Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc $O$ tại trung điểm chân cổng, trục $Ox$ nằm trên mặt đất, trục $Oy$ là trục đối xứng của parabol. Hai chân cổng cách nhau $10m$ nên parabol $(P):y=a{x}^2+c$ đi qua hai điểm $(-5;0)$ và $(5;0)$, đỉnh cổng có chiều cao $h=c$. Người cao $1,6m$ đứng cách chân cổng $0,5m$ nên đầu người chạm cổng tại điểm có hoành độ $x=5-0,5=4,5$ và tung độ $y=1,6$.
Thay vào phương trình:
$$25a+c=0;20,25a+c=1,6.$$
Trừ hai phương trình: $4,75a=-1,6\Rightarrow a=-\frac{1,6}{4,75}=-\frac{16}{47,5}=-\frac{32}{95}$.
Suy ra $h=c=-25a=25\cdot \frac{32}{95}=\frac{800}{95}=\frac{160}{19}\approx 8,\mathrm{4210...}$
Vậy chiều cao cổng $h\approx 8,42m$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ với đỉnh cổng tại $O(0;6)$, chân cổng tại $x=\pm 1,5$ (trên trục hoành). Parabol có dạng $y=6-a{x}^2$. Vì đi qua $(1,5;0)$: $0=6-a\cdot 2,25\Rightarrow a=\frac{6}{2,25}=\frac{8}{3}$. Vậy $y=6-\frac{8}{3}{x}^2$. Thùng hàng cao 3 m nên hai cạnh dọc của nó chạm cổng tại $y=3$: $3=6-\frac{8}{3}{x}^2\Rightarrow x^2=\frac{9}{8}\Rightarrow x=\frac{3}{2\sqrt{2}}\approx 1,0607$. Chiều rộng tối đa của thùng là $2x=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2,1213\approx 2,1$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là bài toán về định nghĩa elip: tập các điểm M có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm A₁, A₄ không đổi là một elip nhận A₁, A₄ làm tiêu điểm. Lục giác đều cạnh 50m nên đường chéo lớn A₁A₄ = 2·50 = 100m, tức 2c = 100 ⇒ c = 50. Điểm A₂ thuộc mép thảm nên tổng khoảng cách hằng số là MA₁ + MA₄ = A₂A₁ + A₂A₄ = 50 + 50√3 = 2a ⇒ a = 25(1+√3). Khi đó b² = a² − c² = 625(4+2√3) − 2500 = 1250√3 ⇒ b = 25√(2√3) ≈ 46,53m. Vậy mép ngoài thảm cỏ là cung elip đi qua A₂, A₃, A₅, A₆ với hai tiêu điểm A₁, A₄, trục lớn 2a = 50(1+√3) ≈ 136,6m, trục nhỏ 2b = 50√(2√3) ≈ 93,1m.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có tiêu cự $2c=6$ nên $c=3$. Vì $(H)$ đi qua điểm $A(1;0)$ nằm trên trục $Ox$ và là đỉnh của hypebol (phương trình chính tắc có trục thực là $Ox$), ta có $a=1$, tức $a^2=1$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=9-1=8$. Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{8}=1$. Kiểm tra: $A(1;0)$ thỏa phương trình, và $c^2=a^2+b^2=9\Rightarrow 2c=6$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: gốc $O$ tại tâm ván gỗ (đỉnh parabol), trục $Ox$ nằm ngang dọc theo giàn giáo, trục $Oy$ hướng lên. Vì ván võng xuống nên parabol có dạng $x^2=-2py$ với $p>0$.

a. Giàn giáo dài 16 m nên hai đầu ván cách tâm $8\text{m}$. Độ võng tại tâm là $3\text{cm}=0,03\text{m}$, tức hai đầu ván có tung độ $y=-0,03$. Thay điểm $(8;-0,03)$ vào $x^2=-2py$: $64=-2p(-0,03)\Rightarrow 2p=\frac{64}{0,03}=\frac{6400}{3}$.
Vậy phương trình chính tắc: $x^2=-\frac{6400}{3}y$ (tức $y=-\frac{3}{6400}{x}^2$).

b. Điểm có độ võng $1\text{cm}$ có $y=-0,01\text{m}$. Khi đó $x^2=\frac{6400}{3}\cdot 0,01=\frac{64}{3}\Rightarrow x=\frac{8}{\sqrt{3}}\approx 4,62\text{m}$.
Vậy điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ khoảng $4,62$ m (chính xác $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc $O$ tại đỉnh parabol, trục hoành là trục đối xứng của $(P)$ hướng vào trong lòng thiết bị. Khi đó $(P)$ có phương trình dạng $y^2=2px$ $(p>0)$. Thiết bị có đường kính $1\text{m}$ nên bán kính miệng là $0,5\text{m}$, chiều sâu $0,3\text{m}$, do đó mép miệng parabol là điểm $M(0,3;0,5)$ thuộc $(P)$. Thay vào phương trình: $0,5^2=2p\cdot 0,3\Rightarrow 0,25=0,6p\Rightarrow p=\frac{5}{12}$. Tiêu điểm của parabol $y^2=2px$ là $F\left(\frac{p}{2};0\right)$, nên micro (đặt tại tiêu điểm) cách đỉnh một khoảng $\frac{p}{2}=\frac{5}{24}\approx 0,21\text{m}$. Vậy micro cần đặt cách đỉnh $(P)$ khoảng $\frac{5}{24}\approx 0,21$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Đường viền mép ngoài thảm cỏ là một cung elip (một nửa elip) nhận $A_1,A_4$ làm hai tiêu điểm, đi qua bốn điểm $A_2,A_3,A_5,A_6$.

Tính toán: Lục giác đều cạnh $50m$ nên $A_1{A}_4$ là đường chéo lớn đi qua tâm, $A_1{A}_4=2\cdot 50=100m$, tức $2c=100\Rightarrow c=50m$.

Theo định nghĩa elip, với mọi điểm $M$ trên mép thảm: $M{A}_1+M{A}_4=2a$ (hằng số). Áp dụng tại $A_2$: do tính đối xứng của lục giác đều, $A_2{A}_1=50m$ (cạnh) và $A_2{A}_4=100m$ (đường chéo lớn), nên $2a=50+100=150\Rightarrow a=75m$.

Kiểm tra với $A_3$: $A_3{A}_1=100m$, $A_3{A}_4=50m$, tổng $=150m$ — thỏa mãn. Tương tự $A_5,A_6$ cũng có tổng $150m$, nên cả bốn đèn cùng nằm trên elip này.

Tính $b$: $b^2=a^2-c^2=75^2-50^2=5625-2500=3125\Rightarrow b=25\sqrt{5}\approx 55,9m$.

Kết luận: Mép ngoài thảm cỏ là nửa elip (phía chứa $A_2,A_3,A_5,A_6$) có tâm là tâm lục giác, trục lớn nằm trên đường thẳng $A_1{A}_4$ với độ dài trục lớn $2a=150m$, trục nhỏ $2b=50\sqrt{5}\approx 111,8m$, hai tiêu điểm là $A_1,A_4$, với $a=75m$, $b=25\sqrt{5}m$, $c=50m$. Phương trình elip (gốc tại tâm, trục $Ox$ theo $A_1{A}_4$): $\frac{x^2}{75^2}+\frac{y^2}{3125}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại trung điểm đoạn AB nối hai chân cầu trên mặt đường, trục hoành song song mặt đường. Parabol có dạng $y=a{x}^2+h$ (đỉnh tại $x=0$, $h$ là chiều cao đỉnh cầu, $a<0$). Hai chân cầu tại $x=\pm 124$ (vì $AB=248m$) nên $y(\pm 124)=0\Rightarrow h=-a\cdot 124^2$.

Độ dốc tại điểm $x$ là góc giữa tiếp tuyến và phương ngang, nên $\tan \alpha =|y^{\prime }(x)|=|2ax|$, lớn nhất tại chân cầu $x=\pm 124$. Chiều cao giới hạn ứng với độ dốc đúng bằng $6°30^{\prime }$ tại chân cầu:
$$|y^{\prime }(124)|=|2a|\cdot 124=\tan 6°30^{\prime }\Rightarrow |a|=\frac{\tan 6°30^{\prime }}{248}.$$
Suy ra
$$h=|a|\cdot 124^2=\frac{\tan 6°30^{\prime }}{248}\cdot 124^2=62\tan 6°30^{\prime }.$$
Vì $6°30^{\prime }=6,5°$ và $\tan 6,5°\approx 0,113936$:
$$h\approx 62\cdot 0,113936\approx 7,064\approx 7,1m.$$
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường khoảng $7,1m$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có 2a = 120 nên a = 60, 2b = 90 nên b = 45. Phương trình elip: x²/3600 + y²/2025 = 1. Hình chữ nhật nội tiếp có đỉnh M(x; y) trên elip, diện tích S = 4xy. Theo AM-GM: x²/3600 + y²/2025 = 1 ≥ 2xy/(60·45) nên xy ≤ 1350, dấu bằng khi x²/3600 = y²/2025 = 1/2, tức x = 60/√2, y = 45/√2. Khi đó S_max = 4·1350 = 5400 m². Vậy diện tích Vincom lớn nhất là 5400 m².

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục sao cho đỉnh parabol tại $(0;9)$, mặt đất là trục $Ox$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+9$. Cửa chính rộng $4m$, cao $5m$ nên hai đỉnh trên của cửa chính có tọa độ $(\pm 2;5)$. Thay vào: $5=4a+9\Rightarrow a=-1$. Tại mặt đất $y=0$: $0=-x^2+9\Rightarrow x=\pm 3$. Vậy $AB=6m$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho biết miệng chụp có đường kính 30 cm (bán kính 15 cm) và độ sâu 20 cm. Chọn gốc tọa độ tại đỉnh chụp, trục hoành là trục đối xứng của parabol, phương trình có dạng $y^2=4ax$ với tiêu điểm $F(a;0)$. Điểm trên miệng chụp là $(20;15)$, thay vào: $15^2=4a\cdot 20\Rightarrow 225=80a\Rightarrow a=2,8125$ cm. Kết quả làm tròn: $2,81$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đường tròn tiếp xúc trong với elip tại hai đầu mút của trục nhỏ nên đường kính đường tròn bằng độ dài trục nhỏ $2b=30m$, bán kính $R=15m$. Elip có $2a=60m$, $2b=30m$ nên $a=30m$, $b=15m$, diện tích elip $S=\pi ab=450\pi$. Diện tích phần trong đường tròn (trồng cây lâu năm) là $\pi R^2=225\pi$; diện tích phần ngoài đường tròn trong elip (trồng hoa màu) là $450\pi -225\pi =225\pi$. Vậy $T=\frac{225\pi }{225\pi }=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại trung điểm $AB$, trục $Ox$ dọc theo $AB$. Khi đó elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a=10$ (nửa trục lớn, vì $AB=20$ m) và $b=8$ (chiều cao lớn nhất của nửa elip). Phương trình elip: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Điểm $C$ trên mặt đường cách chân đường hầm (điểm $B$) 3 m nên $C$ có hoành độ $x=10-3=7$ m. Độ cao tại $C$ là tung độ $y$ của điểm trên elip với $x=7$:
$$\frac{49}{100}+\frac{y^2}{64}=1\Rightarrow y^2=64\cdot \frac{51}{100}=\frac{3264}{100}=32,64\Rightarrow y=\sqrt{32,64}\approx 5,713.$$

Vậy độ cao của đường hầm tại điểm cách chân đường hầm 3 m là khoảng $5,7$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P)$ có tiêu điểm $F(1;0)$ nên có dạng $y^2=4px$ với $\frac{p}{2}=1\Rightarrow p=2$, tức $(P):y^2=4x$. Thay $x=-6m$ vào: $y^2=-24m$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-24m>0\iff m<0$. Với $m\in [-10;10]$ nguyên, các giá trị $m<0$ là $m\in \{-10,-9,\dots ,-1\}$, gồm 10 giá trị. Vậy đáp án là 10.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13. Lập phương trình chính tắc của elip (E): x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).

a) Elip có một tiêu điểm (-7; 0) nên c² = 49, tức a² = b² + 49. Elip đi qua M(-2; 12) nên 4/a² + 144/b² = 1. Thay a² = b² + 49, đặt t = b² > 0: 4/(t+49) + 144/t = 1 ⟹ 4t + 144(t + 49) = t(t + 49) ⟹ t² - 99t - 7056 = 0. Δ = 99² + 4·7056 = 38025 = 195², nên t = (99 + 195)/2 = 147 (nhận t > 0). Vậy b² = 147, a² = 196. Kiểm tra: 4/196 + 144/147 = 1/49 + 144/147 = 3/147 + 144/147 = 1 ✓. Phương trình: x²/196 + y²/147 = 1.

b) Elip đi qua M(4; √3) và N(2√2; -3): 16/a² + 3/b² = 1 và 8/a² + 9/b² = 1. Đặt u = 1/a², v = 1/b²: 16u + 3v = 1; 8u + 9v = 1. Trừ hai phương trình: 8u - 6v = 0 ⟹ u = 3v/4. Suy ra 12v + 3v = 1 ⟹ v = 1/15, u = 1/20. Vậy a² = 20, b² = 15 (thỏa a > b > 0). Phương trình: x²/20 + y²/15 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cách điểm chính giữa đáy ô thoáng 75 cm ứng với hoành độ $x=75/30=2,5$ (đơn vị trên bản vẽ). Với elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$, thay $x=2,5$: $\frac{6,25}{16}+\frac{y^2}{4}=1\Rightarrow y^2=4\left(1-\frac{6,25}{16}\right)=4\cdot \frac{9,75}{16}=\frac{39}{16}$, nên $y=\frac{\sqrt{39}}{4}\approx 1,5612$ đơn vị. Chiều cao thực tế $h=30\cdot \frac{\sqrt{39}}{4}=7,5\sqrt{39}\approx 46,84$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ với gốc tại trung điểm AB trên mặt đất, đỉnh parabol tại $S(0;4)$. Parabol có dạng $y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$ (suy từ điều kiện qua đỉnh). Cửa chính cao $3m$, rộng $4m$ nên hai mép trên cửa chính có hoành độ $x=\pm 2$ và khi $x=2$: $y=-\frac{1}{4}(4)+4=3$ (thỏa mãn). Hai chân cổng nằm trên mặt đất $y=0$: $-\frac{1}{4}{x}^2+4=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$. Vậy $AB=8m$, khớp với đáp án nguồn là 8.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ với gốc tại trung điểm $AB$ trên mặt đất, trục $Oy$ đi qua đỉnh parabol. Đỉnh parabol có tọa độ $(0;4)$ vì chiều cao cổng là $4m$, nên parabol có dạng $y=a{x}^2+4$ ($a<0$). Cửa chính rộng $4m$ và cao $3m$, nên hai mép trên của cửa chính nằm trên parabol tại $y=3$ với $x=\pm 2$. Thay vào: $3=a\cdot 4+4\Rightarrow a=-\frac{1}{4}$. Vậy $y=-\frac{x^2}{4}+4$. Hai chân cổng $A$, $B$ nằm trên mặt đất $y=0$: $-\frac{x^2}{4}+4=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$. Khoảng cách $AB=4-(-4)=8$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (8).