Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có: $y^{\prime }=2x^2-2mx-2(3m^2-1)=2[x^2-mx-(3m^2-1)]$.
Đặt $g(x)=x^2-mx-3m^2+1$.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt:
$\Delta =(-m{)}^2-4(1)(-3m^2+1)=m^2+12m^2-4=13m^2-4>0⟺m^2>\frac{4}{13}(\ast )$.
Theo định lý Vi-ét cho phương trình $g(x)=0$:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=-3m^2+1\end{array}$.
Theo giả thiết:
$x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1⟺(-3m^2+1)+2m=1⟺-3m^2+2m=0⟺m(2-3m)=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$.
Kiểm tra điều kiện $(\ast )$:
- Với $m=0$: $m^2=0<\frac{4}{13}$ (loại).
- Với $m=\frac{2}{3}$: $m^2=\frac{4}{9}$. Vì $\frac{4}{9}>\frac{4}{13}$ nên thỏa mãn điều kiện $(\ast )$.
Vậy chỉ có đúng 1 giá trị thực của $m$ thỏa mãn là $m=\frac{2}{3}$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$. Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=-1$.
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$, đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại các điểm có hoành độ $x=-1$ và $x=1$. Tại lân cận điểm $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dưới đường thẳng $y=-1$ lên phía trên đường thẳng $y=-1$, tức là $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Hàm số có 3 điểm cực trị khi $m>0$. Tọa độ 3 điểm cực trị là $A(0;m-1)$, $B(-\sqrt{m};-m^2+m-1)$, $C(\sqrt{m};-m^2+m-1)$.
Diện tích tam giác: $S=m^2\sqrt{m}=m^{\frac{5}{2}}=2\Rightarrow m^5=4\Rightarrow m=\sqrt[5]{4}\approx 1,32\in (1;2)$.

Ta có: $g^{\prime }(x)=2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)$

$\Rightarrow g^{\prime }(x)=0\iff 2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)=0\iff [<table><tbody><tr><td>2x=0</td></tr><tr><td>f^{\prime }(x^2-2)=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x^2-2=-1</td></tr><tr><td>x^2-2=1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\pm 1</td></tr><tr><td>x=\pm \sqrt{3}</td></tr></tbody></table>.$

Ta có bảng xét dấu:

[IMAGE_1]

Do $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $5$ điểm nên hàm số $g(x)$ có $5$ điểm cực trị.

*(Ghi chú: Bảng đáp án trang 7 và phương án gạch chân trang 16 chọn **C. 5** theo số điểm cực trị ở dòng kết luận lời giải; trong khi nhãn đầu lời giải ghi `Chọn A` tương ứng với $3$ điểm cực tiểu $x\in \{-\sqrt{3};0;\sqrt{3}\}$.)*

Ta có: $f^{\prime }(x)=x^2(x-2)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)=x^2(x-2{)}^2(x+2)(x-1)(x-3)$.
Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là:
- $x=0$ (nghiệm bội 2)
- $x=2$ (nghiệm bội 2)
- $x=-2$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
- $x=1$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
- $x=3$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$:
- Khi qua $x=-2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $⟹$ điểm cực tiểu.
- Khi qua $x=1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm $⟹$ điểm cực đại.
- Khi qua $x=3$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $⟹$ điểm cực tiểu.
Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực đại (tại $x=1$).

Ta có $y^{\prime }=x^2-8x-1$.
Chia $y$ cho $y^{\prime }$ ta được:
$y=y^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\right)-\frac{34}{3}x+\frac{8}{3}$.
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$ có phương trình là $y=-\frac{34}{3}x+\frac{8}{3}$.
Hệ số góc của đường thẳng $AB$ chính là $P=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{34}{3}$.

Xét hàm số $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$.
$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1$, $x=0$, $x=2$.
Các giá trị cực trị của $f(x)$ là:
$f(-1)=3(-1{)}^4-4(-1{)}^3-12(-1{)}^2+m=m-5$.
$f(0)=m$.
$f(2)=3(16)-4(8)-12(4)+m=48-32-48+m=m-32$.
Ta có $m-32<m-5<m$.
Hàm số $f(x)$ đã có sẵn 3 điểm cực trị.
Số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ bằng 5 khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt (không trùng với các điểm cực trị) hoặc đồ thị $f(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Điều này xảy ra khi trục hoành $y=0$ nằm ngoài khoảng giữa các cực trị hoặc chỉ cắt đồ thị tại 2 điểm:
Trường hợp 1: Trục hoành nằm trên tất cả các điểm cực trị: $m\le 0$ (không có giá trị nguyên dương).
Trường hợp 2: Trục hoành nằm giữa $f(2)$ và $f(-1)$: $m-32<0\le m-5⟺5\le m<32$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{5,6,\dots ,31\}$.
Số giá trị nguyên dương của $m$ là: $31-5+1=27$ giá trị.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy hàm số có $a=2$ điểm cực trị nằm ngoài trục hoành và đồ thị cắt trục hoành tại $b=3$ điểm phân biệt đơn. Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là $a+b=2+3=5$ điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2+2ax+b$.
Đồ thị đi qua $(1;0)$ và nhận $(-2;0)$ làm điểm cực trị nên:
$\{\begin{array}{l}y(1)=0\\ y(-2)=0\\ y^{\prime }(-2)=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}1+a+b+c=0\\ -8+4a-2b+c=0\\ 12-4a+b=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a+b+c=-1\\ 4a-2b+c=8\\ 4a-b=12\end{array}$.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: $3a-3b=9⟺a-b=3⟺b=a-3$.
Thay vào phương trình thứ ba: $4a-(a-3)=12⟺3a=9⟺a=3$.
Từ đó $b=3-3=0$.
Thay vào phương trình thứ nhất: $c=-1-3-0=-4$.
Kiểm tra lại: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$ đổi dấu khi qua $x=-2$, do đó $(-2;0)$ đúng là điểm cực trị.
Vậy $T=a^2+b^2+c^2=3^2+0^2+(-4{)}^2=9+0+16=25$.

Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$:
- Trên $(-\infty ;1)$, hàm số có 1 điểm cực đại tại $x=-1$ với $y(-1)=2>0$. Khi qua cực đại, giá trị hàm số đi từ $-\infty$ lên $2$ rồi xuống $-\infty$, nên đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, đóng góp 2 điểm cực trị và 1 điểm cực đại cũ đổi thành cực đại của $|f(x)|$.
- Trên $(1;+\infty )$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y(3)=-4<0$. Nhánh này đi từ $+\infty$ xuống $-4$ rồi lên $+\infty$, nên cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Khi lấy trị tuyệt đối, 2 giao điểm này biến thành 2 cực tiểu, và điểm cực tiểu cũ thành 1 cực đại.
Kết hợp việc suy diễn bảng biến thiên của hàm số $y=|f(x)|$, tổng số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là $4$ điểm cực trị.

Ta có đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+(m^2+5m-5)$ và $f^{\prime \prime }(x)=6x-6m$.
Để $x=1$ là điểm cực đại của hàm số thì điều kiện cần là $f^{\prime }(1)=0$:
$3-6m+m^2+5m-5=0⟺m^2-m-2=0⟺[\begin{array}{rl}& m=-1\\ & m=2\end{array}$
Kiểm tra điều kiện đủ $f^{\prime \prime }(1)<0$:
- Với $m=-1$: $f^{\prime \prime }(1)=6-6(-1)=12>0⟹x=1$ là điểm cực tiểu (loại).
- Với $m=2$: $f^{\prime \prime }(1)=6-6(2)=-6<0⟹x=1$ là điểm cực đại (thỏa mãn).
Vậy $m=2$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-6x+a$. Vì $A(2;-2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên $y^{\prime }(2)=0⟺4\cdot 2^3-6\cdot 2+a=0⟺a=-20$. Thay $a=-20$ và tọa độ $A(2;-2)$ vào phương trình hàm số: $2^4-3\cdot 2^2-20\cdot 2+b=-2⟺16-12-40+b=-2⟺b=34$. Vậy $S=59b-a=59\cdot 34-(-20)=2026$.

a) Đúng: Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)=0⟺x=-1$ hoặc $x=1$.
b) Đúng: Vì $-1<0<3$ nên đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt.
c) Sai: Giá trị cực tiểu (cực tiểu của hàm số) bằng $-1$ (tại điểm cực tiểu $x=1$).
d) Đúng: Ta có $y^{\prime }=-f^{\prime }(2-x)>0⟺f^{\prime }(2-x)<0⟺-1<2-x<1⟺1<x<3$.

Chọn B.
Để hàm số trùng phương không có cực tiểu thì đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống và có đúng 1 cực trị (là cực đại), hoặc suy biến thành parabol úp xuống:
- Trường hợp 1: $m-1=0⟺m=1⟹y=-8x^2+1$, là parabol có đỉnh là cực đại, không có cực tiểu (thỏa mãn).
- Trường hợp 2: $m-1<0$ và $-2(m+3)\le 0⟺m<1$ và $m\ge -3⟺-3\le m<1$.
Kết hợp cả hai trường hợp ta được $-3\le m\le 1$.

Chọn C.
Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)-2(x+1)=2[f^{\prime }(x)-(x+1)]$.
Xét tương giao giữa đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và đường thẳng $y=x+1$:
Đường thẳng $y=x+1$ đi qua các điểm $(-3;-2),(1;2),(3;4)$.
Quan sát đồ thị, khi qua $x=1$, hiệu $f^{\prime }(x)-(x+1)$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số $y=g(x)$ đạt cực đại tại $x=1$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 42 chọn đáp án D.

Theo định lý cơ bản của giải tích:
$F^{\prime }(x)=f(-x+1).$
Từ đồ thị của hàm số $F(x)$, ta thấy $F(x)$ có các điểm cực trị tại $x=1$ và $x=-1$ (đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang tại các điểm đó).
Do đó $F^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$.
Suy ra:
$f(-x+1)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$
Đặt $u=-x+1\Rightarrow x=1-u$. Khi đó:
- Với $x=1\Rightarrow u=0$.
- Với $x=-1\Rightarrow u=2$.
Do đó $f(u)=0⟺u=0$ hoặc $u=2$.
Nghĩa là phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm $x=0$ và $x=2$.
Vì $f(x)$ là đa thức bậc hai nên hàm số đạt cực tiểu tại các nghiệm của phương trình $f(x)=0$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=2$.

Chọn đáp án D.

Ta có $f^{\prime }(t)=(2t-k{t}^2)e^{-kt}=t(2-kt)e^{-kt}$ nên c) Sai.
Do $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=4$ nên $f^{\prime }(4)=0⟹2-4k=0⟺k=\frac{1}{2}$, suy ra a) Đúng và b) Đúng.
d) Đúng: Các thế hệ sinh ra tại $t=4$ ($10$ cá thể), $t=8$ ($100$ cá thể), $t=12$ ($1000$ cá thể), $t=16$ ($10000$ cá thể). Vì mỗi cá thể chỉ sống được đúng $6$ tuần nên tại $t=17$, chỉ còn các cá thể sinh ra tại $t=12$ (được $5$ tuần tuổi) và $t=16$ (được $1$ tuần tuổi), tổng cộng là $1000+10000=11000$ cá thể.

Điều kiện xác định: $x^3-3x^2+1>0$. Khi đó $y^{\prime }=\frac{3x^2-6x}{x^3-3x^2+1}=0\iff x=0$ (nhận) hoặc $x=2$ (loại vì $2^3-3\cdot 2^2+1=-3<0$). Vì $y^{\prime }$ đổi dấu khi qua $x=0$ nên hàm số có $1$ điểm cực trị.