Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ: u1(1+q^4)=51 và u1 q(1+q^4)=102, chia hai phương trình ta được q=2 (với 1+q^4≠0). Suy ra u1(1+16)=51 nên u1=3. a) ĐÚNG vì u5=u1 q^4, u2=u1 q, u6=u1 q^5. b) S8=u1(q^8−1)/(q−1)=3(256−1)=765, ĐÚNG. c) u12=u1 q^11=3·2048=6144≠12288, SAI. d) u4=u1 q^3=3·8=24≠48, SAI. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-Đ, B-Đ, C-S, D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay u5=u1 q^4, u2=u1 q, u6=u1 q^5 vào hệ, được hệ phương trình như mệnh đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai phương trình: q = 102/51 = 2; u1(1+2^4)=51 nên u1=3. S8 = 3(2^8−1)/(2−1) = 765.
c) (AI giải đề cho tôi)
u12 = u1 q^11 = 3·2^11 = 6144 ≠ 12288.
d) (AI giải đề cho tôi)
u4 = u1 q^3 = 3·8 = 24 ≠ 48.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu 6 tháng đầu là 24 tỷ. Từ tháng 7, doanh thu lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=4,2\cdot 1,12=4,704$ (tỷ đồng), công bội $q=1,12$, gồm 6 tháng (tháng 7 đến tháng 12). Tổng doanh thu 6 tháng cuối: $S=u_1\cdot \frac{q^6-1}{q-1}=4,704\cdot \frac{1,12^6-1}{0,12}$. Vì $1,12^6\approx 1,9738$ nên $S\approx 4,704\cdot \frac{0,9738}{0,12}\approx 38,17$ tỷ đồng. Doanh thu cả năm: $24+38,17\approx 62,2$ tỷ đồng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Kết quả khớp với đáp án nguồn 62,2.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu 6 tháng đầu năm là 18 tỷ đồng. Từ tháng 7 đến tháng 12, doanh thu lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3,5$ (tháng 6) và công bội $q=1,08$. Tổng doanh thu 6 tháng cuối năm là:
$$S=3,5\cdot 1,08+3,5\cdot 1,08^2+\cdots +3,5\cdot 1,08^6=3,5\cdot 1,08\cdot \frac{1,08^6-1}{1,08-1}$$
Với $1,08^6\approx 1,586874$:
$$S\approx 3,5\cdot 1,08\cdot \frac{0,586874}{0,08}\approx 27,73\text{ tỷ đoˆˋng}$$
Doanh thu cả năm: $18+27,73\approx 45,7$ tỷ đồng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân). Kết quả khớp với đáp án nguồn 45,7.

Đáp án theo nguồn (Hướng dẫn chấm, Phần IV Đề lẻ, Câu 4, trang 16-17).
Đặt $p=\mathrm{1.000.000}$ (đồng); $r=0,4\%$.
+) Tiền lãi tháng thứ nhất là: $p.r$ (đồng).
Số tiền gốc để tính lãi tháng thứ 2 là: $p+p.r+100.000=p(1+r)+100.000$ (đồng).
+) Tiền lãi tháng thứ 2 là: $\left[p(1+r)+100.000\right].r$ (đồng).
Số tiền gốc để tính lãi tháng thứ 3 là:
$p(1+r)+100.000+\left[p(1+r)+100.000\right].r+100.000$
$=\left[p(1+r)+100.000\right](1+r)+100.000$
$=p(1+r{)}^2+100.000(1+r)+100.000$.
....
+) Số tiền gốc để tính lãi tháng thứ 12 là:
$p(1+r{)}^{11}+100.000(1+r{)}^{10}+\dots +100.000(1+r)+100.000$.
Vậy số tiền thu được sau 12 tháng của học sinh A là:
$$p(1+r{)}^{12}+100.000(1+r{)}^{11}+...+100.000(1+r)$$
$$=p(1+r{)}^{12}+100.000(1+r).\frac{1-(1+r{)}^{11}}{1-(1+r)}$$
$$=\mathrm{1.000.000}(1+0,4\%{)}^{12}+100.000(1+0,4\%)\frac{(1+0,4\%{)}^{11}-1}{0,4\%}$$
$$\approx \mathrm{2.175.825}\text{ (đoˆˋng)}.$$

Đặt $p=\mathrm{1.000.000}$ (đồng); $r=0,5\%$.
+) Tiền lãi tháng thứ nhất là: $p.r$ (đồng).
Số tiền gốc để tính lãi tháng thứ 2 là: $p+p.r+100.000=p(1+r)+100.000$ (đồng).
+) Tiền lãi tháng thứ 2 là: $\left[p(1+r)+100.000\right].r$ (đồng).
Số tiền gốc để tính lãi tháng thứ 3 là:
$p(1+r)+100.000+\left[p(1+r)+100.000\right].r+100.000$
$=\left[p(1+r)+100.000\right](1+r)+100.000$
$=p(1+r{)}^2+100.000(1+r)+100.000$.
....
+) Số tiền gốc để tính lãi tháng thứ 12 là:
$$p(1+r{)}^{11}+100.000(1+r{)}^{10}+...+100.000(1+r)+\mathrm{100.000.}$$
Vậy số tiền thu được sau 12 tháng của học sinh A là:
$$p(1+r{)}^{12}+100.000(1+r{)}^{11}+...+100.000(1+r)$$
$$=p(1+r{)}^{12}+100.000(1+r).\frac{1-(1+r{)}^{11}}{1-(1+r)}$$
$$=\mathrm{1.000.000}(1+0,5\%{)}^{12}+100.000(1+0,5\%)\frac{(1+0,5\%{)}^{11}-1}{0,5\%}$$
$$\approx \mathrm{2.195.234}\text{ (đoˆˋng)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Gọi cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q\ne 0$. Ta có $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, $u_5=u_1{q}^4$. Hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1(1+q+q^2)=7(1)\\ u_1(q^4-q)=14(2)\end{array}$$
Vì $1+q+q^2>0$ với mọi $q$ nên $u_1\ne 0$. Chia $(2)$ cho $(1)$:
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=2\iff \frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=2\iff q(q-1)=2\iff q^2-q-2=0\iff [<table><tbody><tr><td>q=2</td></tr><tr><td>q=-1</td></tr></tbody></table>$$

TH1: $q=2$. Thay vào $(1)$: $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- $u_4=u_1{q}^3=1\cdot 8=8$.
- $S_{20}=u_1\cdot \frac{q^{20}-1}{q-1}=\frac{2^{20}-1}{1}=2^{20}-1=1048575$.

TH2: $q=-1$. Thay vào $(1)$: $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$.
- $u_4=u_1{q}^3=7\cdot (-1)=-7$.
- $S_{20}=u_1\cdot \frac{1-q^{20}}{1-q}=7\cdot \frac{1-(-1{)}^{20}}{1-(-1)}=7\cdot \frac{1-1}{2}=0$.

Thử lại: với $u_1=7,q=-1$: $u_1+u_2+u_3=7-7+7=7$ ✓; $u_5-u_2=7-(-7)=14$ ✓. Với $u_1=1,q=2$: $1+2+4=7$ ✓; $16-2=14$ ✓.

Vậy bài toán có hai nghiệm: $(u_1,q)=(1;2)$ với $u_4=8$, $S_{20}=2^{20}-1=1048575$; hoặc $(u_1,q)=(7;-1)$ với $u_4=-7$, $S_{20}=0$. (Nếu đề yêu cầu cấp số nhân tăng thì chọn $q=2$, $u_1=1$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số nhân $(u_n)$ có số hàng đầu $u_1$ và công bội $q\ne 0$.

Ta có $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, $u_5=u_1{q}^4$.

Điều kiện thứ nhất: $u_1+u_2+u_3=u_1(1+q+q^2)=7$.

Điều kiện thứ hai: $u_5-u_2=u_1(q^4-q)=14$.

Chia hai phương trình (với $1+q+q^2\ne 0$ luôn đúng vì $1+q+q^2={\left(q+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$):
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=\frac{q(q^3-1)}{q^2+q+1}=q(q-1)=2.$$

Suy ra $q^2-q-2=0\iff (q-2)(q+1)=0\iff q=2$ hoặc $q=-1$.

**TH1: $q=2$.** Khi đó $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- $u_4=u_1{q}^3=1\cdot 8=8$.
- $S_{20}=u_1\cdot \frac{q^{20}-1}{q-1}=\frac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1=1048575$.

**TH2: $q=-1$.** Khi đó $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$.
- $u_4=u_1{q}^3=7\cdot (-1)=-7$.
- $S_{20}=\frac{u_1(1-q^{20})}{1-q}=\frac{7(1-1)}{2}=0$ (các cặp số hạng $u_{2k-1}+u_{2k}=7-7=0$ triệt tiêu nhau).

Kiểm tra lại cả hai trường hợp đều thỏa mãn đề bài:
- $q=2,u_1=1$: $1+2+4=7$; $16-2=14$. ✓
- $q=-1,u_1=7$: $7-7+7=7$; $7-(-7)=14$. ✓

Vậy bài toán có hai nghiệm: $(u_1,q)=(1;2)$ với $u_4=8$, $S_{20}=1048575$; hoặc $(u_1,q)=(7;-1)$ với $u_4=-7$, $S_{20}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Vì $(u_n)$ là cấp số nhân công bội $q\ne 0$ nên $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

1) Hệ phương trình trở thành:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1(1+q+q^2)=7\\ u_1(q^4-q)=14\end{array}$$
Chia từng vế hai phương trình (vì $u_1\ne 0$, $q\ne 0$):
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=2\Rightarrow \frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=2\Rightarrow q(q-1)=2$$
$$\Rightarrow q^2-q-2=0\Rightarrow q=2\text{ hoặc }q=-1.$$
- Với $q=2$: $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- Với $q=-1$: $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$. Kiểm tra: $u_5-u_2=7(1)-7(-1)=14$ ✓.

Vậy cấp số nhân có hai khả năng: $u_1=1,q=2$ hoặc $u_1=7,q=-1$.

2) Số hạng $u_4=u_1{q}^3$:
- Với $u_1=1,q=2$: $u_4=1\cdot 2^3=8$.
- Với $u_1=7,q=-1$: $u_4=7\cdot (-1{)}^3=-7$.

3) Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$ với $q\ne 1$.
- Với $u_1=1,q=2$: $S_{20}=\frac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1=1048575$.
- Với $u_1=7,q=-1$: $S_{20}=7\cdot \frac{1-(-1{)}^{20}}{1-(-1)}=7\cdot \frac{1-1}{2}=0$ (tổng của số chẵn các số hạng xen kẽ $7,-7,\dots$ bằng 0).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k=1,005$ là hệ số lãi mỗi tháng (lãi suất $0,5\%$/tháng, gửi không rút lãi nên lãi nhập gốc).

Tiền gửi lần đầu $100$ triệu đồng sinh lãi trong 3 tháng: $100\cdot 1,005^3=101,5075$ triệu đồng.

Theo cách tính của đề (đáp án nguồn mã đề 2102 là 114), các lần gửi thêm 6 triệu được tính sinh lãi cho các tháng tiếp theo, và tại thời điểm 'sau 3 tháng' ta cộng lãi của các khoản gửi thêm như sau:
- Khoản gửi cuối tháng thứ nhất sinh lãi 2 tháng: $6\cdot 1,005^2=6,06015$ triệu đồng.
- Khoản gửi cuối tháng thứ hai sinh lãi 1 tháng: $6\cdot 1,005=6,03$ triệu đồng.

Tổng số tiền sau 3 tháng:
$$100\cdot 1,005^3+6\cdot 1,005^2+6\cdot 1,005=101,5075+6,06015+6,03=113,59765\approx 114\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $114$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 7, mã đề 2102, câu trả lời ngắn 1: 114).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ lập cấp số nhân công bội $q$ nên $a=\frac{b}{q},c=bq$. Vì $b,c,d$ lập cấp số cộng nên $d=2c-b=2bq-b$.

Từ $b+c=12$: $b(1+q)=12\Rightarrow b=\frac{12}{1+q}$.

Từ $a+d=14$: $\frac{b}{q}+2bq-b=14\Rightarrow b\left(\frac{1}{q}-1+2q\right)=14$.

Thay $b$: $\frac{12}{1+q}\cdot \frac{1-q+2q^2}{q}=14\Rightarrow 12(2q^2-q+1)=14q(1+q)$
$\Rightarrow 24q^2-12q+12=14q+14q^2\Rightarrow 10q^2-26q+12=0\Rightarrow 5q^2-13q+6=0$.

Giải: $q=\frac{13\pm \sqrt{169-120}}{10}=\frac{13\pm 7}{10}$, tức $q=2$ hoặc $q=0,6$.

Vì $q<1$ nên $q=0,6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,6).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ lập cấp số nhân công bội $q$: $b=aq,c=a{q}^2$. Vì $b,c,d$ lập cấp số cộng: $d=2c-b=aq(2q-1)$. Từ $b+c=12$: $a(q+q^2)=12\Rightarrow a=\frac{12}{q(1+q)}$. Thay vào $a+d=a\left(1+2q^2-q\right)=14$: $\frac{12(2q^2-q+1)}{q(1+q)}=14\Rightarrow 24q^2-12q+12=14q+14q^2\Rightarrow 5q^2-13q+6=0\Rightarrow q=2$ hoặc $q=0,6$. Do $q<1$ nên $q=0,6$, khớp đáp án nguồn.

a) Gọi $u_n$ là số tiền quyên góp được trong ngày thứ $n$ (đơn vị: triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:
- Số tiền ngày 1: $u_1=1$ (triệu đồng)
- Số tiền ngày 2: $u_2=1\cdot (1+0.2)=1\cdot (1.2)$
- Số tiền ngày 3: $u_3=u_2\cdot (1.2)=1\cdot (1.2{)}^2$

Dãy số $u_1,u_2,...,u_n$ là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu: $u_1=1$
- Công bội: $q=1.2$
(0.25 điểm)

Tính tổng số tiền sau 7 ngày: Ta cần tính tổng số tiền quyên góp được sau 7 ngày, tức là $S_7$.
$S_7=u_1+u_2+...+u_7$
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:
$$S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}$$
Thay $n=7$, $u_1=1$ và $q=1.2$ vào công thức:
$$S_7=1\cdot \frac{(1.2{)}^7-1}{1.2-1}$$
$$S_7\approx \frac{3.5831808-1}{0.2}$$
$$S_7\approx \frac{2.5831808}{0.2}$$
$S_7\approx 12.915904$ (triệu đồng) (0.25 điểm)

Đổi ra đồng và làm tròn đến hàng nghìn:
$12,915904\cdot \mathrm{1.000.000}\approx \mathrm{12.915.904}$ đồng.
Làm tròn đến hàng nghìn, ta được 12.916.000 đồng.

b) Chúng ta cần tìm số ngày $n$ (nguyên dương) nhỏ nhất sao cho tổng số tiền quyên góp $S_n\ge \mathrm{50.000.000}$.
Ta có bất phương trình:
$$S_n=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^n-1}{0.2}\ge \mathrm{50.000.000}$$
Rút gọn bất phương trình:
$$\frac{(1.2{)}^n-1}{0.2}\ge 50$$
$(1.2{)}^n-1\ge 10$
$(1.2{)}^n\ge 11$
Để tìm $n$, chúng ta có thể thử lần lượt các giá trị $n$.
Từ câu (a), ta biết $(1.2{)}^7\approx 3.58$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=10$: $(1.2{)}^{10}\approx 6.19$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=12$: $(1.2{)}^{12}\approx 8.92$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=13$: $(1.2{)}^{13}\approx 10.70$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=14$: $(1.2{)}^{14}\approx 12.84$ (đã lớn hơn 11).
Vậy $n=14$ là giá trị nguyên nhỏ nhất.

Kiểm tra lại bằng tổng tiền:
- Nếu $n=13$ ngày:
$$S_{13}=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^{13}-1}{0.2}\approx \mathrm{1.000.000}\times \frac{10.70-1}{0.2}=\mathrm{48.500.000}\text{ (đoˆˋng)}.$$
→ Chưa đủ 50 triệu.
- Nếu $n=14$ ngày:
$$S_{14}=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^{14}-1}{0.2}\approx \mathrm{1.000.000}\times \frac{12.84-1}{0.2}=\mathrm{59.200.000}\text{ (đoˆˋng)}.$$
→ Đã đủ 50 triệu.

Trả lời: CLB cần duy trì chiến dịch trong ít nhất 14 ngày để đạt được mục tiêu.

+) Số tiền trả cho lần lượt các mũi khoan giếng lập thành cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=95.000$ và công bội $q=1,05$. Cần tính $S_{55}$.
+) Ta có: $S_{55}=u_1\frac{1-q^{55}}{1-q}=95000.\frac{1-1,05^{55}}{1-1,05}\approx \mathrm{25.907.699}$ (đồng).

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): Lương anh An nhận được sau năm đầu tiên là $15\cdot 12=180$ triệu đồng.
Lương hằng năm (triệu đồng) anh An nhận được lập thành cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1=180$ và công bội $q=1,2$.
Sau 10 năm, tổng số tiền mà anh An tiết kiệm được là:
$$S=(u_{10}-u_9)+(u_9-u_8)+(u_8-u_7)+\dots +(u_2-u_1)=u_{10}-u_1=u_1\cdot q^9-u_1\approx 748,8\text{ (triệu đoˆˋng)}$$
Như vậy, sau 10 năm, số tiền anh An tiết kiệm được không đủ để mua chiếc ô tô trị giá 800 triệu đồng.
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): Lương anh An nhận được sau năm đầu tiên là $15\cdot 12=180$ triệu đồng.
Lương hằng năm (triệu đồng) anh An nhận được lập thành cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1=180$ và công bội $q=1,2$.
Sau 10 năm, tổng số tiền mà anh An tiết kiệm được là:
$$S=(u_{10}-u_9)+(u_9-u_8)+(u_8-u_7)+\dots +(u_2-u_1)=u_{10}-u_1=u_1\cdot q^9-u_1\approx 748,8\text{ (triệu đoˆˋng)}$$
Như vậy, sau 10 năm, số tiền anh An tiết kiệm được không đủ để mua chiếc ô tô trị giá 800 triệu đồng.
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công bội là $q$. Ta có $u_2+u_5=q{u}_1+q{u}_4=q(u_1+u_4)=9$, mà $u_1+u_4=3$ nên $q=3$. Suy ra $u_1(1+q^3)=3\Rightarrow u_1(1+27)=3\Rightarrow u_1=\frac{3}{28}$. Tổng mười số hạng đầu: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{3}{28}\cdot \frac{3^{10}-1}{2}=\frac{3}{28}\cdot \frac{59049-1}{2}=\frac{3\cdot 59048}{56}=\frac{177144}{56}\approx 3163,29$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $3163$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lương trong chu kỳ 2 năm thứ $k$ ($k=1,...,6$) là $a\cdot 1,1^{k-1}$; mỗi tháng tiết kiệm $40\%$ lương nên mỗi chu kỳ tiết kiệm $24\cdot 0,4a\cdot 1,1^{k-1}=9,6a\cdot 1,1^{k-1}$. Tổng tiết kiệm sau 12 năm: $S=9,6a\cdot \frac{1,1^6-1}{0,1}=96a(1,771561-1)=74,069856a$. Giá nhà sau 12 năm: $10^9\cdot 1,05^6=1,340,095,641$ đồng. Suy ra $a=\frac{1,340,095,641}{74,069856}\approx 18,092,000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ là số vi khuẩn sau $n$ giờ, $a_0=10$. Theo đề: $a_{n+1}=2a_n-5$. Đặt $b_n=a_n-5$ thì $b_{n+1}=2b_n$, nên $b_n=2^n{b}_0=2^n\cdot 5$. Vậy $a_n=5\cdot 2^n+5$. Sau 24 giờ: $a_{24}=5\cdot 2^{24}+5=5\cdot 16777216+5=83886080+5=83886085$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Gia đình ông An dùng 347 số = 34 bậc đầy đủ (mỗi bậc 10 số) cộng 7 số đầu của bậc 35. Giá mỗi số ở bậc $n$ là $800\cdot 1,025^{n-1}$ (đồng).

Tiền cho 34 bậc đầu: $S_1=10\cdot 800\cdot \frac{1,025^{34}-1}{0,025}$. Tính $1,025^{34}\approx 2,315323$, nên $S_1=8000\cdot \frac{1,315323}{0,025}\approx 420903,36$ đồng.

Tiền cho 7 số của bậc 35: $S_2=7\cdot 800\cdot 1,025^{34}\approx 12965,81$ đồng.

Tổng: $S\approx 433869,17$ đồng, làm tròn thành số tự nhiên $433869$ có dạng $abc86d$ với $a=4,b=3,c=3,d=9$.

Vậy $a+b+c+d=4+3+3+9=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông thứ nhất có cạnh $a$ nên $S_1=a^2$. Hình vuông nối 4 trung điểm có cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (đường chéo hình vuông nhỏ bằng cạnh hình vuông lớn), do đó $S_2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$. Tương tự, mỗi hình vuông mới có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông trước, vậy dãy $S_1,S_2,\dots$ là cấp số nhân với số hạng đầu $S_1=a^2$, công bội $q=\frac{1}{2}$. Tổng 100 số hạng đầu: $$S=S_1\cdot \frac{1-q^{100}}{1-q}=a^2\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}}{\frac{1}{2}}=2a^2\left(1-\frac{1}{2^{100}}\right)=\frac{a^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}}.$$ Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.