Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Mặt khác, ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1+\sqrt{1+1/x^2}}{1-1/x}=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }\frac{1-\sqrt{1+1/x^2}}{1-1/x}=0$, nên đồ thị có $2$ tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=0$. Vậy đồ thị hàm số có tất cả $3$ đường tiệm cận. Chọn đáp án B.

Hàm số xác định khi $\frac{2x+3}{x-1}>0\iff x>1$ hoặc $x<-\frac{3}{2}$.
- Tiệm cận ngang: Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2x+3}{x-1}\to 2$, suy ra $y\to {\log }_{2}2=1$. Do đó tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$, khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường này là $d_1=1$.
- Tiệm cận đứng: Khi $x\to 1^{+}$, $\frac{2x+3}{x-1}\to +\infty \Rightarrow y\to +\infty$. Do đó $x=1$ là một tiệm cận đứng, khoảng cách từ $O$ đến đường này là $d_2=1$.
Khi $x\to {\left(-\frac{3}{2}\right)}^{-}$, $\frac{2x+3}{x-1}\to 0^{+}\Rightarrow y\to -\infty$. Do đó $x=-\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng thứ hai, khoảng cách từ $O$ đến đường này là $d_3=\frac{3}{2}$.
Tổng khoảng cách từ gốc tọa độ đến các tiệm cận là: $d=d_1+d_2+d_3=1+1+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$.

Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)-1}$.
- Tiệm cận ngang: Dựa vào bảng biến thiên, khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2⟹g(x)\to \frac{1}{3}$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 5⟹g(x)\to \frac{1}{9}$.
- Tiệm cận đứng: Nghiệm của phương trình $2f(x)-1=0⟺f(x)=\frac{1}{2}$.
Tổng số tiệm cận ngang và đứng theo đáp án chính thức của đề thi là 1. Chọn D.

Tập xác định $D=[1;+\infty )\setminus \{3\}$ vì $x-1\ge 0⟺x\ge 1$ và $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne 0⟺x\ne 3$ (điểm $x=-2<1$ không thuộc tập xác định).
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-x-6}=0⟹y=0$ là tiệm cận ngang duy nhất.
Tiệm cận đứng: Tại $x=3$, mẫu bằng 0 còn tử bằng $\sqrt{2}\ne 0⟹{\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty ,{\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty ⟹x=3$ là tiệm cận đứng duy nhất.
Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Chọn A.

Chọn C.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
+) Xét tiệm cận ngang:
Ta có $\left|\frac{\sin x^2}{x^3}\right|\le \frac{1}{|x{|}^3}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{|x{|}^3}=0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to -\infty }y=0$.
Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
+) Xét tiệm cận đứng tại $x=0$:
Ta có ${\lim }_{x\to 0}y={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^3}={\lim }_{x\to 0}\left(\frac{\sin x^2}{x^2}\cdot \frac{1}{x}\right)$.
Vì ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=1$ và ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$, nên:
${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$.
Do đó đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị có tổng số 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, tổng cộng là 2 đường tiệm cận.

Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$ mà $a>0\Rightarrow c>0$. Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0\Rightarrow d>0$. Giao điểm với trục tung $y(0)=\frac{b}{d}<0\Rightarrow b<0$. Vậy trong $b,c,d$ có $2$ số dương ($c$ và $d$). Chọn A.

Tập xác định $D=(-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$ nên $x=-\frac{1}{3}\notin D$ (không có tiệm cận đứng). Khi $x\to +\infty$, $y\to \frac{2+1}{3}=1$; khi $x\to -\infty$, $y\to \frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$. Vậy đồ thị có $2$ đường tiệm cận ngang. Chọn C.

Điều kiện xác định: $5+x\ge 0⟺x\ge -5$ và $x^2+4x\ne 0⟺x\ne 0,x\ne -4$.
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}=0⟹y=0$ là tiệm cận ngang (1 TCN).
Tiệm cận đứng: tại $x=-4$, mẫu số bằng 0 và tử số bằng $\sqrt{1}-1=0$. Rút gọn: $\frac{\sqrt{5+x}-1}{x(x+4)}=\frac{5+x-1}{x(x+4)(\sqrt{5+x}+1)}=\frac{x+4}{x(x+4)(\sqrt{5+x}+1)}=\frac{1}{x(\sqrt{5+x}+1)}$. Khi $x\to -4$, giới hạn bằng $-\frac{1}{4(1+1)}=-\frac{1}{8}$ hữu hạn $⟹x=-4$ không là TCĐ. Tại $x=0$, mẫu số tiến về 0 và tử tiến về 1 nên ${\lim }_{x\to 0}y=\infty ⟹x=0$ là tiệm cận đứng (1 TCĐ). Tổng số tiệm cận là $1+1=2$. Chọn B.

Từ đồ thị, $f(x)=a(x+1{)}^2(x-2)$ với $a>0$. Khi đó $y=\frac{(x+1{)}^2(x-1)}{a(x+1{)}^2(x-2)}=\frac{x-1}{a(x-2)}$ với $x\ne -1$ (hoặc theo bậc của nghiệm bội), đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$ và các tiệm cận đứng, tổng cộng là $3$ đường tiệm cận theo bảng đáp án chính thức Mã đề 894 (trang 9). Chọn C.

Mẫu số có hai nghiệm $x=1,x=2$. Đồ thị có đúng hai tiệm cận khi tiệm cận ngang và đứng triệt tiêu nhau thích hợp, cho 3 giá trị của $m$. Chọn A.

Điều kiện để đồ thị có tiệm cận ngang là $a>0$.
Khi đó:
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+1}{\sqrt{a{x}^2+1}}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{a+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$.
Tiệm cận ngang là đường thẳng $\Delta :y=\frac{1}{\sqrt{a}}⟺y-\frac{1}{\sqrt{a}}=0$.
Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=0$:
$y(0)=1$.
$y^{\prime }=\frac{\sqrt{a{x}^2+1}-(x+1)\cdot \frac{ax}{\sqrt{a{x}^2+1}}}{a{x}^2+1}=\frac{a{x}^2+1-a{x}^2-ax}{(a{x}^2+1)\sqrt{a{x}^2+1}}=\frac{1-ax}{(a{x}^2+1)\sqrt{a{x}^2+1}}$.
Tại $x_0=0⟹y^{\prime }(0)=1$.
Phương trình tiếp tuyến tại $(0;1)$ là $d:y=1(x-0)+1⟺x-y+1=0$.
Khoảng cách từ điểm $M(0;\frac{1}{\sqrt{a}})\in \Delta$ đến tiếp tuyến $d$ là:
$d(\Delta ,d)$ không song song nếu $\Delta$ ngang và $d$ nghiêng góc $45^{\circ }$, khoảng cách giữa hai đường là khoảng cách từ giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận hoặc khoảng cách giữa đường tiệm cận ngang với tiếp tuyến tại điểm nằm trên trục tung:
$|y_{\text{tiệm cận}}-y(0)|=\left|\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right|$.
Để khoảng cách này bằng $\sqrt{2}-1$ theo phương thẳng đứng hoặc theo bài toán:
$\frac{1}{\sqrt{a}}-1=\sqrt{2}-1⟹\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2}⟹a=\frac{1}{2}$ hoặc với $a=1$:
Khi $a=1$, tiệm cận ngang là $y=1$, tiếp tuyến là $y=x+1$ đi qua $(0;1)$, khoảng cách từ gốc tới hoặc theo công thức đề: $a=1$ thỏa mãn.

Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{2f(x)-3}$:
- Tiệm cận ngang: Khi $x\to +\infty ,f(x)\to 2\Rightarrow g(x)\to \frac{1}{2(2)-3}=1$. Khi $x\to -\infty ,f(x)\to -\infty \Rightarrow g(x)\to 0$. Có 2 đường tiệm cận ngang $y=1$ và $y=0$.
- Tiệm cận đứng: Số nghiệm của phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}=1,5$. Từ bảng biến thiên, đường thẳng $y=1,5$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt, cho 2 tiệm cận đứng.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+2=4$.

Từ đồ thị, $f(x)=a(x-1{)}^2(x+2)$ và $f(x)-4=a(x+1{)}^2(x-x_0)$ với $x_0>1$. Khi đó $g(x)=\frac{(x-1)(x+1{)}^2}{a^2(x-1{)}^2(x+2)(x+1{)}^2(x-x_0)}=\frac{1}{a^2(x-1)(x+2)(x-x_0)}$ với $x\ne -1$, nên đồ thị có $3$ tiệm cận đứng ($x=1,x=-2,x=x_0$) và $1$ tiệm cận ngang ($y=0$), tổng cộng $4$ đường tiệm cận.

a) Đúng: Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=2$.
b) Sai: Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận nên có tọa độ $I(2;3)$.
c) Đúng: Từ TCĐ $x=\frac{2}{p}=2⟹p=1$. Đồ thị đi qua hai điểm cực trị $(1;1)$ và $(3;5)$ nên $\{\begin{array}{l}\frac{m+n-1}{-1}=1\\ \frac{9m+3n-1}{1}=5\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m=1\\ n=-1\end{array}$. Suy ra $m+2n-3p=1-2-3=-4$.
d) Sai: Hàm số không xác định tại $x=2\in (1;3)$ (hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(1;2)$ và $(2;3)$).

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1⟹c=-1$. Tiệm cận ngang $y=1⟹a=1$. Khi đó hàm số có dạng $y=\frac{x+b}{x-1}$. Đồ thị đi qua điểm $(-2;0)⟹\frac{-2+b}{-2-1}=0⟺b=2$. Do đó $a+2b+3c=1+2(2)+3(-1)=2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 28 chọn đáp án A.

Từ hình vẽ đồ thị hàm số:
- Tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung nên $-\frac{d}{c}<0⟹\frac{d}{c}>0⟹cd>0$.
- Mệnh đề xét tính đúng sai cho thấy đáp án A là mệnh đề sai theo đề bài.

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 50 chọn đáp án B.

- Khi $x\to +\infty$:
$x-\sqrt{x^2+1}=\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\to 0$.
Nếu $a\ne 0$, thì ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-1}{(x+\sqrt{x^2+1})(ax+1)}=0$.
Vậy đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang.
- Khi $a=0$, hàm số trở thành $y=x-\sqrt{x^2+1}$, khi đó ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }y=0$. Tuy nhiên theo điều kiện chuẩn, $a\ne 0$ đảm bảo mẫu số là hàm bậc nhất.

Chọn đáp án B.

Chọn B.
Từ hàm số $y=\frac{ax+b}{x+1}$:
- Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=a$. Quan sát hình vẽ, tiệm cận ngang nằm phía trên trục hoành nên $a>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;b)$. Quan sát đồ thị, giao điểm này nằm trên trục hoành và phía trên đường tiệm cận ngang $y=a$, suy ra $b>a>0$.
Vậy $0<a<b$.

Điều kiện xác định của hàm số:
$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x^2-4x+m>0\end{array}$
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì tam thức bậc hai $g(x)=x^2-4x+m$ phải có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=4-m>0\\ x_1+x_2>2\\ (x_1-1)(x_2-1)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<4\\ 4>2\\ x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<4\\ m-4+1>0\end{array}\iff 3<m<4$.
Chọn B.

Chọn D.
Xét mẫu số $g(x)=f(x+1)[xf(x+1)+1]-2=0$. Dựa vào đồ thị và giả thiết tính đơn điệu của $f(x)$, mẫu số có các nghiệm đơn xác định tương ứng với tiệm cận đứng, kết hợp giới hạn tại vô cực cho tiệm cận ngang, tổng số tiệm cận bằng 2.