Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S(0;0;30)$ và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là $A(30;0;0),B(0;20;0),C(-20;0;0),D(0;-20;0)$ (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn $60N$ và được phân bố thành bốn lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Tính $\left|\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}\right|$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$, $B(3;0;8)$; $D(-5;-4;0)$. Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;0;2)$, $B(-1;2;2)$, $C(3;1;1)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho biểu thức $S=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=6a-5b+3c$ có giá trị là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1;4;0)$ ; $B(2;-1;-3)$ ; $C(-1;3;5)$ và điểm $D(4;0;1)$ . Điểm $M$ thay đổi trên $(Oyz)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\overline{MA}+\overline{MB}-2\overline{MC}-8\overline{MD}\right|$.

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;2;-3)$, $B(1;-1;0)$, $C(-1;0;1)$, $D(-3;0;3)$.

a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(3;0;-3)$.

b) $AC=2BC$.

c) Với điểm $M\in (Oxy)$ thỏa mãn $△MBC$ vuông cân tại $M$ và $x_M>0$ thì $\left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$.

d) Với điểm $N$ bất kì thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3$ bằng $60$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$, $C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T=16a+16b+3c$.

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm $A$ cách mặt đất $5\text{ m}$, cách điểm xuất phát $3\text{ m}$ về phía nam và $2\text{ m}$ về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm $B$ cách mặt đất $5\text{ m}$, cách điểm xuất phát $6\text{ m}$ về phía bắc và $6\text{ m}$ về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu mét?

Xét các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-2i|+|z-6-2i|$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$; có tọa độ ba đỉnh $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(6;1;0)$. Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$, tìm mệnh đề đúng?

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;-1;6),B(1;1;2),C(-3;-2;4),D(1;6;-4)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(Oyz)$. Khi biểu thức $T={\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2-3{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2+{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị lớn nhất thì tung độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;0;0),B(4;3;0)$ và điểm $C$ nằm trên trục $Oz$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi $C$ di chuyển trên trục $Oz$ thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$ là số phức thỏa mãn điều kiện $|\bar{z}+2-3i|\le |z+i-2|\le 5$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2+8x+6y+5$. Tính $M+m$.

Xét các số phức $z_1,z_2$ thay đổi thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức $|z_1|=2$ và $z_2\cdot z_1^2-12z_1+4z_2=0$. Giá trị nhỏ nhất của $|3z_1+z_2-2i-1|$ bằng