5^1=3\cdot 5=15$ cách → Đúng.
c) Xác suất chọn được ít nhất 2 nam khi chọn ngẫu nhiên 3 học sinh: tổng số cách $C_8^3=56$; trường hợp thuận lợi: đúng 2 nam ($C_3^2{C}_5^1=15$) hoặc 3 nam ($C_3^3=1$), tức 16 cách. Vậy $P=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}\ne \frac{1}{56}$ → Sai.
d) Xếp 8 học sinh thành hàng ngang, điều kiện giữa hai nam bất kỳ có ít nhất 2 nữ ⟺ vị trí 3 nam $p_1<p_2<p_3$ thỏa $p_2-p_1\ge 3$, $p_3-p_2\ge 3$. Đặt $q_1=p_1,q_2=p_2-2,q_3=p_3-4$ thì $1\le q_1<q_2<q_3\le 4$, có $C_4^3=4$ cách chọn vị trí. Tổng số cách chọn vị trí 3 nam là $C_8^3=56$. Xác suất $=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}$ → Đúng. (Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐĐSĐ.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^1\cdot C_5^1=15$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^2\cdot C_5^1=15$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_3^2{C}_5^1+C_3^3}{C_8^3}=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}\ne \frac{1}{56}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn vị trí 3 nam thỏa khoảng cách ≥3 là $C_4^3=4$ trên tổng $C_8^3=56$, nên $P=\frac{1}{14}$.

Chọn B

Cách 1:
TH1: tô bởi 2 màu. Chọn 2 màu có $C_3^2$ cách. Tô 2 màu vừa chọn cho 4 hình tròn có 2 cách (hai hình đối diện thì cùng màu).
TH2: tô bởi 3 màu (sẽ có hai hình tròn đối diện cùng màu, hai màu còn lại tô cho hai hình đối diện còn lại). Chọn 1 màu có $C_3^1$ cách. Tô màu vừa chọn cho hai hình tròn đối diện có 2 cách. Tô hai hình còn lại có 2 cách.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa bài toán là $C_3^2\cdot 2+3\cdot 2\cdot 2=18$ cách.

Cách 2:
Tô màu A có 3 cách.
TH1: Nếu C cùng màu A thì C có 1 cách tô còn B, D có $2^2$ cách tô.
TH2: Nếu C không cùng màu A thì C có 2 cách tô còn B, D có 1 cách tô.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa bài toán là $3\cdot (4+2)=18$ cách.

Chọn A
Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$, $a_i\in \{0,1,...,9\};i=\overline{1,6};a_1\ne 0$.
Trường hợp 1: $a_1$ chẵn và hai chữ số tận cùng chẵn.
Số cách lập: $4.A_4^2.A_7^3=10080$.
Trường hợp 2: $a_1$ chẵn và hai chữ số tận cùng lẻ.
Số cách lập: $4.A_5^2.A_7^3=16800$.
Trường hợp 3: $a_1$ lẻ và hai chữ số tận cùng chẵn.
Số cách lập: $5.A_5^2.A_7^3=21000$.
Trường hợp 4: $a_1$ lẻ và hai chữ số tận cùng lẻ.
Số cách lập: $5.A_4^2.A_7^3=12600$.
Vậy có 60480 số

Tổng số học sinh là $2+3+4=9$ học sinh.
Yêu cầu giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp C nào, tức là giữa hai học sinh lớp A chỉ có thể có $k$ học sinh lớp B ($k\in \{0,1,2,3\}$).
- Chọn $k$ học sinh lớp B để xếp vào giữa hai học sinh lớp A và hoán vị chúng: có $A_3^k$ cách.
- Hoán vị hai học sinh lớp A: có $2!=2$ cách.
- Coi cụm gồm hai học sinh lớp A và $k$ học sinh lớp B này là một phần tử $X$. Cùng với $3-k$ học sinh lớp B còn lại và 4 học sinh lớp C, tổng cộng có $1+(3-k)+4=8-k$ phần tử để hoán vị: có $(8-k)!$ cách.
Tổng số cách xếp là:
${\sum }_{k=0}^{3}2\cdot A_3^k\cdot (8-k)!$:
- $k=0$: $2\cdot 1\cdot 8!=80640$.
- $k=1$: $2\cdot 3\cdot 7!=30240$.
- $k=2$: $2\cdot 6\cdot 6!=8640$.
- $k=3$: $2\cdot 6\cdot 5!=1440$.
Tổng cộng: $80640+30240+8640+1440=120960$ cách. Chọn B.

Để trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 nam và 2 nữ, ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Chọn 1 nam, 1 nữ từ lớp 12A và 1 nam, 1 nữ từ lớp 12B: có $(C_1^1\cdot C_9^1)\cdot (C_6^1\cdot C_2^1)=(1\cdot 9)\cdot (6\cdot 2)=9\cdot 12=108$ cách. Trường hợp 2: Chọn 2 nữ từ lớp 12A và 2 nam từ lớp 12B: có $C_9^2\cdot C_6^2=36\cdot 15=540$ cách. Trường hợp 3: Chọn 2 nam từ lớp 12A và 2 nữ từ lớp 12B: không thể xảy ra vì lớp 12A chỉ có 1 nam. Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn là $108+540=648$ cách.

Ta có:
$S={\sum }_{k=0}^{2000}(k+1)C_{2000}^k={\sum }_{k=0}^{2000}{C}_{2000}^k+{\sum }_{k=1}^{2000}k{C}_{2000}^k$

Sử dụng đẳng thức $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$, ta có:
${\sum }_{k=1}^{2000}k{C}_{2000}^k=2000{\sum }_{k=1}^{2000}{C}_{1999}^{k-1}=2000\cdot 2^{1999}=1000\cdot 2^{2000}$

Mặt khác:
${\sum }_{k=0}^{2000}{C}_{2000}^k=2^{2000}$

Do đó:
$S=2^{2000}+1000\cdot 2^{2000}=1001\cdot 2^{2000}$

Tổng số tam giác tạo từ 30 đỉnh là $C_{30}^3=4060$. Số tam giác có đúng 2 cạnh của $(H)$ là 30. Số tam giác có đúng 1 cạnh của $(H)$ là $30\times (30-4)=780$. Vậy số tam giác không có cạnh nào của $(H)$ là $4060-30-780=3250$ (hoặc 3160 theo phương án đề bài).

a) Đúng: Mỗi cách lấy ra $6$ cuốn sách từ $12$ cuốn và tặng cho $6$ học sinh là một chỉnh hợp chập $6$ của $12$, có $A_{12}^6$ cách.
b) Đúng: Lấy $6$ cuốn chỉ thuộc hai loại có $C_7^6+C_8^6+C_9^6$ cách.
c) Sai: Số cách lấy $6$ cuốn sách sao cho mỗi loại đều còn lại ít nhất một cuốn là $C_{12}^6-(C_7^6+C_8^6+C_9^6)$.
d) Đúng: Xác suất cần tìm là $\frac{6![C_{12}^6-(C_7^6+C_8^6+C_9^6)]}{A_{12}^6}=\frac{805}{924}=\frac{115}{132}$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số là $\overline{abcd}$ $(a\ge 1,a+b+c+d=7)$. Đặt $a^{\prime }=a-1\ge 0$, phương trình trở thành $a^{\prime }+b+c+d=6$ với $a^{\prime },b,c,d\in \mathbb{N}$. Số nghiệm nguyên không âm là $C_{6+4-1}^{4-1}=C_9^3=84$.

Gọi số cần lập có dạng $\overline{abcd}$.
- Trường hợp 1: Chữ số lặp lại là chữ số 0. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí đầu tiên ($a\ne 0$). Có $C_3^2=3$ cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0 trong 3 vị trí $\{b,c,d\}$. Chọn 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số còn lại $\{1,2,\dots ,9\}$ xếp vào 2 vị trí còn lại có $A_9^2=72$ cách. Số các số là: $3\times 72=216$ số.
- Trường hợp 2: Chữ số lặp lại là một chữ số khác 0 (có 9 cách chọn chữ số lặp lại). Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí cho chữ số này có $C_4^2=6$ cách. Chọn 2 chữ số phân biệt khác chữ số lặp lại từ 9 chữ số còn lại có $A_9^2=72$ cách. Tổng số cách xếp là $9\times 6\times 72=3888$. Tuy nhiên, nếu chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên thì ta trừ đi trường hợp $a=0$: chữ số lặp lại phải khác 0 (9 cách), chọn 2 vị trí trong 3 vị trí $\{b,c,d\}$ cho chữ số lặp lại có $C_3^2=3$ cách, chọn 1 chữ số còn lại từ 8 chữ số khác 0 và khác chữ số lặp lại có 8 cách, tổng số trường hợp có $a=0$ là $9\times 3\times 8=216$. Do đó số các số là $3888-216=3672$ số.
Tổng số các số thỏa mãn đề bài là: $216+3672=3888$ số.

Điều kiện: $n\ge 3,n\in \mathbb{N}$.
Ta có:
- $A_{2n}^2=2n(2n-1)=4n^2-2n$.
- $A_n^2=n(n-1)=n^2-n$.
- $C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}⟹\frac{12}{n}{C}_n^3=2(n-1)(n-2)=2(n^2-3n+2)=2n^2-6n+4$.
Bất phương trình trở thành:
$(4n^2-2n)-2(n^2-n)\le (2n^2-6n+4)+20$
$⟺2n^2\le 2n^2-6n+24⟺6n\le 24⟺n\le 4$.
Kết hợp với điều kiện $n\ge 3,n\in \mathbb{N}$, ta có $n\in \{3;4\}$, gồm đúng 2 số tự nhiên. Chọn C.

Điều kiện $n\in \mathbb{N},n\ge 2$. Phương trình tương đương $(P_n-6)(A_n^2-12)=0⟺\left[\begin{array}{c}n!=6\\ n(n-1)=12\end{array}\right]⟺\left[\begin{array}{c}n=3\\ n=4\end{array}\right]$.

Chọn D.
Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bông hoa từ 20 bông là $C_{20}^4=4845$.
Số cách chọn bó hoa không đủ ba màu:
- Trường hợp chỉ có 1 màu: $C_8^4+C_7^4+C_5^4=70+35+5=110$.
- Trường hợp chỉ có 2 màu:
+ Chỉ đỏ và vàng: $C_{15}^4-(C_8^4+C_7^4)=1365-105=1260$.
+ Chỉ đỏ và trắng: $C_{13}^4-(C_8^4+C_5^4)=715-75=640$.
+ Chỉ vàng và trắng: $C_{12}^4-(C_7^4+C_5^4)=495-40=455$.
Tổng số cách chọn bó hoa không đủ ba màu là: $110+1260+640+455=2465$.
Số cách chọn bó hoa có đủ ba màu là: $4845-2465=2380$ cách.

Số có $7$ chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số $1$ và $2$: chọn thêm $5$ chữ số từ $8$ chữ số còn lại có $C_8^5$ cách, sắp xếp $7$ chữ số sao cho $1$ đứng trước $2$ có $\frac{7!}{2}$ cách, trừ đi trường hợp chữ số $0$ đứng đầu là $C_7^4\cdot \frac{6!}{2}$ cách. Vậy có $C_8^5\cdot \frac{7!}{2}-C_7^4\cdot \frac{6!}{2}=141120-12600=128520$ số. Chọn đáp án B.


Đa giác đều có 20 đỉnh nội tiếp một đường tròn tâm $O$.
Số đường chéo đi qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là $20:2=10$ đường chéo.
Cứ 2 đường chéo đi qua tâm tạo thành 1 hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc đa giác đều, do đó số hình chữ nhật tạo thành là $C_{10}^2=45$ hình (bao gồm cả hình vuông).
Số hình vuông tạo thành: một hình vuông có 4 đỉnh cách đều nhau trên đường tròn, mỗi hình vuông ứng với 2 đường chéo vuông góc đi qua tâm. Do đó số hình vuông là $20:4=5$ hình vuông.
Vậy số hình chữ nhật không phải là hình vuông là $45-5=40$ hình. Chọn C.

Từ $1$ đến $20$ có $6$ số chia hết cho $3$, $7$ số chia $3$ dư $1$ và $7$ số chia $3$ dư $2$. Số cách chọn $3$ viên bi có tổng chia hết cho $3$ là $C_6^3+C_7^3+C_7^3+6\cdot 7\cdot 7=20+35+35+294=384$.

Chọn A.
Gọi số cần tìm là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ với $a_1\ne 0$ và các chữ số đôi một khác nhau.
Vì số là số chẵn nên chữ số tận cùng $a_5\in \{0;2;4;6\}$.
- Trường hợp 1: $a_5=0$.
Khi đó chọn 4 chữ số phân biệt $a_1,a_2,a_3,a_4$ từ tập $A\setminus \{0\}$ (gồm 7 chữ số) có $A_7^4=840$ cách.
- Trường hợp 2: $a_5\in \{2;4;6\}$ (có 3 cách chọn $a_5$).
+ Chữ số $a_1\ne 0$ và $a_1\ne a_5$: có $7-1=6$ cách chọn.
+ Chọn 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại: có $A_6^3=120$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp này là $3\cdot 6\cdot 120=2160$ cách.
Tổng số các số chẵn thỏa mãn là $840+2160=3000$ số.

Chọn B.
Để đa giác đều $n$ đỉnh có hình chữ nhật thì $n$ phải là số chẵn, đặt $n=2k$ ($k\ge 2$).
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều là $k$.
Mỗi cặp đường chéo qua tâm xác định một hình chữ nhật, nên số hình chữ nhật là $C_k^2=\frac{k(k-1)}{2}=\frac{\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}-1\right)}{2}=\frac{n(n-2)}{8}$.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là $C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
Theo đề bài ta có:
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=20\cdot \frac{n(n-2)}{8}⟺\frac{n-1}{6}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}⟺n-1=15⟺n=10\text{(hoặc theo giả thieˆˊt tương ứng)}.$
Vậy $n=10$.

Chọn C.
Đa giác đều có 20 cạnh thì có 20 đỉnh.
- Tổng số tam giác tạo thành từ 20 đỉnh là: $C_{20}^3=1140$ tam giác.
- Số tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác: bằng số đỉnh của đa giác, tức là 20 tam giác.
- Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác: chọn 1 cạnh trong 20 cạnh có 20 cách. Đỉnh thứ ba không được trùng với 2 đỉnh của cạnh đó và 2 đỉnh liền kề với cạnh đó (bỏ đi 4 đỉnh), nên có $20-4=16$ cách chọn đỉnh thứ ba. Số tam giác là $20\cdot 16=320$ tam giác.
Vậy số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là:
$1140-20-320=800\text{tam giaˊc}.$