Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Đáp số: 698. Tập $X$ có 11 phần tử. Chọn ngẫu nhiên 5 phần tử từ tập $X$ và xếp vào 5 vị trí. Khi đó $n(\Omega )=A_{11}^5$. Xét biến cố $Y$: "số 13 xếp ở ô $O$ và tổng các số xếp ở các ô $A,O,C$ bằng tổng các số xếp ở các ô $B,O,D$".
+) Số 13 được xếp ở ô $O$.
+) Các số xếp ở các ô $A,B,C,D$ được chọn từ tập $Q=\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\}$ và phải thỏa mãn điều kiện tổng các số xếp ở các ô $A,O,C$ bằng tổng các số xếp ở các ô $B,O,D$ nên ta tìm các tập con của $Q$ có 2 phần tử có tổng bằng nhau. Ta có bảng sau:

Với mỗi cách chọn 2 tập trên, có $2\cdot 2\cdot 2=8$ cách xếp các phần tử đó vào 4 vị trí và thỏa mãn điều kiện của đề bài, do đó $n(Y)=8\cdot 50=400$. $$P(Y)=\frac{400}{A_{11}^5}=\frac{5}{693}.$$ Vậy $a+b=698$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong S={1,...,28}: số lượng phần tử theo dư modulo 3: dư 0 có 9 số (3,6,...,27), dư 1 có 10 số (1,4,...,28), dư 2 có 9 số (2,5,...,26). Vì x² ≡ 0 (mod 3) khi x ≡ 0 và x² ≡ 1 (mod 3) khi x ≡ 1,2, nên a²+b²+c² ≡ 0 (mod 3) khi và chỉ khi cả ba số đều dư 0, hoặc cả ba số đều khác dư 0 (tức thuộc hai lớp dư 1, 2 với tổng 19 số). Số cách chọn thỏa mãn: C(9,3)+C(19,3)=84+969=1053. Tổng số cách: C(28,3)=3276. Xác suất = 1053/3276 = 9/28 (rút gọn: chia 3 hai lần được 117/364, rồi chia 13 được 9/28). Vậy m=9, n=28, T=m+n=37.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: xếp 12 học sinh vào 12 ghế nên có $|\Omega |=12!$ cách. Biến cố $A$: gọi $h,s,g$ lần lượt là số ghế của Học, Sinh, Giỏi, cần $s=\frac{h+g}{2}$, tức $h+g$ chẵn nên $h,g$ cùng tính chẵn lẻ, và $s$ khác $h,g$ (tự động đúng vì $s$ nằm giữa $h$ và $g$). Trong 12 ghế có 6 ghế lẻ và 6 ghế chẵn. Số cách chọn cặp $(h,g)$ cùng tính chẵn lẻ: $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=30$; với mỗi cặp, $s=\frac{h+g}{2}$ được xác định duy nhất và khác $h,g$. Vậy số cách xếp thỏa mãn: $30\cdot 9!$ (9 học sinh còn lại xếp vào 9 ghế còn lại). Xác suất $P(A)=\frac{30\cdot 9!}{12!}=\frac{30}{12\cdot 11\cdot 10}=\frac{30}{1320}=\frac{1}{44}$.

1. Tính xác suất:
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{40}^3=9880$
Gọi $A$ là tập hợp các tam giác cân, $B$ là tập hợp các tam giác vuông, $C$ là tập hợp các tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đều
Số tam giác cân: $n(A)=40\times \left(\frac{40-2}{2}\right)=760$ (không có tam giác đều vì 40 không chia hết cho 3)
Số tam giác vuông: $n(B)=20\times (40-2)=760$ (cạnh huyền là đường kính)
Số tam giác có ít nhất một cạnh của đa giác: $n(C)=C_{40}^3-\frac{40(40-4)(40-5)}{6}=9880-8400=1480$
Sử dụng nguyên lý bù trừ cho các tập hợp:
$n(A\cap B)=40\times 1=40$ (tam giác vuông cân tại mỗi đỉnh)
$n(B\cap C)=20\times 4=80$ (mỗi đường kính kết hợp với 4 đỉnh kề 2 đầu đường kính)
$n(C\cap A)=40\times 1=40$ (tam giác cân có đáy là cạnh đa giác)
$n(A\cap B\cap C)=0$
Số tam giác không thỏa mãn điều kiện đề bài là:
$n(A\cup B\cup C)=760+760+1480-(40+80+40)+0=2840$
Xác suất cần tìm: $P=1-\frac{2840}{9880}=\frac{176}{247}$

2. Tìm hệ số $x^5$
Điều kiện: $n\ge 2$
Phương trình tương đương:
$$2\cdot \frac{n(n-1)}{2}-3\cdot n(n-1)+144=0\iff -2n(n-1)=-144\iff n^2-n-72=0$$
Vì $n$ nguyên dương nên $n=9$
Khai triển: $P(x)=(3+x-x^2{)}^9={\sum }_{k=0}^9{C}_9^k\cdot 3^{9-k}\cdot (x-x^2{)}^k={\sum }_{k=0}^9{\sum }_{j=0}^k{C}_9^k\cdot C_k^j\cdot 3^{9-k}\cdot x^{k-j}\cdot (-x^2{)}^j$
Số hạng tổng quát: $C_9^k\cdot C_k^j\cdot 3^{9-k}\cdot (-1{)}^j\cdot x^{k+j}$
Yêu cầu $k+j=5$ với $0\le j\le k\le 9$, các cặp $(k,j)$ thỏa mãn:
Trường hợp 1: $j=0,k=5\Rightarrow C_9^5\cdot C_5^0\cdot 3^4\cdot (-1{)}^0=10206$
Trường hợp 2: $j=1,k=4\Rightarrow C_9^4\cdot C_4^1\cdot 3^5\cdot (-1{)}^1=-122472$
Trường hợp 3: $j=2,k=3\Rightarrow C_9^3\cdot C_3^2\cdot 3^6\cdot (-1{)}^2=183708$
Hệ số của $x^5$ là: $10206-122472+183708=71442$

(Lưu ý: bản lời giải trang 5 ghi biểu thức $P(x)=(3+x-x^2{)}^n$, khác với đề gốc trang 1 ghi $P(x)=(3+x-x^3{)}^n$; xem mục issues.)

Lời giải.
Không gian mẫu là số bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ với $a,b,c\in X$:
$$n(\Omega )=45^3=91125.$$

a) Đồ thị của
$$f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}$$
có 2 tiệm cận khi mẫu $x-c$ không bị khử, tức là
$$c\ne a,c\ne b.$$
Khi đó:
- chọn $c$: có 45 cách;
- chọn $a\ne c$: có 44 cách;
- chọn $b\ne c$: có 44 cách.
Số trường hợp thuận lợi là
$$45\cdot 44\cdot 44.$$
Vậy xác suất cần tìm là
$$P=\frac{45\cdot 44\cdot 44}{45^3}=\frac{1936}{2025}.$$

b) Khi $c\ne a$, $c\ne b$, chia đa thức ta được
$$f(x)=x-a-b+c+\frac{(c-a)(c-b)}{x-c}.$$
Vì thế hai tiệm cận là
$$x=c\text{vaˋ}y=x-a-b+c.$$
Giao điểm của chúng là
$$I(c,2c-a-b).$$
Để $I$ nằm trên trục hoành thì tung độ bằng 0, tức là
$$2c-a-b=0\iff c=\frac{a+b}{2}.$$
Như vậy $a+b$ phải chẵn, tức là $a,b$ cùng tính chẵn lẻ.
Trong tập $X$ có:
$$23\text{ soˆˊ cha˘˜n},22\text{ soˆˊ lẻ}.$$
Do $c=\frac{a+b}{2}$ và $c\ne a$, $c\ne b$ nên phải có $a\ne b$.
Số cặp có thứ tự $(a,b)$ cùng tính chẵn lẻ và khác nhau là
$$23\cdot 22+22\cdot 21=968.$$
Với mỗi cặp như vậy, giá trị
$$c=\frac{a+b}{2}$$
được xác định duy nhất và vẫn thuộc $X$.
Vậy số trường hợp thuận lợi là 968, nên xác suất là
$$P=\frac{968}{91125}.$$
Kết luận:
$$P_a=\frac{1936}{2025},P_b=\frac{968}{91125}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Có 7 vị trí (6 đỉnh và tâm O), đặt 7 số phân biệt: tổng số cách là $7!=5040$.

Ba vị trí thẳng hàng là ba đường kính: $AOD$, $BOE$, $COF$. Gọi $s$ là số ở tâm $O$, mỗi đường kính có tổng $s+$ (tổng cặp hai đỉnh đối diện). Để ba tổng bằng nhau thì ba cặp số ở ba đường kính phải có cùng tổng $T$, tức 6 số còn lại chia thành 3 cặp bằng tổng. Tổng 6 số còn lại là $28-s=3T$, nên $28-s\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Với $s$ lẻ: $s=1\Rightarrow T=9$; $s=3\Rightarrow 25$ không chia hết; $s=5\Rightarrow 23$ không chia hết; $s=7\Rightarrow T=7$.

- $s=1$: 6 số còn lại $\{2;3;4;5;6;7\}$, các cặp tổng 9: $(2,7),(3,6),(4,5)$ — duy nhất một cách ghép cặp. Phân phối 3 cặp vào 3 đường kính: $3!$ cách; mỗi đường kính hoán vị 2 số: $2^3$ cách. Số cách: $3!\cdot 2^3=48$.
- $s=7$: 6 số còn lại $\{1;2;3;4;5;6\}$, các cặp tổng 7: $(1,6),(2,5),(3,4)$ — duy nhất. Tương tự có 48 cách.

Số trường hợp thuận lợi: $48+48=96$. Xác suất: $P=\frac{96}{5040}=\frac{2}{105}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách điền: $10!=3628800$. Trong tập $X$ có 5 số lẻ $(1,3,5,7,9)$ và 5 số chẵn $(0,2,4,6,8)$. Biến cố $A$ chỉ phụ thuộc vào vị trí 5 ô chứa số lẻ: cần chọn 5 ô trong 9 ô sao cho mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một ô được chọn, sau đó gán số: $5!$ cách xếp số lẻ và $5!$ cách xếp số chẵn.

Đếm số cách chọn 5 ô với mỗi hàng có ít nhất 1 ô lẻ (tổng 5 ô, mỗi hàng ≥1): các phân bố $(3,1,1)$ và $(2,2,1)$.
- Trường hợp $(3,1,1)$: chọn hàng có 3 ô lẻ (3 cách); hàng này phủ cả 3 cột nên hai hàng còn lại chỉ cần mỗi hàng có 1 ô lẻ, tự do chọn cột: $3\cdot 3=9$ cách. Tổng: $3\cdot 9=27$.
- Trường hợp $(2,2,1)$: chọn hàng có 1 ô lẻ (3 cách), chọn cột của ô đó (3 cách) — cột này đã được phủ. Hai hàng còn lại mỗi hàng chọn 2 cột trong 3 cột: mỗi hàng có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ cách, tổng $9$ tổ hợp. Cần hợp của hai cặp phủ được 2 cột còn lại; có đúng 2 tổ hợp xấu (cả hai hàng cùng chọn cặp gồm cột đã phủ và cùng một cột còn lại, khiến một cột thiếu ô lẻ). Vậy còn $9-2=7$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 7=63$.

Vậy số cách chọn vị trí ô lẻ: $27+63=90$. Số cách điền thuận lợi: $90\cdot (5!{)}^2=90\cdot 14400=1296000$.

$$P(A)=\frac{90\cdot (5!{)}^2}{10!}=\frac{90}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)}\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)}{1}=\frac{90}{252}=\frac{5}{14}$$

Cụ thể: $\frac{1296000}{3628800}=\frac{5}{14}$, nên $a=5$, $b=14$ (phân số tối giản vì $\gcd (5,14)=1$).

$$S=a-b=5-14=-9$$

(AI giải đề cho tôi)
Chỉ cần xét cách chia 10 người thành 5 cặp đối diện (vị trí ghế không ảnh hưởng). Tổng số cách chia: $\frac{10!}{2^5\cdot 5!}=945$.

Dùng bao hàm - loại trừ với các cặp cùng lớp: lớp 12A có 1 cặp, lớp 12B có 3 cặp (2 bạn A, 3 bạn B; 5 bạn còn lại mỗi người một lớp nên không tạo cặp cùng lớp).
- A ngồi cặp: $7!!=105$.
- Một cặp B ngồi cặp: $3\cdot 105=315$.
- A và một cặp B: $3\cdot 5!!=45$; hai cặp B: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot 15=45$; ba cặp B: $3$.
- A và hai cặp B: $3\cdot 3=9$; A và ba cặp B: $3$.

Số cách xấu: $105+315-45-45-3+9+3=339$. Số cách tốt: $945-339=606$.

Xác suất $P=\frac{606}{945}\approx 0,6413\approx 0,6$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách: chọn 6 số từ H và xếp vào 6 vị trí là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{6}\right)\cdot 6!=5005\cdot 720=3603600$.

Đếm cách thuận lợi: Gọi $a,c,e$ lần lượt là số ở $A,C,E$. Điều kiện để $(A,B,C),(C,D,E),(E,F,A)$ lập thành cấp số cộng là $B=\frac{a+c}{2}$, $D=\frac{c+e}{2}$, $F=\frac{e+a}{2}$. Do đó $a,c,e$ phải cùng tính chẵn lẻ (để các trung bình cộng là số nguyên); các giá trị trung bình nằm trong $[1;15]$ tự động. Với $a,c,e$ đôi một khác nhau thì các trung bình cộng cũng khác nhau và khác $a,c,e$ (vì $(a+c)/2=a\iff c=a$, v.v.).

Số bộ $(a,c,e)$ có thứ tự, đôi một khác nhau, cùng chẵn hoặc cùng lẻ: số lẻ có 8 số, số chẵn có 7 số, nên $8\cdot 7\cdot 6+7\cdot 6\cdot 5=336+210=546$.

Vậy $P=\frac{546}{3603600}=\frac{1}{6600}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp: $8!=40320$.

Bước 1: Đếm số cách xếp sao cho không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau. Khi đó 4 nam và 4 nữ phải xếp xen kẽ, có 2 mẫu: NĐNĐNĐNĐ hoặc ĐNĐNĐNĐN (N: nam, Đ: nữ). Với mỗi mẫu có $4!\cdot 4!$ cách xếp. Vậy số cách xen kẽ là $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$.

Bước 2: Đếm số cách xen kẽ mà Việt và An đứng cạnh nhau. Trong mỗi mẫu xen kẽ, mỗi cặp vị trí cạnh nhau gồm đúng 1 vị trí nam và 1 vị trí nữ, nên có 7 cặp (nam, nữ) kề nhau để đặt Việt và An. Sau đó 3 nam còn lại xếp vào $3!$ chỗ nam và 3 nữ còn lại xếp vào $3!$ chỗ nữ. Vậy số cách Việt và An kề nhau là $2\cdot 7\cdot 3!\cdot 3!=2\cdot 7\cdot 36=504$.

Bước 3: Số cách thỏa mãn cả hai điều kiện: $1152-504=648$.

Xác suất cần tính: $P=\frac{648}{40320}=\frac{9}{560}\approx 0,016$.

Số phần tử không gian mẫu là $C_{10}^6$. Vì số nhỏ thứ hai là $k$, nên số nhỏ thứ nhất nhận các giá trị từ 1 đến $k-1$. Tức có $k-1$ cách chọn số nhỏ thứ nhất. Số nhỏ thứ hai là $k$, nên chỉ có một cách. Bốn số còn lại nhận các giá trị từ $k+1$ đến 10. Từ $k+1$ đến 10 có $10-k$ số, nên có $C_{10-k}^4$ cách chọn bốn số còn lại. Số kết quả thuận lợi của biến cố là $(k-1)C_{10-k}^4$. Chú ý, ta cần có điều kiện $k⩾2$ và $10-k⩾4$, hay $2⩽k⩽6$. Xác suất cần tìm là $$\frac{(k-1)C_{10-k}^4}{C_{10}^6}.$$ Từ kết quả tổng quát trên, nếu số bé thứ hai là $k$, $2⩽k⩽6$, thì xác suất tương ứng là $$\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{3}{14};\frac{2}{21};\frac{1}{42}.$$ Theo bảng đáp án biểu điểm: nếu số nhỏ thứ hai là 4, thì số nhỏ thứ nhất chọn từ tập $\{1;2;3\}$ và bốn số còn lại có số cách chọn là $C_6^4$, nên số cách chọn sao cho số nhỏ thứ hai là 4 là $3C_6^4$; xác suất cần tìm là $\frac{3C_6^4}{C_{10}^6}=\frac{3}{14}$. (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau: chữ số hàng trăm có 9 cách (1–9), hàng chục 9 cách, hàng đơn vị 8 cách, nên |X| = 9·9·8 = 648.

a) Tổng ba chữ số nhỏ nhất là 0+1+2 = 3, lớn nhất là 9+8+7 = 24, nên tổng là số chính phương khi tổng thuộc {4; 9; 16}.
• Tổng = 4: chỉ có bộ chữ số {0;1;3}. Số hoán vị có hàng trăm khác 0: 6 − 2 = 4 số.
• Tổng = 9: các bộ {0;1;8}, {0;2;7}, {0;3;6}, {0;4;5}, {1;2;6}, {1;3;5}, {2;3;4}. Bộ chứa 0 (4 bộ) mỗi bộ cho 4 số; bộ không chứa 0 (3 bộ) mỗi bộ cho 6 số. Tổng: 4·4 + 3·6 = 34 số.
• Tổng = 16: các bộ {0;7;9}, {1;6;9}, {1;7;8}, {2;5;9}, {2;6;8}, {3;4;9}, {3;5;8}, {3;6;7}, {4;5;7}. Bộ chứa 0 (1 bộ) cho 4 số; 8 bộ còn lại mỗi bộ 6 số. Tổng: 4 + 8·6 = 52 số.
Số trường hợp thuận: 4 + 34 + 52 = 90. Xác suất P(a) = 90/648 = 5/36.

b) Nếu số có chứa chữ số 0 thì tích ba chữ số bằng 0 = 0² là số chính phương: có 9·2·8 = 144 số.
Xét các chữ số khác 0, phân loại theo phần không chính phương (squarefree): nhóm sf=1: {1;4;9}; sf=2: {2;8}; sf=3: {3}; sf=5: {5}; sf=6: {6}; sf=7: {7}. Tích ba chữ số là chính phương khi các sf nhân lại thành chính phương, các bộ thỏa mãn:
• {1;4;9} (ba số nhóm sf=1), tích 36;
• một số từ {1;4;9} cùng với {2;8}: {1;2;8}, {4;2;8}, {9;2;8} (tích 16; 64; 144);
• sf dạng 2·3·6 = 36: {2;3;6}, {8;3;6} (tích 36; 144).
Vậy 6 bộ, mỗi bộ cho 6 số (không có chữ số 0): 36 số.
Số trường hợp thuận: 144 + 36 = 180. Xác suất P(b) = 180/648 = 5/18.

Không gian mẫu $n(\Omega )=A_{20}^9$

Gọi bộ ba số là $(x;y;z)$. Điều kiện chúng lập thành cấp số nhân là $y^2=xz$; với $x;y;z$ phân biệt. Ta tìm các bộ thoả mãn $y^2=xz$; $x;y;z\in S$; $x;y;z$ phân biệt (mỗi giá trị y phải có 2 bộ số x, z thoả mãn). Các giá trị thoả mãn là:

Với $y=4\Rightarrow y^2=16:\{x;z\}=\{1;16\};\{2;8\}$

Với $y=6\Rightarrow y^2=36:\{x;z\}=\{2;18\};\{4;9\};\{3;12\}$; (0,25 điểm)

Với $y=12\Rightarrow y^2=144:\{x;z\}=\{8;18\};\{9;16\}$.

Xét bộ $y=4\Rightarrow y^2=16:\{x;z\}=\{1;16\};\{2;8\}$ có $8.A_{15}^4$ cách sắp xếp.

Tương tự bộ $\{8;18\};\{9;16\}$ có $8.A_{15}^4$

Xét bộ $\{2;18\};\{4;9\};\{3;12\}$ có $C_3^2.8.A_{15}^4$ cách

$$n(A)=\mathrm{2.8.}{A}_{15}^4+C_3^2.8.A_{15}^4\Rightarrow P(A)=\frac{16.A_{15}^4+C_3^2.8.A_{15}^4}{A_{20}^9}=\frac{1}{46512}$$ (0,25 điểm).

Không gian mẫu $n(\Omega )=A_{22}^9$

Gọi bộ ba số là $(x;y;z)$. Điều kiện chúng lập thành cấp số nhân là $y^2=xz$; với $x;y;z$ phân biệt. Ta tìm các bộ thoả mãn $y^2=xz$; $x;y;z\in S$; $x;y;z$ phân biệt. Các giá trị thỏa mãn là :

Với $y=4\Rightarrow y^2=16:\{x;z\}=\{1;16\};\{2;8\}$

Với $y=6\Rightarrow y^2=36:\{x;z\}=\{2;18\};\{4;9\};\{3;12\}$;

Với $y=12\Rightarrow y^2=144:\{x;z\}=\{8;18\};\{9;16\}$. (0,25 điểm)

Xét bộ $y=4\Rightarrow y^2=16:\{x;z\}=\{1;16\};\{2;8\}$ có $8.A_{17}^4$ cách sắp xếp.

Tương tự bộ $\{8;18\};\{9;16\}$. có $8.A_{17}^4$

Xét bộ $\{2;18\};\{4;9\};\{3;12\}$ có $C_3^2.8.A_{17}^2$ cách

$$n(A)=\mathrm{2.8.}{A}_{17}^4+C_3^2.8.A_{17}^4\Rightarrow P(A)=\frac{16.A_{17}^4+C_3^2.8.A_{17}^4}{A_{22}^9}=\frac{1}{79002}$$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Học sinh $A$ thắng khi rút được quả trắng ở lượt rút thứ $1,3,5,7$ hoặc $9$ (các lượt lẻ). Trước lượt rút thứ $(2k+1)$ của $A$, phải có $2k$ quả xanh được rút ra (chỉ khả thi với $k=0,1,2$ vì chỉ có 4 quả xanh). Xác suất: $P={\sum }_{k=0}^2\frac{C_4^{2k}}{C_{10}^{2k}}\cdot \frac{6}{10-2k}$. Tính từng số hạng: $k=0:\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$; $k=1:\frac{C_4^2}{C_{10}^2}\cdot \frac{6}{8}=\frac{6}{45}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{10}$; $k=2:\frac{C_4^4}{C_{10}^4}\cdot \frac{6}{6}=\frac{1}{210}$. Cộng lại: $P=\frac{3}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{210}=\frac{126+21+1}{210}=\frac{148}{210}=\frac{74}{105}$. Vậy $a=74,b=105$, $S=3\cdot 74-5\cdot 105=222-525=-303$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi combo gồm 2 sách khác môn. Gọi $x$, $y$, $z$ lần lượt là số combo loại $\{\text{Toaˊn, Lyˊ}\}$, $\{\text{Toaˊn, Hoˊa}\}$, $\{\text{Lyˊ, Hoˊa}\}$. Vì dùng hết 20 cuốn: $x+y=6$ (Toán), $x+z=7$ (Lý), $y+z=7$ (Hóa) nên $x=3$, $y=3$, $z=4$. Như vậy trong mọi cách chia luôn có đúng 3 combo TL, 3 combo TH, 4 combo LH (sách cùng môn giống hệt nhau nên combo chỉ phụ thuộc cặp môn). Xác suất để bạn Hùng và bạn Minh nhận cùng loại combo: $P=\left[C(3,2)+C(3,2)+C(4,3)\right]\cdot 2!/(10\cdot 9)$ ... cụ thể $P(\text{cuˋng loại }i)=n_i(n_i-1)/(10\cdot 9)$, nên $P=(3\cdot 2+3\cdot 2+4\cdot 3)/(10\cdot 9)=24/90=4/15$. Vậy $a=4$, $b=15$, $T=4a+4b=16+60=76$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y,z$ lần lượt là số combo Lý–Toán, Toán–Hóa, Lý–Hóa. Vì mỗi học sinh nhận đúng 2 cuốn thuộc hai môn khác nhau và tất cả 30 cuốn đều được chia hết nên hệ số combo là bắt buộc (không phụ thuộc cách chia ngẫu nhiên): $x+y+z=15$, $x+y=9$ (Toán), $x+z=12$ (Lý), $y+z=9$ (Hóa). Giải hệ được $x=6,y=3,z=6$. Vậy trong mọi cách chia hợp lệ, luôn có đúng 6 combo Vật lí–Toán, 3 combo Toán–Hóa, 6 combo Vật lí–Hóa; tính ngẫu nhiên chỉ nằm ở việc 15 học sinh nhận các combo này như thế nào. Xác suất để bạn Hùng và bạn Quân nhận combo cùng loại: $$P=\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}+\frac{3}{15}\cdot \frac{2}{14}+\frac{6}{15}\cdot \frac{5}{14}=\frac{30+6+30}{210}=\frac{66}{210}=\frac{11}{35}.$$ Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{11}{35}$, nên $T=2a+5b=2\cdot 11+5\cdot 35=22+175=197$.

(AI giải đề cho tôi)
Các combo gồm 2 sách khác môn: Toán–Lý: 8·10=80, Toán–Hóa: 8·12=96, Lý–Hóa: 10·12=120, tổng 296 combo. Xác suất Quân và Minh nhận combo cùng loại: $P=\frac{80\cdot 79+96\cdot 95+120\cdot 119}{296\cdot 295}=\frac{6320+9120+14280}{87320}=\frac{29720}{87320}=\frac{743}{2183}$ (tối giản vì $2183=37\cdot 59$, $743$ nguyên tố). Vậy $a=743$, $b=2183$, $T=2(743+2183)=5852$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn và xếp 9 số phân biệt từ $\{1,...,30\}$ vào 9 ô: $30\cdot 29\cdots 22=\frac{30!}{21!}=5191778592000$.

Bước 1: $120=2^3\cdot 3\cdot 5$. Các bộ ba số phân biệt $\le 30$ có tích 120: $\{1,4,30\},\{1,5,24\},\{1,6,20\},\{1,8,15\},\{1,10,12\},\{2,3,20\},\{2,4,15\},\{2,5,12\},\{2,6,10\},\{3,4,10\},\{3,5,8\},\{4,5,6\}$ (12 bộ; bộ $\{1,2,60\}$ loại vì $60>30$).

Bước 2: Vì tích mỗi cột bằng 120 nên $bc=120/a$, điều kiện 2 thành $a^2+120/a=q^2$ (cột 1, 2) và $k^2-120/k=q^2$ (cột 3). Kiểm tra các giá trị chia hết của 120:
- $a=1$: $121=11^2$; $a=2$: $64=8^2$; $a=3$: $49=7^2$; $a=5$: $49=7^2$; các giá trị khác $(4,6,8,10,12,15,20,24,30)$ không cho số chính phương.
- $k=5$: $1$; $k=6$: $16$; $k=8$: $49=7^2$; các giá trị khác không cho số chính phương (hoặc âm).

Vì 9 số phân biệt nên $a\ne d$, do đó để $a^2+120/a=d^2+120/d=k^2-120/k=q^2$ với $a\ne d$, duy nhất $q=7$ với $\{a,d\}=\{3,5\}$ và $k=8$.

Bước 3: Các cột khả dĩ:
- Đầu 3 ($bc=40$): $\{3,2,20\},\{3,4,10\}$ (bộ $\{3,5,8\}$ loại vì trùng $d=5$).
- Đầu 5 ($ef=24$): $\{5,1,24\},\{5,2,12\},\{5,3,8\},\{5,4,6\}$.
- Đầu 8 ($mn=15$): $\{8,1,15\},\{8,3,5\}$.

Cột 3 không thể là $\{8,3,5\}$ vì trùng với $a,d\in \{3,5\}$, nên cột 3 là $\{8,1,15\}$. Khi đó:
- Cột đầu 3: $\{3,2,20\}$ hoặc $\{3,4,10\}$.
- Cột đầu 5: $\{5,2,12\}$ hoặc $\{5,4,6\}$.

Yêu cầu 9 số phân biệt chỉ cho 2 tổ hợp cột:
- $\{3,2,20\},\{5,4,6\},\{8,1,15\}$.
- $\{3,4,10\},\{5,2,12\},\{8,1,15\}$.

Bước 4: Kiểm tra hàng (mỗi hàng lấy một số từ mỗi cột, tích 120):
- Tổ hợp 1: các hàng khả dĩ là $\{3,5,8\},\{2,4,15\},\{20,6,1\}$ — đôi một rời, phủ đủ 9 số, thỏa mãn.
- Tổ hợp 2: $\{3,5,8\},\{4,2,15\},\{10,12,1\}$ — cũng thỏa mãn.

Bước 5: Đếm cách điền: hàng 1 chứa $a,d\in \{3,5\}$ và $k=8$: 2 cách hoán vị $(3,5)$. Hai hàng dưới phải giữ nguyên phân bố hàng (chỉ có thể hoán đổi đồng thời hàng 2 và hàng 3: 2 cách); hoán đổi riêng một cột sẽ phá vỡ tích hàng. Vậy mỗi tổ hợp cột cho $2\cdot 2=4$ bảng, tổng số bảng thuận lợi $=8$.

Bước 6: Xác suất $=\frac{8}{5191778592000}\approx 1,5409\cdot 10^{-12}=\alpha \cdot 10^{-12}$.

Vậy $\alpha =1,54$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 22: 1,54).